M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
1
O
BLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
METODĄ
P
RZEMIESZCZEŃ
.
Zadana rama wygląda następująco:
0,008
0,006
EI
2
EI
2
EI
2
EI
1
EI
1
Dobieram schemat podstawowy i zapisuję układ równań kanonicznych:
EI
2
EI
2
EI
1
EI
1
EI
2
=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
R
r
r
r
R
r
r
r
R
r
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
2
Przyjmuję współczynnik porównawczy sztywności:
[
]
[
]
[
]
0
1
2
2
0
2
2
2
1
487
,
0
5
,
8712
5
,
8712
5
,
4243
EI
EI
kNm
EI
EI
kNm
EI
kNm
EI
⋅
=
=
=
=
=
Równanie łańcucha kinematycznego dla przedstawienia obrotu cięciwy przez
przemieszczenie ∆:
015
0
0
6
0
15
15
01
=
=
⋅
+
⋅
ψ
ψ
ψ
510
0
0
6
0
10
10
15
=
=
⋅
+
⋅
ψ
ψ
ψ
43
6
6
34
43
∆
=
∆
=
⋅
ψ
ψ
51234
6
1
0
1
6
6
0
34
23
12
34
12
12
15
⋅
−
−
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
5123
∆
=
∆
−
=
∆
=
⋅
−
⋅
+
⋅
72
35
72
37
1
1
0
12
23
12
12
51
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Rysuję stany od zadanych jednostkowych przesunięć:
Stan 1:
0
0
1
2
1
=
∆
=
=
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
01
1
0
2
01
3
1
0
3
1
0
2
6
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
01
0
1
2
10
3
2
0
3
0
1
2
6
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
15
5
1
1
15
3247
,
0
0
3
0
1
2
6
487
,
0
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
15
1
5
1
51
16235
,
0
0
3
1
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
2
1
2
12
65759
,
0
0
72
35
3
0
1
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
1
2
2
21
32879
,
0
0
72
35
3
1
0
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
72
37
0
37
3
3
0
23
2
2
23
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
0
32
=
M
0
34
=
M
(
)
0
0
6
1
0
37
3
3
0
43
4
2
43
=
⋅
−
⋅
=
−
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
3
Wyznaczenie reakcji r
11
i r
21
z równowagi węzłów:
r
11
= 1,64896 EI
r
21
= 0,32879 EI
Reakcje r
31
obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
(
)
(
)
0
72
35
32879
,
0
65759
,
0
0
32879
,
0
65759
,
0
0
31
12
0
31
=
∆
⋅
⋅
⋅
+
+
∆
⋅
=
⋅
⋅
+
+
∆
⋅
EI
r
EI
r
ψ
r
31
= -0,47949 EI
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
4
Stan 2:
0
1
0
2
1
=
∆
=
=
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
1
0
2
01
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
0
1
2
10
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
5
1
1
15
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
1
5
1
51
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
2
1
2
12
32879
,
0
0
72
35
3
1
0
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
1
2
2
21
65759
,
0
0
72
35
3
0
1
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
23
2
2
23
49319
,
0
0
72
37
1
37
3
3
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
=
ψ
ϕ
0
32
=
M
0
34
=
M
(
)
0
0
6
1
0
37
3
3
0
43
4
2
43
=
⋅
−
⋅
=
−
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
Wyznaczenie reakcji r
12
i r
22
z równowagi węzłów:
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
5
r
12
= 0,32879 EI
r
22
= 1,15078 EI
Reakcje r
32
obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
(
)
(
)
0
72
37
49319
,
0
72
35
32879
,
0
65759
,
0
0
49319
,
0
32879
,
0
65759
,
0
0
0
32
23
0
12
0
32
=
∆
⋅
−
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
⋅
+
+
∆
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
∆
⋅
EI
EI
r
EI
EI
r
ψ
ψ
r
32
= -0,22604 EI
Stan 3:
1
0
0
2
1
=
∆
=
=
ϕ
ϕ
(obroty ψ ze strony 2):
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
1
0
2
01
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
2
3
2
2
0
01
0
1
2
10
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
5
1
1
15
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
0
0
3
0
0
2
6
487
,
0
2
3
2
2
0
15
1
5
1
51
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
EI
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
2
1
2
12
47949
,
0
1
72
35
3
0
0
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
−
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
12
1
2
2
21
47949
,
0
0
72
35
3
1
0
2
37
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
⋅
−
=
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
0
0
23
2
2
23
25344
,
0
