B.Kamys: Statystyka medyczna 2011/12, zadania

6

Zadania na ćwiczenia w dniu 23.11.11

1.

Zmierzono niezależnie współrzędne punktu x, y na płaszczyźnie otrzymując wynik
x = 10(1), y = 20(2). Liczby w nawiasie to niepewności standardowe (odchylenia
standardowe) pomiarów. Proszę znaleźć współrzędne biegunowe

% =

p

x

2

+ y

2

, ϕ = arctg(y/x)

tego punktu i ich macierz kowariancji.

2.

Zmierzono u dziesięciu pacjentów poziom pewnej substancji x we krwi. Otrzymano
następujące wyniki:

Nr pacjenta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

3.981 0.702 2.707 5.184 3.296 2.291 2.915 3.150 2.250 1.099

Zakładając, że ta grupa pacjentów jest reprezentatywną próbą proszę:

(a)

Oszacować punktowo wartość oczekiwaną E(x) i odchylenie standardowe σ(x)

zmiennej x.

(b)

Znaleźć przedział ufności dla E(x) na poziomie ufności 1 − α = 0.95.

(c)

Znaleźć przedział ufności dla σ(x) na poziomie ufności 1 − α = 0.9.

(d)

Oszacować prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości x mniejszych od jed-

ności: P (x < 1).

3.

Proszę znaleźć rozkład zmiennej t Studenta o k stopniach swobody wiedząc, że de-
finiowana jest ona jako następująca funkcja dwu niezależnych zmiennych losowych:

t ≡

x

q

y
k

.

przy czym w liczniku występuje zmienna x o rozkładzie standardowym normalnym:

f (x) =

1

√

2π

exp

µ

−

x

2

2

¶

a w mianowniku (pod pierwiastkiem) zmienna y o rozkładzie χ

2

o k stopniach

swobody:

g(y) =

(

y

k/2−1

exp[−y/2]

Γ(k/2)·2

k/2

dla y ≥ 0

0

dla y < 0

Kraków, 18.11.2011

(prof. dr hab. B. Kamys)