Budownictwo, matematyka 1
6 lista zadań.
Przegląd funkcji elementarnych
1. Przypomnieć pojęcie funkcji, dziedziny funkcji i zbioru jej wartości, definicje funkcji: rosnącej,
malejącej, parzystej, nieparzystej, okresowej i przykłady takich funkcji. Naszkicować wykresy
następujących funkcji i omówić ich własności (wg pojęć wcześniej wyszczególnionych):
,
3
)
(
a)
2
−
=
x
x
f
,
3
2
)
(
b)
2
+
−
−
=
x
x
x
f
,
3
)
(
c)
x
x
f
=
,
1
)
(
d)
x
x
f
−
=
,
2
1
)
(
e)
x
x
f
=
,
1
)
(
f)
−
=
x
x
x
f
,
2
1
)
(
g)
x
x
f
=
,
2
2
)
(
h)
−
=
x
x
f
,
2
log
)
(
i)
x
x
f
=
(
)
,
3
log
)
(
j)
2
1
+
=
x
x
f
,
2
sin
2
)
(
k)
x
x
f
=
,
2
cos
)
(
l)
x
x
f
=
.
cot
)
(
m)
x
x
f
=
2. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji
y
x
=
2
, naszkicować wykresy funkcji:
a) y
x
= −
2
2
,
(
)
,
3
b)
2
+
=
x
y
(
)
,
2
1
c)
2
+
−
=
x
y
.
3
4
d)
2
+
−
x
x
3. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji
x
y
2
=
, naszkicować wykresy funkcji:
.
4
2
d)
,
1
2
c)
,
1
2
b)
,
2
a)
2
+
−
=
−
=
+
=
=
−
+
x
x
x
x
y
y
y
y
4. RozwiąŜ równania i nierówności:
5,
2x
x
d)
,
0
c)
,
0
3
2
x
b)
,
0
2
2
a)
5
2
4
2
>
+
≥
−
<
−
−
≥
−
+
−
x
x
x
x
x
,
2
16
x
i)
,
x
x
h)
,
9
g)
,
4
4
f)
,
1
4
2
e)
2
2
2
x
x
x
x
x
x
−
=
−
<
>
=
−
<
+
+
3
3
1
1
,
1
6
2
7
1
+
x
3
3
2
1
l)
k)
,
0
j)
2
−
−
+
−
+
+
−
+
<
<
−
<
≥
x
x
x
x
x
x
x
x
.
5. Przypomnieć podstawowe wzory trygonometryczne, wzory redukcyjne i wzory na rozwiązanie równań
.
cot
cot
,
tan
tan
,
cos
cos
,
sin
sin
α
α
α
α
=
=
=
=
x
x
x
x
Rozwiązać równania i nierówności
trygonometryczne:
.
1
j)
,
1
cot
i)
,
cos
h)
,
sin
g)
,
sin
cos
sin
f)
,
cos
e)
,
tan
sin
d)
,
tan
c)
,
cos
b)
,
sin
a)
cos
1
cos
2
3
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
≥
>
>
<
⋅
=
=
=
=
=
=
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6. Wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz zbiór jej wartości (przeciwdziedzinę):
).
tan
3
log(
)
(
f)
,
sin
2
1
)
(
e)
,
)
1
log(
1
)
(
d)
,
1
log
)
(
c)
,
2
)
(
b)
,
1
+
x
x
=
(x)
a)
2
2
2
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
f
−
=
+
=
−
+
=
+
=
−
=
7. Określić, czy podane odwzorowania f: X
→
Y są „na” jeŜeli:
a) f(x) = sin x, X = 〈0; 2
π
〉, Y = 〈-1; 1〉,
b) f(x) = x
2
, X =
R, Y = 〈0;
∞
),
c) f(x) = 2
x
, X =
R, Y = 〈0;
∞
),
d) f(x) = x + 1/x, X = (0;
∞
), Y =
R,
e) f(x) = x + 1/x, X = (0;
∞
), Y = 〈2;
∞
).
8. Jakie okresy podstawowe mają funkcje okresowe:
a) f(x) =
cos 2x
, b) g(x) = (
−
1)
k
, k
∈
Z ?
9. Uzasadnić, Ŝe podane funkcje są parzyste lub nieparzyste:
.
x
x
=
u(x)
h)
,
x
3
x
3
=
t(x)
g)
x,
sin
=
p(x)
f)
,
x
x
+
2
=
l(x)
e)
,
x
sin x
=
k(x)
d)
,
sin x
=
h(x)
c)
,
x
2
+
x
2
=
g(x)
b)
1,
+
3x
-
x
=
f(x)
a)
3
3
2
3
2
4
⋅
−
−
−
10. Czy podane funkcje są ograniczone na wskazanych zbiorach:
R
,
1
+
x
1
=
k(x)
c)
1);
(0;
,
x
log
=
h(x)
b)
;
3)
(1;
,
x
1
=
g(x)
a)
2
2
?
