CAŁKI KRZYWOLINIOWE

I. Obliczyć całki:

1. 
   L: odcinek prostej od
   do
   ;

2. 
   L: łuk paraboli
   od
   do
   ;

3. 
   L: część elipsy
   leżąca w

I ćwiartce układu współrzędnych;

4. 
   L: górna część okręgu
   

między punktami
,
;

5. 
   L: część okręgu
   w

I ćwiartce układu współrzędnych;

6. 
   L: obwód kwadratu
   ;

7. 
   L: obwód trójkąta o wierzchołkach

;

8. 
   L:
   dla
   ;

9. 
   L:
   dla
   ;

10. 
    L:
    dla
    ;

11. 
    L: odcinek OA gdy O(0,0), A(1,1);

12. 
    L: a) odcinek OA

b) łamana OBA

gdy O(0,0), A(4,2), B(2,0);

13. 
    L: a) odcinek AB

b) łamana AOB

gdy O(0,0), A(1,-1), B(1,1);

14. 
    L: a) łamana ABC

b) odcinek AC

gdy A(0,1), B(1,4), C(2,3);

15. 
    L: a) parabola

b) odcinek

między punktami AB, gdy A(0,0), B(2,4);

16. 
    L:
    ;

17. 
    L: górny półokrąg od A(0,0) do B(2,0);

18. 
    L: okrąg
    ;

19. 
    L: a) odcinek OC

b) łamana OABC

gdy O(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,0), C(4,4,4).

II. Zastosowania fizyczne:

1. Znaleźć masę krzywej materialnej
   jeżeli gęstość liniowa jest równa kwadratowi odciętej.

2. W każdym punkcie obwodu kwadratu o równaniach boków
   przyłożono zmienną siłę o składowych
   . Obliczyć pracę tej siły.

3. Dane są punkty A(-6,0), B(0,6). Obliczyć pracę siły
   po:

1. paraboli
   , odcinku AB,

2. łamanej AOB,

3. odcinku AB.

4. Dane są punkty A(1,1,1), B(2,3,4). Obliczyć pracę siły
po odcinku

AB.

3