Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
A – jeden trafi drugi nie + w (n-1) próbach albo obaj trafiają albo obaj nie
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A
g
P
g
T
P
A
l
P
l
T
P
A
T
P
+
=
( )
(
)
(
)
(
) (
)
2
,
0
4
,
0
6
,
0
8
,
0
6
,
0
8
,
0
2
,
0
4
,
0
6
,
0
8
,
0
6
,
0
2
,
0
4
,
0
8
,
0
6
,
0
8
,
0
6
,
0
2
,
0
4
,
0
8
,
0
)
(
1
1
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
∧
=
−
−
n
n
A
P
A
l
P
A
l
P
( )
(
)
2
,
0
4
,
0
6
,
0
8
,
0
2
,
0
4
,
0
)
(
⋅
+
⋅
⋅
=
∧
=
A
P
A
g
P
A
g
P
35
26
2
,
0
4
,
0
6
,
0
8
,
0
2
,
0
4
,
0
4
,
0
2
,
0
4
,
0
6
,
0
8
,
0
6
,
0
8
,
0
8
,
0
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
ODP
Zadanie 2
σ
y
x
<
+
2
2
(
)
+
−
Π
=
2
2
2
2
2
1
exp
2
1
)
,
(
y
x
σ
σ
y
x
f
=
=
φ
r
y
φ
r
x
sin
cos
r
φ
r
φ
φ
r
φ
φ
d
dy
dr
dy
φ
d
dx
dr
dx
=
−
=
cos
sin
sin
cos
(
)
∫ ∫
∫ ∫
Π
−
+
−
=
=
=
=
Π
=
Π
2
0 0
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
σ
σ
r
y
x
σ
dx
rdr
x
r
φ
rdrd
e
σ
e
σ
(
)
(
)
∫
∫
∫
Π
Π
−
−
−
−
−
=
−
Π
Π
=
−
Π
=
Π
=
2
0
0
2
0
5
,
0
5
,
0
2
2
2
2
2
2
)
5
,
0
exp(
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
σ
σ
x
e
e
σ
σ
dx
e
σ
Zadanie 3
