Zadania z Teorii gier 3 - rozwiązania 

 

Zad.1 

 

Eksperyment „Pracownik – Pracodawca” (oparty na eksperymencie: 

„Gift Exchange Game”, Fehr, Kirchsteiger and Riedl, 1993) 

mający na celu 

sprawdzenie, jakie w rzeczywistości gracze podejmują decyzje.  
 
Zad.2 

 

a)

 

WskaŜ wierzchołek początkowy oraz wierzchołki końcowe powyŜszej 
gry. 

b)

 

Wyznacz etapy gry. 

c)

 

Wyznacz wszystkie moŜliwe strategie poszczególnych graczy: 

S

1

={EA, EB, FA, FB}  

S

2

={CX, CY, DX, DY} 

d)

 

Przedstaw powyŜszą grę w postaci normalnej: 

1

  

2

CX

CY

DX

DY

EA

1;4

1;4

5;2

5;2

EB

1;4

1;4

5;2

5;2

FA

3;4

1;4

3;4

1;4

FB

2;1

2;0

2;1

2;0

 

e)

 

Wyznacz równowagi Nasha tej gry (NE): 

NE={(FA;CX)} 
f)

 

Wyznacz doskonałe równowagi Nasha tej gry (SPNE): 

SPNE=NE={(FA;CX)} – poniewaŜ jedyna 

 
Zad.3 (Kontrakt pomiędzy dostawcą a nabywcą) 

 

Nabywca i dostawca zastanawiają się czy podpisać umowę na 

dostarczenie pewnego dobra. JeŜeli firmy nie zdecydują się na podpisanie 
kontraktu, to gra kończy się, a wypłaty graczy wynoszą (0,0). JeŜeli firmy 
podpiszą kontrakt, a dostawca dostarczy towar wysokiej jakości, to 
wypłata nabywcy wyniesie 10, zaś dostawcy 5. Dostawca moŜe jednak 
zaoszczędzić na materiałach dostarczając towar niskiej jakości, który 
będzie jednak bezuŜyteczny dla nabywcy. W tej sytuacji wypłata nabywcy 
będzie wynosić -6, zaś dostawcy 10.  

a)

 

Jakie jest rozwiązanie tej gry? 

(1;4) 

(5;2) 

(3;4) (1;4) 

1 

2 

1 

2 

E 

F 

C

 

D

 

A

 

B

 

X

Y

 

(2;1) (2;0) 

X

Y

 

 

Nabywca nie podpisze kontraktu, gdyŜ wie, Ŝe dostawca dostarczyłby 
mu dobro niskiej jakości. 
 
b)

 

Nabywca moŜe zabezpieczyć się przed ewentualnym oszustwem 
dostawcy ustalając w kontrakcie kwotę c, którą dostawca będzie 
musiał zapłacić nabywcy, jeŜeli ten udowodni mu, iŜ dostarczony 
towar jest złej jakości. ZałóŜmy, Ŝe z prawdopodobieństwem 0,5 
oszustwo zostanie udowodnione. Oblicz wysokość kary, która: 

- zrekompensuje nabywcy ewentualne straty z tytułu dostawy złej 
jakości: 
10 

≤

 -6+c/2  =>  c 

≥

 32 

 
- skłoni dostawcę do dostarczenia dobra wysokiej jakości: 
5 > 10-c/2  =>  c>10 
 
- spowoduje, iŜ nabywca nie podpisze umowy: 
(0 > -6+c/2) i (dostawca dostarczy dobro niskiej jakości)  =>   =>  
c < 12 i c < 10  =>  c < 10    
 
- spowoduje, iŜ dostawca nie podpisze umowy: 
dostawca zawsze podpisze umowę, gdyŜ dla kosztów większych od 
10 dostarczy dobro wysokiej jakości i osiągnie zysk = 5 

 
Zad. 4 (Zadanie z wykładu) 

 

Przykład: Wejście na rynek [Malawski s.64]  

