Schemat układu:
SKN=2
Układ podstawowy:
Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
=
+
+
=
+
+
0
0
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
P
P
r
u
r
r
r
u
r
r
ϕ
ϕ
)
3
2
(
2
)
3
2
(
2
ik
k
i
ki
ik
k
i
ik
l
EI
M
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
−
+
=
−
+
=
)
(
3
0
ik
k
ki
ik
l
EI
M
M
ψ
ϕ
−
=
=
reakcja w więzie i wywołana jednostkowym przemieszczeniem więzu
k
reakcja w więzie i wywołana obciąŜeniem zewnętrznym
−
ik
r
−
iP
r
obrót węzła 1
przemieszczenie poziome węzła 2
k
v
i
ϕ
k
ϕ
ik
ψ
i
v
i
k
l, EI
ik
M
ki
M
k
ϕ
ik
ψ
i
v
k
v
i
k
l, EI
ki
M
EI
EI
EI
EI
EI
EI
2
2
2
1
1
2
=
=
=
15kN
5kN
10kN/m
u
1
1
ϕ
0
2
1
1
EI
2
EI
−
2
u
−
1
ϕ
4
3
6
15kN
5kN
10kN/m
1
EI
2
EI
2
1
, u
ϕ
- niewiadome metody przemieszczeń
zasada znakowania momentów, kątów obrotu węzłów i cięciw:
zwrot prawoskrętny => wartość dodatnia
Wzory transformacyjne określają wartości momentów przęsłowych przywęzłowych M
ik
, M
ki
wywołanych obrotami i przemieszczeniami liniowymi (prostopadłymi do osi pręta) węzłow i oraz k :
Stan
Stan u
2
=1
0 1 2
0 1 2
1
1
=
ϕ
8
1
8
4
2
1
6
3
0
6
3
2
2
01
12
12
01
−
=
−
=
−
=
−
=
=
+
u
u
ψ
ψ
ψ
ψ
0
2
1
0,3
EI
0.3
EI
0,125
EI
r
12
r
22
0,4
EI
0,8
EI
EI
0
2
1
r
11
r
21
4
1
4
0
4
2
01
2
01
=
=
=
+
u
u
ψ
ψ
u
2
= 1
1,0
01
ψ
12
ψ
0
2
1
0
0
0
0
2
=
=
⇒
=
ϕ
ψ
ik
u
0
1
0
=
=
ϕ
ϕ
( )
(
)
( )
( )
( )
EI
EI
l
EI
l
EI
M
EI
M
M
EI
EI
l
EI
l
EI
l
EI
M
125
,
0
8
1
6
2
3
3
)
(
3
3
,
0
3
,
0
4
1
5
6
6
3
2
)
3
2
(
2
12
2
12
1
2
2
12
2
01
2
10
01
1
01
1
01
1
0
1
2
01
=
−
⋅
⋅
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅
−
=
⋅
−
+
=
ψ
ψ
ϕ
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
- z równań łańcucha kinematycznego wyznaczamy kąty obrotów cięciw prętów
Ψ
ik
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
M
(1)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
EI
EI
l
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
l
EI
l
EI
M
EI
EI
l
EI
l
EI
M
=
⋅
=
=
−
=
=
=
=
=
−
+
=
=
=
=
−
+
=
6
2
3
3
3
8
,
0
5
4
4
2
2
3
2
2
4
,
0
5
2
2
3
2
2
1
2
121
1
2
1
12
1
1
1
1
01
0
1
1
1
10
1
1
01
1
0
1
1
01
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
M
(2)
0,8
EI
EI
r
11
0
2
1
0,4
EI
r
21
1
0
2
0,3
EI
0.3
EI
0,125
EI
r
12
r
22
1
7,5
45
r
1P
Wyznaczenie współczynników r
ik
układu równań kanonicznych:
- równowaga węzła 1 => r
11
=0,8EI +EI =1,8EI
- równanie pracy wirtualnej:
- równowaga węzła 1 => r
12
=0,125EI- 0,3EI =-0,175EI
r
12
= r
21
- równanie pracy wirtualnej:
EI
r
EI
EI
EI
r
EI
EI
EI
r
175
,
0
0
4
1
)
8
,
0
4
,
0
(
8
1
1
0
)
8
,
0
4
,
0
(
1
21
21
01
12
21
−
=
=
⋅
+
+
−
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
ψ
ψ
EI
r
EI
EI
EI
r
EI
EI
EI
r
1656
,
0
0
4
1
)
3
,
0
3
,
0
(
8
1
125
,
0
1
0
)
3
,
0
3
,
0
(
125
,
0
1
22
22
01
12
22
=
=
⋅
+
−
−
⋅
+
⋅
=
⋅
+
−
⋅
+
⋅
ψ
ψ
Wyznaczenie współczynników r
iP
układu równań kanonicznych:
- momenty przęsłowe przywęzłowe:
- równowaga węzła 1 =>
45
r
2P
r
1P
7,5
7,5
0
2
4
3
6
15kN
5kN
10kN/m
1
A
30kN
B
60kN
r
1P
=7,5-45=-37,5kNm
( )
( )
( )
kNm
ql
M
kNm
ql
M
kNm
ql
M
P
P
P
45
8
6
10
8
5
,
7
12
3
10
12
5
,
7
12
3
10
12
2
2
12
2
2
10
2
2
01
−
=
⋅
−
=
−
=
=
⋅
=
=
−
=
⋅
−
=
−
=
0 A
3 B
1 C
0
2
1
1,0
01
ψ
12
ψ
∆
A
∆
B
∆
C
B
A
x
y
=
−
⋅
+
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
