TEORIA GIER

John Nash i jego

równowaga

Co to jest teoria gier?

Co to jest teoria gier?

Teoria gier

jest działem matematyki zajmującej się

badaniem optymalnego zachowania jednostek,

organizacji lub różnego rodzaju grup społecznych w

przypadku konfliktu interesów. Wywodzi się z badań

gier hazardowych. Teoria gier bada, jak gracze

(ludzie firmy, gatunki) powinni racjonalnie rozgrywać

gry, aby osiągnąć w nich najwięcej korzyści.

 

Teoria ta zajmuje się przede wszystkim sytuacjami
konfliktowymi, ale również sytuacjami, w których

interesy
graczy są zgodne, ale ze względu na kłopoty
w porozumiewaniu się trudno im ustalić jednolity
sposób postępowania.

Historia

Historia

• Rok 1944

– powstanie nowoczesnej teorii gier;

Wydanie książki Johna von Neumanna i Oskara

Morgensterna „Teoria gier i zachowania w

gospodarce”. Obejmuje ona szeroki zarys

problematyki dotyczącej zasobów modelowania

sytuacji konfliktu. Z takimi sytuacjami mamy do

czynienia np. na rynku. Dwie firmy z tej samej

branży zamierzają wprowadzić na rynek nowy

produkt. Każda z tych organizacji może się

posługiwać inna strategią, w ten sposób aby

znając mocne i słabe strony konkurencji,

osiągnąć jak największy zysk.

 

Ostatnie 30 lat

to czas rosnącego

zainteresowania różnych nauk teorią
gier. Wykorzystuje się głównie ją w
ekonomii, naukach politycznych,
socjologii, psychologii, biologii i
informatyce.

Badania w zakresie teorii gier i jej

zastosowań wielokrotnie zostały

uznane przez komitet Nagrody

Nobla:

• 1978r.

– Herbert Simon za wkład w rozwój

ewolucyjnej teorii gier, w szczególności za koncepcję

ograniczonej racjonalności.

• 1994r.

–

JOHN NASH

, Reinhard Selten i John

Harsanyi za rozwój teorii gier i jej zastosowania w

ekonomii.

• 1996r.

– William Vickrey i James Mirrlees za

stworzenie modelu przetargów i badanie konfliktów z

niesymetryczną informacją uczestników.

• 2005r.

– Thomas C. Schelling i Robert J. Aumann za

zastosowanie teorii gier w nauk społecznych i

mikroekonomii.

• 2007r.

– Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B.

Myerson za zastosowanie teorii gier w mikroekonomii.

Gra - jej elementy i rodzaje

Gra - jej elementy i rodzaje

• Gra

to dowolna sytuacja konfliktowa;

• Gracz

to dowolny uczestnik gry (człowiek,

przedsiębiorstwo lub zwierzę), graczy musi być co

najmniej dwóch;

• Strategia

to kompletny opis postępowania gracza w

każdej sytuacji, w jakiej może się znaleźć

• Strategia dominująca: najlepsza ze wszystkich

możliwych strategii, niezależnie od decyzji podjętej

przez drugiego gracza;

• Strategia zdominowana: to taka względem, której

zawsze istnieje strategia lepsza, niezależnie od decyzji

podjętej przez drugiego gracza;

• Wypłata

otrzymuje każdy gracz zależnie od strategii

własnej oraz innych uczestników. Mogą to być

pieniądze czy zdobycze terytorialne bądź czysta

satysfakcja.

Gry możemy podzielić według wielu
różnych kryteriów:

• jedno- i wieloetapowe
• gry sprawiedliwe i niesprawiedliwe
• dwuosobowe i wieloosobowe i wiele

innych.

• z pełną i niepełną informacją

JOHN NASH

John Nash – biografia i jego

John Nash – biografia i jego

teoria.

teoria.

John Nash dokonał przełomowych

odkryć w teorii gier, wprowadził do
tej dziedziny nauki pojęcie znane
powszechnie, jako „równowaga
Nasha”. Ukoronowaniem jego
osiągnięć była przyznana w 1994r.
Nagroda Nobla w dziedzinie
ekonomii.