1
72
37
0
37
3
3
EI
EI
l
EI
M
⋅
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
=
ψ
ϕ
0
32
=
M
0
34
=
M
(
)
0
0
43
4
1
43
04003
,
0
1
6
1
0
37
487
,
0
3
3
EI
EI
l
EI
M
⋅
−
=
⋅
−
⋅
⋅
=
−
⋅
=
ψ
ϕ
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
6
Wyznaczenie reakcji r
13
i r
23
z równowagi węzłów (równoczesne sprawdzenie wcześniej
otrzymanych wyników, bo r
13
= r
31
a r
23
= r
32
):
r
13
= -0,47949 EI
r
23
= -0,22604 EI
Reakcje r
33
obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
(
)
(
)
0
6
1
04003
,
0
72
37
25344
,
0
72
35
47949
,
0
2
0
04003
,
0
25344
,
0
47949
,
0
2
0
0
33
34
23
0
12
0
33
=
∆
⋅
⋅
−
∆
⋅
−
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
⋅
⋅
−
∆
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
∆
⋅
EI
EI
r
EI
EI
r
ψ
ψ
ψ
r
33
= 0,60308 EI
Stan P:
[ ]
kNm
l
q
M
12
12
6
4
12
2
2
01
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
[ ]
kNm
l
q
M
12
12
6
4
12
2
2
10
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
[ ]
kNm
M
0
15
=
[ ]
kNm
M
0
51
=
12
12
6
4
12
'
2
2
12
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
l
q
M
[ ]
kNm
l
q
M
12
12
6
4
12
'
2
2
21
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
[ ]
kNm
l
P
M
70258
,
5
37
5
16
3
16
3
23
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
[ ]
kNm
M
0
32
=
[ ]
kNm
M
0
34
=
(
)
[ ]
kNm
l
a
l
l
l
a
P
M
50625
,
0
3
2
2
3
3
3
43
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
7
M
P
0
[kNm]
Wyznaczenie reakcji R
1p
i R
2p
z równowagi węzłów:
R
1p
= 0 kNm
R
2p
= 6,29742 kNm
Reakcje r
33
obliczę korzystając z równania pracy wirtualnej (obroty ψ ze strony 2):
0
1
cos
5
sin
5
6
4
50652
,
0
70258
,
5
1
34
23
33
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
C
x
B
y
B
A
R
δ
δ
α
δ
α
δ
ψ
ψ
Równanie łańcucha kinematycznego:
01A
∆
⋅
=
=
⋅
+
⋅
72
105
3
6
12
01
A
A
δ
δ
ψ
ψ
43B
∆
⋅
=
−
=
⋅
+
⋅
72
99
3
1
32
43
y
B
y
B
δ
δ
ψ
ψ
43B
∆
⋅
−
=
−
=
⋅
+
⋅
144
107
5
,
0
6
32
43
x
B
x
B
δ
δ
ψ
ψ
4C
∆
⋅
−
=
−
=
⋅
6
5
5
43
C
C
δ
δ
ψ
R
3p
= -43,35224 kNm
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
8
Obliczone współczynniki podstawiam do układu równań i obliczam przemieszczenia:
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
0
0
0
0
0
0
0
0
0
60308
,
0
22604
,
0
47949
,
0
22604
,
0
15078
,
1
32879
,
0
47949
,
0
32879
,
0
64896
,
1
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
=
−
∆
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
=
+
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0
35224
,
43
60308
,
0
22604
,
0
47949
,
0
0
29742
,
6
22604
,
0
15078
,
1
32879
,
0
0
47949
,
0
32879
,
0
64896
,
1
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
0
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Należy zwrócić uwagę, że współczynniki r
ik
są mnożone przez EI a R
ip
są policzone w [kNm].
Rozwiązanie układu równań daje wyniki:
φ
1
= 3.0447277255891052036*10
-3
φ
2
= 6.4571122700114886147*10
-4
∆
3
= 1.0913549030664077772*10
-2
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego rysuję końcowy wykres momentów:
3
3
2
2
1
1
0
∆
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
M
M
M
M
M
P
n
P
ϕ
ϕ
M
P
n
[kNm]
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
9
Obliczenie wartości sił tnących:
M
ETODA PRZEMIESZCZEN
Politechnika Poznańska Adam
Łodygowski ®
10
Obliczenie siły normalnej z równowagi węzłów:
Sprawdzenie węzła 2 po osi
0012
,
0
=
∑
y
T [kN]
N [kN]
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama ugiecie
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama temperatura
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama osiadanie
Mechanika budowli Metoda sił rama
Zbiór zadań z mechaniki budowli Metoda przemieszczeń i metoda elementów skończonych Tadeusz Chmiel
cwicz mechanika budowli przemieszczen metoda pracy wirtualnej
cwicz mechanika budowli przemieszczen metoda pracy wirtualnej
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil rama
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil krata
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil luk
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil luk
cwicz mechanika budowli obliczanie ukladow statycznie niewyznaczalnych metoda sil krata
więcej podobnych podstron