Zadania z Teorii gier 2 - rozwiązania
Zad.1
a)
WskaŜ
wierzchołek początkowy
oraz
wierzchołki końcowe
powyŜszej
gry.
b)
Wyznacz etapy gry.
c)
Wyznacz wszystkie moŜliwe strategie poszczególnych graczy:
S
1
={AG, AH, BG, BH}
S
2
={CE, CF, DE, DF}
d)
Przedstaw powyŜszą grę w postaci normalnej:
1
2
CE
CF
DE
DF
AG
1;4
1;4
5;2
5;2
AH
1;4
1;4
5;2
5;2
BG
3;3
6;2
3;3
6;2
BH
2;0
6;2
2;0
6;2
e)
Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):
NE={(BG;CE), (BH;CF), (BH;DF)}
f)
Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):
SPNE={(BG;CE)}
Zad.2 (Konkurencja firm)
W pewnym małym miasteczku działa tylko jedna cukiernia (gracz 2),
której zyski szacowane są na 10 000 zł miesięcznie. Pojawia się jednak
potencjalny konkurent (gracz 1), który rozwaŜa rozpoczęcie działalności
cukierniczej. JeŜeli konkurent zdecyduje się wejść na rynek, to
prawdopodobnie przejmie 40 % udziałów w rynku. Gracz 2 w odpowiedzi
na pojawienie się konkurencji moŜe pogodzić się z tym faktem i nic nie
robić (wówczas firmy podzielą się zyskami proporcjonalnie do udziałów w
rynku), lub rozpocząć ostrą konkurencję cenową (wówczas konkurent
równieŜ będzie zmuszony do stosowania cen dumpingowych w
konsekwencji czego ich zyski będą o 5 000 zł mniejsze od zysków w
przypadku, gdy firmy nie rywalizują ze sobą).
a)
Przedstaw powyŜszą grę w postaci ekstensywnej:
(1;4)
(5;2)
(3;3
)
(2;0)
(6;2)
1
1
2
2
A
B
C
D
E
F
G
H
Etap 1
Etap 2
Etap 3
(4 000 ; 6 000)
(-1 000 ; 1 000)
1
2
Wejść (W)
Nie wchodzić (NW)
Nie konkurować (NK)
Konkurować (K)
(0 ; 10 000)
b)
Wyznacz wszystkie moŜliwe strategie poszczególnych graczy:
S
1
={W, NW}
S
2
={NK, K}
c)
Przedstaw powyŜszą grę w postaci normalnej:
1
2
NK
K
W
4;6 -1;1
NW 0;10 0;10
d)
Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):
NE={(W;NK), (NW;K)}
e)
Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):
SPNE={(W;NK)}
Zad. 3 (Propozycja współpracy)
Na rynku działają dwie firmy. Firma 1 myśli o nawiązaniu współpracy
z firmą 2. PoniewaŜ firma 1 jest inicjatorem rozmów, to do niej naleŜy
pierwszy krok. Ma ona trzy moŜliwości: zaproponować konkurentowi
pewne wspólne przedsięwzięcie (P1), zaproponować mu pełną współpracę
(P2), lub nie składać Ŝadnej propozycji (s). Firma 2 w odpowiedzi na ruch
gracza 1 moŜe przyjąć ofertę, jeŜeli takowa była, lub ją odrzucić. Przyjęcie
oferty P1 oznacza wypłaty poszczególnych graczy:
)
2
;
4
(
)
,
(
2
1
=
u
u
, zaś
odrzucenie:
)
3
;
0
(
)
,
(
2
1
=
u
u
. Przyjęcie natomiast oferty P2 oznacza wypłaty:
)
4
;
3
(
)
,
(
2
1
=
u
u
, zaś jej odrzucenie:
)
2
;
1
(
)
,
(
2
1
=
u
u
. JeŜeli firma 1 nie złoŜy
oferty, to wypłaty będą wynosiły odpowiednio:
)
1
;
2
(
)
,
(
2
1
=
u
u
.
a)
Przedstaw powyŜszą grę w postaci ekstensywnej:
b)
Wyznacz wszystkie moŜliwe strategie poszczególnych graczy:
S
1
={S, P
1
, P
2
}
S
2
={T
1
T
2
, T
1
N
2,
N
1
T
2,
N
1
N
2
}
c)
Przedstaw powyŜszą grę w postaci normalnej:
1
2
T1T2 T1N2 N1T2 N1N2
S
2;1
2;1
2;1
2;1
P1
4;2
4;2
0;3
0;3
P2
3;4
1;2
3;4
1;2
d)
Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE):
NE={(P
2
;N
1
T
2
), (S; N
1
N
2
)}
e)
Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE):
SPNE={(P
2
;N
1
T
2
)}
Zad.4
RozwaŜmy następującą grę dwuosobową. Gracze na przemian kładą
na stole monety 1zł lub 2 zł. Wygrywa ta osoba, po ruchu której na stole
znajdzie się X zł. Zawsze zaczyna gracz numer jeden. Który z graczy
wygra i ile zarobi jeŜeli obydwoje są racjonalni oraz:
(4;2)
(0;3)
(2;1)
(3;4)
(1;2)
1
2
2
P
1
P
2
T
1
N
1
T
2
N
2
S
a)
X = 5 zł => (u
1
; u
2
) = (1 ; -1)
b)
X = 6 zł => (u
1
; u
2
) = (-2 ; 2)
c)
X = 3695 zł => (u
1
; u
2
) = (1231 ; -1231)
Ogólna zaleŜność:
- dla x podzielnego przez 3: (u
1
; u
2
) = (-x/3 ; x/3);
- dla x nie podzielnego przez 3: (u
1
; u
2
) = (x/3 ; -x/3);