www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
10
KWIETNIA
2010
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
10
KWIETNIA
2010
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
1
(4
PKT
.)
Dwa poci ˛agi: towarowy o długo´sci 490 m i osobowy o długo´sci 210 m, jad ˛a naprzeciw siebie
po dwóch równoległych torach i spotykaj ˛a si˛e w miejscu S. Mijanie si˛e poci ˛agów trwa 20 s,
a czas przejazdu poci ˛agu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu
przejazdu poci ˛agu towarowego. Oblicz pr˛edko´sci obu poci ˛agów, zakładaj ˛ac, ˙ze poruszaj ˛a
si˛e ruchem jednostajnym.
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
2
(5
PKT
.)
Wyznacz dziedzin˛e funkcji
y
=
r 3
x
+
3
x
2
+
3
x
3
+
3
x
4
+
log
2x
+
2
5
−
x
6
−
x
.
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(6
PKT
.)
W trójk ˛acie prostok ˛atnym ABC wysoko´s´c BD dzieli przeciwprostok ˛atn ˛a AC na odcinki o
długo´sciach
|
AD
| =
3 i
|
DC
| =
24.
a) Oblicz długo´sci boków trójk ˛ata ABC.
b) Oblicz długo´s´c odcinka AE, gdzie E jest punktem wspólnym dwusiecznej k ˛ata BAC i
boku BC.
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
4
(4
PKT
.)
Dane s ˛a dwa niesko ´nczone ci ˛agi
(
x
n
)
i
(
y
n
)
takie, ˙ze dla ka ˙zdego n
>
1, punkt o współ-
rz˛ednych
(
y
n
+
n
, x
n
)
jest ´srodkiem ci˛e ˙zko´sci trójk ˛ata o wierzchołkach A
= (
x
n
, y
n
)
, B
=
(−
2, 1
)
, C
= (
4,
−
3
)
. Wyznacz wzory ci ˛agów
(
x
n
)
i
(
y
n
)
.
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(5
PKT
.)
Prawdopodobie ´nstwa zdarze ´n A i B oraz zdarze ´n do nich przeciwnych spełniaj ˛a warunki:
P
(
A
∪
B
′
) =
0, 23 i P
(
A
′
∪
B
′
) =
0, 81.
a) Oblicz P
(
B
)
.
b) Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli P
(
A
) <
0, 21 to P
(
A
′
∩
B
′
) >
0, 02.
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(5
PKT
.)
a) Wyka ˙z, ˙ze równanie x
5
+
8x
2
+
x
+
1
=
0 nie ma rozwi ˛aza ´n w przedziale
h−
1, 1
i
.
b) Wyka ˙z, ˙ze równanie
sin x cos
4
x
−
2 sin x cos
2
x
−
8 cos
2
x
+
2 sin x
+
9
=
0
nie ma rozwi ˛aza ´n rzeczywistych.
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(5
PKT
.)
´Srodki okr˛egów o
1
i o
2
znajduj ˛a si˛e po ró ˙znych stronach prostej y
= −
3x
+
2, która zawiera
punkty wspólne tych okr˛egów. Wiedz ˛ac, ˙ze promie ´n okr˛egu o
2
jest równy 7
√
2 oraz, ˙ze okr ˛ag
o
1
ma równanie
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
3
)
2
=
20, wyznacz równanie okr˛egu o
2
.
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(5
PKT
.)
Proste k, l, m s ˛a parami ró ˙zne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór S składaj ˛acy
si˛e z 3n punktów (n
>
3), przy czym na ka ˙zdej z prostych wybrano n punktów. Wiadomo
ponadto, ˙ze je ˙zeli trzy punkty zbioru S le ˙z ˛a na jednej prostej, to prost ˛a t ˛a jest k, l lub m.
Oblicz ile jest trójk ˛atów o wierzchołkach nale ˙z ˛acych do zbioru S.
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(6
PKT
.)
Wszystkie kraw˛edzie boczne ostrosłupa trójk ˛atnego ABCS o wierzchołku S maj ˛a długo´s´c
p2
+
√
3. Wiedz ˛ac, ˙ze
|∡
ASB
| =
30
◦
,
|
BC
| =
√
3,
|
AC
| =
2 oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(5
PKT
.)
Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których jeden z pierwiastków równania
4x
2
−
35x
+
m
2
=
0
jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
14