11. Określić monotoniczność znanych funkcji elementarnych.
12. Określić złoŜenie funkcji:
f f f g, g f, g g
o
o
o
o
,
oraz dziedziny tak złoŜonych funkcji jeŜeli:
a) f(x) = x
g(x) =
x b) f(x) = 2
g(x) = cos x;
c) f(x) = x g(x) =
1
x
d) f(x) =
x
1 + x
, g(x) =
1
x
.
2
3
3
2
x
,
;
,
,
;
13. Wyznaczyć funkcje odwrotne do danych funkcji oraz określić ich dziedziny i przeciwdziedziny:
(
)
f(x)
3x
2, f(x)
x
1
2x
1
, f(x)
2
2, f(x)
log
x
3
f(x) = 2 - x + 1
f(x)
x
2x dla x
1; )
x 1
2
5
2
=
+
=
−
+
=
+
=
+
=
−
∈
∞
−
,
,
.
14. Własności funkcji cyklometrycznych. Wyznaczyć wartości:
,
2
2
-
arccos
,
2
3
arcsin
,
2
1
arcsin
−
arctg 3 arctg(-1), arcctg 3 arcctg0
.
,
,
15. Obliczyć wartość wyraŜenia: arcsin (
−
x) + arctg (2x) + arccos (2x), jeŜeli arccos x =
2
3
π
.
16. Obliczyć wartość wyraŜenia:
5
3
arccos
2
sin
b)
,
3
2
2arcsin
cos
)
a
.
17. Naszkicować wykres funkcji f(x), jeŜeli:
[ ]
[ ]
[ ]
.
2
)
sgn(sin
1
)
(
e)
,
)
(
d)
sgnx
x
f(x)
c)
,
sin
)
(
b)
,
2
)
(
a)
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
+
=
−
=
⋅
=
=
=
(
0.
<
gdy x
1,
-
0
=
gdy x
0,
0
>
gdy x
1,
=
sgnx
; [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą liczby x).
Budownictwo, matematyka 1
7 lista zadań. Granica i ciągłość funkcji.
1. Przypomnieć niektóre podstawowe granice ciągów. Wyznaczyć granice danych ciągów:
,
+
=
a
h)
,
=
a
g)
,
=
a
f)
,
n
3
n
=
a
e)
,
=
a
d)
,
+
n
=
a
c)
,
1
n
+
n
n
=
a
b)
,
=
a
)
a
n
n
n
3
+
n
n
2
2
2
4
3
5
2
1
+
3n
4n
+
n
sin
n
+
...
+
3
+
2
+
1
2
3n
+
n
n
5
n
2n
n
n
n
2
n
2
n
n
3
n
n
2
+
n
3
−
−
−
−
−
−
n
( )
.
=
a
l)
,
=
a
k)
,
=
a
i)
1
2n
n
3n
n
1
n
1
n
2
+
n
n
2
+
1
n
n
n
−
+
+
2. Pojęcie granicy funkcji w punkcie x
0
w sensie definicji Heinego. Twierdzenia o granicy funkcji
złoŜonych.
3. Wyznaczyć wskazane granice funkcji:
a) lim
b) lim
sin2x
5x
c) lim
tgx
3x
d) lim
e) lim
x
1
4
x
0
x
0
x
0
x
4
x
1
x
1
e
1
e
1
1
2x
3
x
2
3x
x
→
→
→
→
→
−
−
−
−
+
−
−
,
,
,
,
,
(
)
f lim (1
x)
g) lim
x
x
h) lim
x
-
x
0
1
x
2
x
3
x
x
2
3x
1
x
2
x
1
)
,
,
→
+
→∞
→ ∞
+
−
−
+ −
+ +
.
4. Podać wartości granic jednostronnych:
lim sgn ,
sgn ,
x
x
x
→ −
→
→ −
→ −
→ −
→
0
lim
lim
1
x
, lim tg
x, lim [x], lim [x
x
0
+
x
0
3
x
1
2
x
0
x
0
+
],
π
.
e
lim
,
2
lim
,
2
lim
,
2
sgn
1
lim
,
2
sgn
1
lim
,
2
3
lim
1
2
1
x
1
+
0
x
1
0
x
0
+
0
x
2
−
−
→
→
−
→
−
→
→
+
→
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5. Podać określenie funkcji ciągłej w punkcie x
0
, ciągłej w przedziale otwartym (a; b), ciągłej w
przedziale zamkniętym 〈a; b〉. Co to są punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju ?
6. W jakich punktach dane funkcje nie są ciągłe:
[x]
x
[x],
,
x
1
arctg
,
1
x
x
,
x
sinx
,
2
2
−
−
+
x
x
x
?
7. Zbadać ciągłość funkcji:
.
