B.Kamys: Statystyka medyczna 2011/12, zadania
7
Zadania na ćwiczenia w dniu 30.11.11
Proszę rozwiązać zadanie nr 2 i nr 3 z poprzedniego zestawu (tu przytoczone jako
zadanie nr 1 i nr 2) oraz nowe zadanie nr 3.
1.
Zmierzono u dziesięciu pacjentów poziom pewnej substancji x we krwi. Otrzymano
następujące wyniki:
Nr pacjenta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
3.981 0.702 2.707 5.184 3.296 2.291 2.915 3.150 2.250 1.099
Zakładając, że ta grupa pacjentów jest reprezentatywną próbą proszę:
(a)
Oszacować punktowo wartość oczekiwaną E(x) i odchylenie standardowe σ(x)
zmiennej x.
(b)
Znaleźć przedział ufności dla E(x) na poziomie ufności 1 − α = 0.95.
(c)
Znaleźć przedział ufności dla σ(x) na poziomie ufności 1 − α = 0.9.
(d)
Oszacować prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości x mniejszych od jed-
ności: P (x < 1).
2.
Proszę znaleźć rozkład zmiennej t Studenta o k stopniach swobody wiedząc, że de-
finiowana jest ona jako następująca funkcja dwu niezależnych zmiennych losowych:
t ≡
x
q
y
k
.
przy czym w liczniku występuje zmienna x o rozkładzie standardowym normalnym:
f (x) =
1
√
2π
exp
µ
−
x
2
2
¶
a w mianowniku (pod pierwiastkiem) zmienna y o rozkładzie χ
2
o k stopniach
swobody:
g(y) =
(
y
k/2−1
exp[−y/2]
Γ(k/2)·2
k/2
dla y ≥ 0
0
dla y < 0
3.
Korzystając z danych z zadania nr 1. znaleźć taką wartość x
0
, że
(a)
P (E(x) > x
0
) = 0.7.
(b)
P (E(x) > x
0
) = 0.5.
(c)
P (E(x) > x
0
) = 0.025.
Kraków, 26.11.2011
(prof. dr hab. B. Kamys)