John Nash urodził się 13 czerwca 1928 roku w

Bluefield Sanatorium. Już od najmłodszych lat

wykazywał zainteresowanie nauką. Mimo tego

miał trudne dzieciństwo, ponieważ był typem

samotnika, wolał czytać książki naukowe niż

bawić się z rówieśnikami, a nauczyciele nie

potrafili zrozumieć jego talentu. Rodzice zaś

entuzjastycznie podeszli do jego

zainteresowań, dzięki czemu o wiele więcej

nauczył się w domu niż w szkole. Pierwszy raz

swoje zainteresowanie matematyką objawił

mając 14 lat. Zainspirowała go książka E.T.

Bella „Człowiek matematyki”. Próbował –

zwycięsko wytłumaczyć sobie twierdzenie

Fermata zamieszczone w tej książce.

W 1941 roku zaczął studia w Bluefield College. W

tym czasie jednak nie rozważał kariery

matematyka, chciał podążyć drogą swego ojca,

który był inżynierem elektrycznym. Profesorowie

szybko jednak zorientowali się w jego

matematycznym talencie i zachęcaliby zajął się tą

dziedziną nauki profesjonalnie. Brał udział w

licznych konkursach i otrzymywał dużo nagród.

Mimo tego był prześladowany przez rówieśników,

którzy robili sobie z niego żarty . Jeden z jego

kolegów napisał: „on był wiejskim chłopakiem,

niedoświadczonym nawet jak na nasze standardy.

Zachowywał się dziwnie, grając w kółko

pojedynczy akord na pianinie, zostawiając stożki

topniejących lodów na górze ubrań, chodząc po

ciałach swych śpiących kolegów z pokoju, by

zgasić światło, był ekstremalnie samotny.”

Został przyjęty na wiele uczelni wyższych, lecz

ostatecznie zdecydował się na Princeton, gdyż

zaoferowano mu tam najbardziej prestiżowy

tytuł studencki. Uczył się samodzielnie, próbował

do wszystkiego dochodzić sam, nie korzystając

z książek. W 1949r. studiując do swojego

doktoratu, napisał pracę, która 45 lat później

zdobyła nagrodę Nobla. W 1950r. dostał tytuł

doktora za pracę „Niekooperatywne gry”. W

lecie tego roku zaczął pracę w korporacji RAND

na pozycji czołowego eksperta w sprawie zimnej

wojny

. Pracował również na uczelni, gdzie

zajmował się trudniejszymi problemami

matematycznymi. W środowisku matematyków

uważany był za zbyt chaotycznego, co

powodowało trudności w wydawaniu jego prac.

Od 1952r. wykładał w Massachussets Institute of
Teechnology, lecz jego sposób nauczania był
niezwykły i niepopularny wśród studentów.
Podczas swej pracy w MIT Nash zaczął mieć
prywatne problemy związane bezpośrednio z
trudnym kontaktem z innymi. Choroba psychiczna
załamała jego karierę na wiele lat. W lutym 1957r.
poślubił Alicję Larde, jedną z jego studentek. Pod
koniec 1958r. jego stan psychiczny gwałtownie się
pogorszył. Na przyjęciu w Nowym Jorku pojawił się
ubrany tylko w pieluchę i koszulkę z napisem
„1959” i większość wieczoru spędził zwinięty na
kolanach swej żony jako dziecko, za które się
przebrał. Choroba strasznie go przeobrażała.

Po przeprowadzce do Princeton większość czasu
spędzał chodząc po kampusie, mówiąc o samym
sobie w trzeciej osobie, pisząc bezsensowne kartki,
dzwoniąc do kolegów. Pogarszający się stan Nasha
wpędzał jego żonę w coraz głębszą depresję, W
styczniu 1961r. został skierowany do szpitala,
gdzie przechodził terapię mogącą wyleczyć go ze
schizofrenii. W tym okresie Alicja rozwiodła się z
nim. Powoli, poprzez wiele lat Nash wracał do
zdrowia. Napisał pracę, którą wysłał na X Światowy
Kongres Psychiatryczny w 1996r. Zawarł w niej
własne odczucia, jakich doznał w okresie choroby.
„ Czułem się jak najbardziej obiecujący młody
matematyk świata, ale wkrótce załoga mojego
uniwersytetu, MIT, później też cały Boston zaczęli
się dziwnie zachowywać w stosunku do mnie….

Zacząłem wszędzie widzieć szpiegów

komunistycznych, zacząłem myśleć, że jestem

prorokiem jakiejś religii i słyszeć głosy wokół siebie.

Słyszałem coś na kształt dzwonków telefonu w mojej

głowie, od ludzi o przeciwnych mi pomysłach. Ten

stan był jak sen, z którego nie da się obudzić.”