0
=
x
dla
1
0
x
dla
x
sinx
=
g(x)
b)
,
0
x
dla
1)
-
(x
0
<
x
dla
1
x
f(x)
a)
2
≠
≥
+
=
Budownictwo, matematyka 1
8 lista zadań. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania
1. Określenie pochodnej funkcji w punkcie.
Wyznaczyć z definicji pochodną w punkcie x
0
funkcji: a) f(x) = x
2
−
3x, b) f(x) = x
1
2
+
.
2. Podstawowe wzory dotyczące obliczania pochodnych znanych funkcji elementarnych. Pochodna sumy,
iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złoŜonej (przeliczyć róŜne prostsze przypadki).
3. Wyznaczyć pochodne funkcji: y = x
⋅
sinx, y = x
3
⋅
cos
2
x, y = x
4
⋅
e
−
x
, y = x
⋅
e
1/x
, y =
2x
3x
2
−
,
,
x
+
1
1
,
x
+
1
x
1
x
lnx
1
+
x
arctg
=
y
2),
-
(3x
sin
=
y
,
ln
=
y
),
1
x
+
ln(x
=
y
=
y
,
=
y
2
2
2
+
−
.
cosx
x
x
=
y
,
x
=
y
x
1
arcsin
=
y
ln(2x),
x
=
y
,
3
−
4. Wyznaczyć pochodną rzędu n-tego funkcji:
y = x y = lnx, y = sinx, y = a
y = e
y = x e
6
x
2x
x
,
,
,
.
⋅
5. Wyznaczyć pochodną rzędu czwartego funkcji y = sin
2
x w punkcie x = 0 oraz pochodną rzędu
trzeciego funkcji y = arcsinx w punkcie x = 0.
6. Określenie róŜniczki funkcji. Kiedy moŜna zastąpić przyrost
∆
f funkcji jej róŜniczką df ?
Obliczyć przyrosty i róŜniczki funkcji f(x) = x
2
jeŜeli x
0
= 1 oraz
∆
x jest równy kolejno: 5, 1, 0
.
1, 0
.
01.
Obliczyć przybliŜoną wartość wyraŜeń:
.
.
.
05)
ln(1
,
e
,
02
4
1
1
wykorzystując pojęcie róŜniczki.
7. Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji y = x
3
–2x
2
+1 w punkcie P=(2, 1).
8. Znaleźć kąt przecięcia krzywych: y = 2x
2
– x + 1 i y = x
2
+ 4x - 3.
9. Wykazać, Ŝe styczna do hiperboli xy = 1 ogranicza z osiami układu współrzędnych trójkąt o stałym
polu.
10. Stosując twierdzenie de l’Hospitala obliczyć granice:
)
(
lim
,
ln
lim
,
)
2
1
ln(
1
lim
,
1
ln
lim
,
sin
sin
tg
lim
,
2
sin
1
lim
1
sin
1
0
x
0
x
2
0
x
3
1
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
e
−
→
→
→
→
→
→
⋅
+
−
−
−
−
−
,
lim
lim
lim
lim
x
0
x
x
0
x
-
→
−
−
→∞
→
→ ∞
−
+
(
),
.
(
ln ),
,
(
)
1
1
1
1
2
x
e
x
e
x
x
x
x
x
e
x
11. Znaleźć wzór Taylora dla następujących funkcji:
.
0
=
x
x),
+
ln(1
=
y
c)
0;
=
x
sinx,
=
y
b)
0;
=
x
,
x
e
=
y
a)
o
o
o
2
12. Określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji:
;
x
lnx
=
y
d)
;
x
1
exp
x
=
y
c)
;
lnx
x
=
y
b)
;
x
1
x
y
a)
2
2
−
⋅
−
=
;
2
0;
x
),
2
cos(
+
cos(x)
=
y
f)
;
)
1
ln(
arctg(x)
=
y
e)
2
1
2
2
1
>
∈<
+
−
π
x
x
)
x
1
(
x
9
=
y
g)
3
2
2
−
⋅
.
13. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale:
;
0
;
2
x
,
4x
1
=
y
a)
>
−
∈<
−
;
4
;
1
x
,
e
x
=
y
b)
x
4
2
>
∈<
.
1
;
1
x
,
2
+
x
4
+
2x
+
x
=
y
c)
2
>
−
∈<
14. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia krzywych:
a) y = ln(x - 4) ; b) y = 3x - 10x - 30x - 2x ; c) y = xe ; d) y =
x
4 - x
2
5
4
3
1
x
2
;
e) y =
x
lnx
; f) y = ln x
lnx
2
.
+
15. Przeprowadzić badanie następujących funkcji:
a) y =
2x
(x - 1)
; b) y =
(x - 1)
(x + 1)
; c) y = x 1 - x ; d) y = xe
;
3
2
3
2
2
1
x
−
e) y = (x + 2)e ; f) y = (x
e
x
; g) y = ln(x +
x
1
x
2
2
.
−
+
3
1
)
)
J. Szymczak