P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

1 | 

S t r o n a

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

METODA 

 

PRZEMIESZCZEŃ

 
 
 

 

 

P

RZYKŁAD

 

 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

2 | 

S t r o n a

 

 

Rozwiązać ramę przy pomocy metody przemieszczeń 
 

 

 

Rys.1 Schemat ramy

 

 

 

 

 

 

 
Rama  przedstawiona  na  rys.1  jest  układem  trzykrotnie  kinematycznie  (geometrycznie) 
niewyznaczalnym. Linią przerywaną zaznaczono „spody” prętów. 
 
Przyjmujemy  układ  podstawowy  (wprowadzamy  fikcyjne  więzy  w  węzłach  doznających 
przemieszczeń – blokujemy dwa obroty i jeden przesuw – rys.2): 
 

  

                                       Rys.2 Układ podstawowy

 

 
 
Stan od obciążenia zewnętrznego (wykres otrzymano na podstawie tabeli wartości momentów 
brzegowych): 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

3 | 

S t r o n a

 

 

 

 

Rys.3 Wykres momentów gnących dla układu podstawowego

 

  

  

  

 

  

 

 
 
Stan jednostkowy  

 (wymuszamy jednostkowe przemieszczenie kątowe węzła B): 

 

 

 

Rys.4 Wykres momentów - stan jednostkowy 

 

  

  

  

  

  

  

 

 
Stan jednostkowy  

 (wymuszamy jednostkowe przemieszczenie kątowe węzła C): 

 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

4 | 

S t r o n a

 

 

 

 

Rys.5 Wykres momentów - stan jednostkowy 

 

  

 

  

 

  

  

  

 

  

 

 
Stan jednostkowy 

 (wymuszamy jednostkowe przemieszczenie pionowe węzła B): 

 

 

 

Rys.6 Wykres momentów - stan jednostkowy 

 

  

 

  

  

  

 

  

 

  

 

  

 

 
Współczynniki  (reakcje  więzów  fikcyjnych  –  na  rysunkach  oznaczone  kolorem  zielonym) 
obliczamy  sumując  odpowiednie  wartości  momentów  brzegowych  i  reakcji  na  kierunku 
przemieszczeń (pierwszy indeks oznacza miejsce, drugi przyczynę): 
 

  

 

  

 

  

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

5 | 

S t r o n a

 

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 
Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń: 
 

 

 
 

 
Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń: 
 

  

 

  

 

  

 
Rzeczywiste siły przekrojowe: 
 
- momenty węzłowe określimy korzystając z zasady superpozycji na podstawie wzoru: 
 

 

 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

6 | 

S t r o n a

 

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 
Wykres momentów gnących: 
 

 

 

Rys.7 Wykres momentów gnących

 

Ekstremum: 
 

 

  

 

 

 
- siły tnące (poprzeczne) obliczymy obciążając dodatkowo jednoprzęsłowe belki określonymi 
wcześniej momentami: 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

7 | 

S t r o n a

 

 

 

 

Rys.8 Rozkład momentów i reakcji dla belek jednoprzęsłowych

 

  

  

  

 

 

 

  

 

  

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

  

 

  

 

Wykres sił tnących: 
 

 

 

Rys.9 Wykres sił tnących

 

Miejsce zerowe: 
 

 

 

  

 
 
 
 
 

 
- siły normalne (podłużne) obliczymy wycinając węzły B i C obciążając je odpowiednio 
siłami poprzecznymi: 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

8 | 

S t r o n a

 

 

 

 

 

Rys.10 Rozkład sił tnących i normalnych w węzłach B i C

 

Węzeł C: 
 
1)  

 

 
2)  

 

 
z 1)     

 

 

  

 
z 2)     

 

 

  

 
Na pręcie BC nie ma 
obciążenia wzdłuż osi pręta 
zatem: 
 

  

 
Węzeł B: 
 
3)  

 

   

 
4)  

 

   

 
z 4)     

 

 

  

 
z 3)  
 

 

 

  

 
 
 
 
 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

9 | 

S t r o n a

 

 

Wykres sił normalnych: 
 

 

Rys.11 Wykres sił normalnych