Powiedział również: „nie śmiem twierdzić, że istnieje

bezpośrednia relacja pomiędzy matematyką a

szaleństwem, ale nie mam wątpliwości, że genialni

matematycy cierpią przez te maniakalne

charaktery, urojenia i symptomy schizofrenii.” W

1990 wyleczył się z choroby, która go męczyła od

1959r. Mimo licznych pobytów w szpitalach jego

zdolność do tworzenia matematyki na najwyższym

poziomie nie osłabła. Wszystkim zainteresowanym

osobą Johna Nasha polecamy książkę Sylvii Nasar

oraz film „Piękny umysł”.

Równowaga Nasha

Równowaga Nasha

Jest podstawowym pojęciem w teorii gier. Opisuje

ona racjonalne zachowania graczy, których

strategia gry (każdego z nich) jest optymalna

uwzględniając określone wybory jej oponentów.

Innymi słowy, określa taki plan postępowania

uzależniony od wszystkich możliwych sytuacji, gdy

żaden gracz działający samodzielnie, nie może-

niezależnie od innych-polepszyć swojej sytuacji. W

takim przypadku osiągnięta dla graczy równowaga

staje się stabilna i żaden z nich nie ma powodów od

niej odstępować. Istotny jest fakt, że równowaga

Nasha najczęściej nie jest efektywna w sensie tzw.

Optimum Pareta co oznacza, że gracz może

polepszyć swoją sytuację, ale odbędzie się to

kosztem pogorszenia sytuacji innych graczy.

Punkt równowagi w sensie Nasha

– stan, w

którym żaden z graczy nie jest zainteresowany

zmianą swojej strategii pod warunkiem, że ten

drugi gracz swojej decyzji nie zmieni

 

Uwaga!

1. Równowaga Nasha może istnieć też wtedy,

gdy punkt równowagi ogólnej (kombinacja

strategii dominujących) nie istnieje.
2. Może istnieć więcej niż jeden punkt

równowagi Nasha.
3. Punkt równowagi ogólnej jest jednocześnie

równowagą Nasha.

Zastosowania teorii gier w

Zastosowania teorii gier w

analizie mikroekonomicznej

analizie mikroekonomicznej

Dylemat więźnia

W areszcie siedzi dwóch więźniów. Znajdują się w

osobnych celach i nie mogą się komunikować.

Policja nie jest w stanie znaleźć dowodów winy i

tylko wzajemnie się oskarżające się zeznania

więźniów mogą doprowadzić do ich skazania i

osadzenia. Jeżeli żaden z więźniów nie zgodzi się

współpracować wówczas obaj spędzą w areszcie po

roku. Jeżeli obaj zgodzą się współpracować,

wówczas każdy z nich spędzi w więzieniu pięć lat.

Jeżeli tylko jeden okaże skruchę, a drugi będzie

milczał, wówczas ten pierwszy dostanie wyrok w

zawieszeniu, zaś drugi będzie musiał odsiedzieć

dziesięć lat. Jak zachowa się każdy z więźniów?

Rozwiązanie przedstawia poniższa
tabelka.

gdzie (a,b) oznacza, że w danej sytuacji
więzień I spędzi a lat w odosobnieniu, a
więzień II b lat

.

Więźniowie nie mogą się komunikować.
Więzień I zastanawia się nad swoja sytuacją:
„ Jeżeli więzień II zgodzi się współpracować to
mogę spędzić 10 lat milcząc lub 5 lat również
współpracując – opłaca mi się zatem
współpracować. Jeżeli drugi więzień będzie
milczał to mogę spędzić w więzieniu rok,
również milcząc albo wyjść od razu dzięki
współpracy. W obu przypadkach opłaca mi się
współpracować.” Drugi więzień myśli
podobnie. Obaj podejmują współpracę mimo,
że milczenie gwarantowałoby im 5-krotnie
mniejszy wyrok.

W dylemacie więźnia równowagę
Nasha tworzy para strategii
(współpracuje,współpracuje).
Równowaga Nasha nie oznacza
jednak tego, że obaj gracze osiągają
największe możliwe wypłaty. Gdyby
obaj milczeli, uzyskaliby wyższe
wypłaty niż współpracując.

DZIĘKUJEMY

ZA UWAGĘ

Kopciuch Patrycja

Samson Agnieszka