^{BIOTECHNOLOGIA, TECHNOLOGIA CHEMICZNA}

^{SEM. II, 2008/09}

^{mgr K. Kiepiela}

CAŁKI WIELOKROTNE

CAŁKI PODWÓJNE I ICH ZASTOSOWANIA

Zadanie 1

Całkę podwójną
zamień na całki iterowane, jeżeli:

1.1
- prostokąt o wierzchołkach

1.2
- prostokąt o wierzchołkach

1.3
- kwadrat o wierzchołkach

1.4
- kwadrat o wierzchołkach

1.5
- obszar ograniczony krzywymi

1.6
- obszar ograniczony krzywymi

1.7
- obszar ograniczony krzywymi

1.8
- obszar ograniczony krzywymi

1.9
- obszar ograniczony krzywymi

Zadanie 2

Oblicz całki podwójne:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

Zadanie 3

Oblicz:

3.1
obszar domknięty ograniczony krzywymi

3.2
obszar domknięty ograniczony krzywymi

3.3
obszar domknięty ograniczony krzywymi

3.4
obszar domknięty ograniczony krzywymi

3.5
obszar domknięty ograniczony krzywymi
oraz osiami układu

współrzędnych,

3.6

3.7
obszar jest trójkątem o wierzchołkach

3.8
obszar domknięty ograniczony krzywymi

Zadanie 4

Oblicz:

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

Zadanie 5

Oblicz za pomocą całki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi:

5.1
5.2

5.3
5.4
dla

dla

5.5
dla
5.6
dla

5.7
5.8

5.9
5.10

Zadanie 6

Oblicz za pomocą całki podwójnej objętość bryły ograniczonej:

6.1 płaszczyznami

6.2
osiami układu współrzędnych i płaszczyznami

6.3
osiami układu współrzędnych i płaszczyznami

6.4
płaszczyznami

6.5
płaszczyznami

6.6 powierzchnią
i płaszczyzną

6.7 powierzchniami

6.8 powierzchniami

6.9 sferą
i walcem
,

6.10

6.11

Zadanie 7

Obliczyć powierzchni bocznej stożka o promieniu R i wysokości H.

Zadanie 8

Obliczyć pole powierzchni walca
ograniczonego płaszczyznami

Zadanie 9

Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:

9.1 wyciętego ze sfery
walcem
,

9.2 części stożka
ograniczonego powierzchnią

9.3 części stożka
ograniczonego powierzchnią

CAŁKI POTRÓJNE

Zadanie 10

Oblicz:

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

3