0
625
,
45
1656
,
0
175
,
0
0
5
,
37
175
,
0
8
,
1
2
1
2
1
u
EI
EI
u
EI
EI
ϕ
ϕ
EI
EI
EI
W
EI
EI
EI
W
EI
EI
EI
EI
EI
W
6875
,
88
625
,
45
175
,
0
5
,
37
8
,
1
1944
,
14
1656
,
0
625
,
45
175
,
0
5
,
37
2675
,
0
1656
,
0
175
,
0
175
,
0
8
,
1
2
1
2
=
−
=
=
−
=
=
−
−
=
=
=
EI
u
EI
598
,
331
072
,
53
2
1
ϕ
- wyznaczenie r
2P
z równania pracy wirtualnej (stan sił - na rys. powyŜej, stan przemieszczeń
wirtualnych - rys. poniŜej):
kNm
r
r
P
P
625
,
45
0
1
5
4
3
15
8
3
60
8
3
30
8
1
45
2
2
−
=
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
−
⋅
−
przemieszczenia:
∆
A
,
∆
B
,
∆
C
,
∆
D
wyznaczamy z równań łańcucha kinematycznego
(znak dodatni oznacza przemieszczenia o zwrotach zgodnych z osiami układu współrzędnych.):
- stąd:
8
3
4
1
2
3
5
,
1
12
=
⋅
=
∆
∆
=
A
A
ψ
8
3
8
1
3
3
12
=
−
⋅
−
=
∆
∆
=
−
B
B
ψ
4
3
4
1
3
3
01
=
⋅
=
∆
∆
=
C
C
ψ
0
,
1
=
∆
D
Wyznaczenie rzeczywistych momentów przywęzłowych ze wzorów transformacyjnych:
(praca siły na odpowiadającym jej przemieszczeniu jest dodatnia, jeśli zwrot siły i
przemieszczenia jest taki sam):
RPW
0
5
15
6
10
3
10
)
(
1
01
10
01
12
12
2
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
D
C
B
A
P
P
P
P
M
M
M
r
ψ
ψ
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
kNm
EI
EI
EI
M
u
l
EI
M
l
EI
M
kNm
EI
EI
EI
M
u
l
EI
M
l
EI
M
kNm
EI
EI
EI
M
u
l
EI
M
l
EI
M
P
P
P
P
P
P
49,5218
49,5218
85,7506
=
−
+
=
=
+
+
⋅
=
+
−
=
−
=
+
⋅
−
=
=
+
⋅
−
=
+
−
+
=
−
=
−
⋅
−
=
=
+
⋅
−
=
+
−
+
=
45
8
598
,
331
072
,
53
6
6
8
2
3
3
5
,
7
4
598
,
331
3
072
,
53
2
5
2
4
3
2
2
3
2
2
5
,
7
4
598
,
331
3
072
,
53
5
2
4
3
2
3
2
2
12
2
1
12
12
1
2
12
10
2
1
10
01
0
1
1
10
01
2
1
01
01
1
0
1
01
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
Wyznaczenie niewiadomych układu równań kanonicznych:
Wyznaczenie sił tnących w poszczególnych prętach:
kaŜdy z prętów obliczamy jak belkę swobodnie podpartą, poddaną działaniu momentów podporowych i
obciąŜeniu w obrębie przęsła.
...lub korzystając z zasady superpozycji:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
kNm
EI
EI
EI
EI
M
M
u
M
M
kNm
EI
EI
EI
EI
M
M
u
M
M
kNm
EI
EI
EI
EI
M
M
u
M
M
P
P
P
49,5218
49,5218
85,7506
=
−
⋅
+
⋅
=
+
+
=
−
=
+
−
⋅
+
⋅
=
+
+
=
−
=
−
−
⋅
+
⋅
=
+
+
=
45
125
,
0
598
,
331
4
072
,
53
5
,
7
3
,
0
598
,
331
8
,
0
072
,
53
5
,
7
3
,
0
598
,
331
4
,
0
072
,
53
12
2
12
2
1
12
1
12
10
2
10
2
1
10
1
10
01
2
01
2
1
01
1
01
ϕ
ϕ
ϕ
Wyznaczenie sił normalnych w poszczególnych prętach: - na podstawie równań równowagi sił
działających na pręty i węzły.
10
kN/m
4
3
49,5218
kNm
85,7506
kNm
T
10
T
01
kN
T
T
M
0545
,
18
0
5
,
1
3
10
5
5218
,
49
7506
,
85
0
10
10
0
=
=
⋅
⋅
−
⋅
−
+
=
∑
0
1
10
kN/m
49,5218
kNm
6
2
EI
T
12
T
21
kN
T
T
M
7464
,
21
0
5218
,
49
3
6
10
6
0
12
12
2
=
=
+
⋅
⋅
−
⋅
=
∑
kN
T
T
M
2536
,
38
0
5218
,
49
3
6
10
6
0
21
21
1
−
=
=
+
⋅
⋅
+
⋅
=
∑
1
2
N
12
N
10
18,0545
kN
21,7464
kN
1
15
kN
α
kN
N
N
X
9918
,
4
0
cos
3921
,
32
sin
0545
,
18
0
12
12
−
=
=
+
−
=
∑
α
α
kN
T
T
M
0545
,
36
0
5
,
1
3
10
5218
,
49
7506
,
85
5
0
01
01
1
=
=
⋅
⋅
−
−
−
⋅
=
∑
10
kN/m
18.0545
kN
36.0545
kN
N
01
32.3921
kN
kN
N
N
Y
3921
,
32
0
sin
cos
0545
,
18
15
7464
,
21
0
10
10
−
=
=
+
−
+
=
∑
α
α
kN
N
N
X
3921
,
56
0
sin
3
10
3921
,
32
0
01
01
−
=
=
⋅
+
+
=
∑
α
