www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

5

MARCA

2011

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(5

PKT

.)

Dla jakich warto´sci parametru p równanie

|

x

−

15

| =

p

3

−

4p ma dwa rozwi ˛azania, których

iloczyn jest liczb ˛a dodatni ˛a?

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(4

PKT

.)

Wyznacz dziedzin˛e funkcji f

(

x

) =

log

3−x

2+x

x

2

−

x

−

2

x

−

2

3

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(3

PKT

.)

Długo´sci boków trójk ˛ata ABC s ˛a kolejnymi wyrazami ci ˛agu geometrycznego o ilorazie q.
Wyka ˙z, ˙ze miary k ˛atów trójk ˛ata zbudowanego z odcinków o długo´sciach równych długo-

´sciom wysoko´sci trójk ˛ata ABC s ˛a równe miarom k ˛atów trójk ˛ata ABC.

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(5

PKT

.)

Sprawd´z czy punkt P

= (−

5, 5

)

jest ´srodkiem okr˛egu wpisanego w trójk ˛at o wierzchołkach

A

= (−

5,

−

5

)

, B

= (

5, 15

)

, C

= (−

11, 7

)

.

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(4

PKT

.)

Wielomian W jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: W

(

3

) =

1 oraz W

(−

3

) =

2.

Wyka ˙z, ˙ze nie wszystkie współczynniki wielomianu W s ˛a liczbami całkowitymi.

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(4

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnego k ˛ata α takiego, ˙ze sin α cos 3α

6=

0 zachodzi to ˙zsamo´s´c

tg 3α

tg α

=

3

−

4 sin

2

α

4 cos

2

α

−

3

.

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(4

PKT

.)

Liczby

log

(

3

·

2

n

)

, log 6

·

2

n

+

m

, log

12

·

2

m

+

n

+

3

, gdzie m, n

>

0,

s ˛a odpowiednio pierwszym, pi ˛atym i dziewi ˛atym wyrazem ci ˛agu arytmetycznego. Wy-
znacz ró ˙znic˛e tego ci ˛agu.

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(6

PKT

.)

W okr ˛ag o ´srednicy 26 wpisano trapez równoramienny w ten sposób, ˙ze suma kwadratów
długo´sci jego podstaw jest równa 914, a sinus k ˛ata ostrego wynosi

12

13

. Oblicz pole tego tra-

pezu.

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(4

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli punkt A le ˙zy na prostej y

= −

x

−

5, a punkt B ma współrz˛edne

B

= (

t

2

, t

2

+

6t

+

1

)

, dla pewnego t

∈

R

,

to długo´s´c odcinka AB jest nie mniejsza ni ˙z

3

√

2

4

.

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(6

PKT

.)

W ostrosłupie prawidłowym trójk ˛atnym kraw˛ed´z boczna ma długo´s´c 3

√

6, a kraw˛ed´z pod-

stawy ma długo´s´c 12. Oblicz miar˛e k ˛ata utworzonego przez dwie s ˛asiednie ´sciany boczne.

13

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

14

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(5

PKT

.)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których ˙zadne dwie spo´sród cyfr: 1,3,5,7,9 nie
s ˛asiaduj ˛a ze sob ˛a?

15

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

16