Firma  A  zastanawia  się  nad  wprowadzeniem  na  rynek  nowego  towaru. 
Popyt na tego typu towar jest nieustabilizowany i moŜe nastąpić duŜa albo 
mała  sprzedaŜ.  Ocenia  się,  Ŝe  prawdopodobieństwo  dobrej  koniunktury 
wynosi  0,4,  a  słabej  0,6.  Konkurencyjna  firma  B  równieŜ  zamierza 
wprowadzić alternatywny towar na rynek. Na spodziewaną wielkość rynku 
Ŝadna z firm nie ma wpływu. Przyjmiemy, Ŝe o tym decyduje los. Firma B 
moŜe podjąć decyzję trochę później, kiedy juŜ wie, czy rynek jest duŜy czy 
mały,  ale  nie  wie  jaką  decyzję  podjęła  firma  A.  Zyski  kaŜdej  z  firm  będą 
zaleŜeć od tego jaka bezie koniunktura i co zrobi konkurent, a konkretnie: 
-  koniunktura  dobra:  obie  firmy  na  rynku:  (10;10);  A  weszła,  B  nie: 
(100;0); A nie weszła, B weszła: (0; 120); obie nie weszły: (0;0); 
- koniunktura zła: obie firmy na rynku: (-25;-39); A weszła, B nie: (2;0); 
A nie weszła, B weszła: (0; -6); obie nie weszły: (0;0). 

a)

 

Wyznacz wszystkie moŜliwe strategie poszczególnych graczy: 

(0;0) 
jakoś

(10;5) 

(-6+c/2;10-c/2) 

1, 2 

2 

brak porozumienia 

porozumienie 

wysoka jakość

 

niska jakość

 

 

S

1

={W, NW} 

S

2

={WdWm, WdNWm, NWdWm, NWdNWm} 

 
b)

 

Przedstaw grę w postaci normalnej: 

1

  

2

WdWm

WdNWm

NWdWm

NWdNWm

W

-11 ; -19,4

5,2 ; 4

25 ; -23,4

41,2 ; 0

NW

0 ; 44,4

0 ; 48

0 ; -3,6

0 ; 0

 

U(W;WdWz)=(0,4*10+0,6*(-25) ; 0,4*10+0,6*(-39)) = (-11 ; -19,4) 
U(W;WdNWz)=(0,4*10+0,6*2 ; 0,4*10+0,6*0) = (5,2 ; 4) 
U(W;NWdWz)=(0,4*100+0,6*(-25) ; 0,4*0+0,6*(-39)) = (25 ; -23,4) 
U(W;NWdNWz)=(0,4*100+0,6*2 ; 0) = (41,2 ; 0) 
 
U(NW;WdWz)=(0  ; 0,4*120+0,6*(-6)) = (0 ; -19,4) 
U(NW;WdNWz)=(0 ; 0,4*120+0,6*0) = (0 ; 4) 
U(NW;NWdWz)=(0 ; 0,4*0+0,6*(-6)) = (0 ; -23,4) 
U(NW;NWdNWz)=(0 ; 0) = (0 ; 0) 
 
c)

 

Jakie strategie wybiorą racjonalni gracze? (wyznacz NE): 

NE = {(W,WdNWm)} 
 
d)

 

Wyznacz SPNE: 

SPNE  =  NE  =  {(W,WdNWm)},  gdyŜ  jest  to  jedyna  NE,  a  poza  tym 
jedyną podgrą tej gry jest cała gra. 
 

 

(2;0) 

(0;120)  (0;0) 

1 

2 

los 

los 

W

NW 

M: 0,6

 

D: 0,4

 

Wd

 

NWd

 

(10;10)  (100;0) 

Wd

NWd

 

2 

D: 0,4

 

M: 0,6

 

2 

2

(0;-6) (0;0) 

(-25;-39)

Wm

 

Wm

 

NWm

 

NWm