SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 1
Całki wielokrotne
Zad.1
Całkę podwójną
RR
D
f (x, y) dxdy zamień na całki iterowane, jeżeli obszar D jest ograniczony
przez:
a) y = x, y = −x, x = 1;
b) y = x, y = −x, y = 1;
c) y = x, y =
1
x
, y = 5;
d) y = ln x, y = −x + 1, y = 1;
e) y = ln x, x = e
2
, y = 1;
f) y = arctgx, y =
π
4
x
2
;
g) x
2
+ y
2
= 9;
h) y = |x| − 1, y =
√
1 − x
2
;
i) y = x
2
, y = −x
2
, x = y
2
, x = −y
2
.
Zad.2
Oblicz:
a)
RR
D
xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, y = 2x, x = −1, x = 2;
b)
RR
D
xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi y = x
2
, x = y
2
;
c)
RR
D
(2x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez x = 0, y = 0, x + y = 3;
d)
RR
D
sin(x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = 0, y = x, y + x =
π
2
;
e)
RR
D
x
x
2
+ y
2
dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, x = 2y, x = 2.
f)
RR
D
(
1
3
√
x + 1
+ x)ye
y
2[3
3
q
(
π
2
+ 1)
2
+
π
2
4
− 3
3
q
(arcsin y + 1)
2
− (arcsin y)
2
]
dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-
ny przez y = 0, y = sin x dla 0 ¬ x ¬
π
2
;
g)
RR
D
ln(1 + x
2
+ y
2
) dxdy, gdzie D = {(x, y) : x
2
+ y
2
¬ 25, x ¬ 0};
h)
RR
D
ln(x
2
+ y
2
)
x
2
+ y
2
dxdy, gdzie D = {(x, y) : x
2
+ y
2
¬ e
2
, x
2
+ y
2
1};
i)
RR
D
x
2
√
x
2
+ y
2
dxdy, gdzie D = {(x, y) : x
2
+ y
2
¬ 1, y x};
j)
RR
D
√
4 − x
2
− y
2
dxdy, gdzie D = {(x, y) : x
2
+ y
2
¬ 2x, y 0};
k)
RR
D
dxdy
√
x
2
+ y
2
, gdzie D = {(x, y) : x
2
+ y
2
1, x
2
+ y
2
¬ 4, y x};
l)
RR
D
y dxdy , gdzie D = {(x, y) : y 0, x
2
+ y
2
¬ 2x};
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 2
m)
2
R
0
√
y
2
R
y2
4
e
1
x+1
2
√
x(1 −
√
x
3
)(x + 1)
2
dxdy;
n)
√
2
R
0
√
2
√
2 y
R
y
2
2ye
x
x −
x
4
8
dxdy;
o)
3
R
0
√
4x−x
2
R
2
√
3−
√
12−x
2
√
x
2
+ y
2
dydx;
p)
9
R
0
3
R
√
y
sin (πx
3
) dxdy.
Zad.3
Za pomocą całki podwójnej oblicz pole obszaru ograniczonego przez:
a) y = −x
2
+ 4; y = 3
√
x; y = 0 dla x ¬ 0;
b) y = x, y =
1
x
, y = 2;
c) x = 4 − y
2
, x = y − 2;
d) y = x
2
, y = −x
2
+ x + 1;
e) y = 3x
2
− 4x, x = −1, x = 1, y = 0;
f) y
2
= x, y
2
= 2x, xy = 2, xy = 4;
g) x
2
+ y
2
= 2y, x
2
+ y
2
= 4y, y = x, y =
√
3x.
Zad.4
Za pomocą całki podwójnej oblicz objętość bryły ograniczonej przez przez:
a) z =
√
x
2
+ y
2
, z = 4;
b) z = x
2
+ y
2
= 4, z = 4;
c) z = x
2
+ y
2
, z =
√
x
2
+ y
2
;
d) z = x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
= 1, z = 0;
e) x + y + z = 1 oraz płaszczyzny układu współrzędnych;
f) x
2
+ y
2
= 1, z = y − 1, z = 0;
g) z = 7 − x
2
, z = −2, y = −1, y = 4;
h) z =
√
x
2
+ y
2
, z = 6 − x
2
− y
2
;
i)
x
2
16
+
y
2
9
= 1, z =
x
2
16
+
y
2
9
, z = 0;
j) z =
√
x
2
+ y
2
, z = 1, z = 2;
k) z
2
= x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
+ z
2
= 1;
l)
x
2
9
+
y
2
4
= 1, z = x
2
+ y
2
, z = x
2
+ y
2
+ 4;
m) x
2
+ y
2
− 4z
2
= 0, x
2
+ y
2
− 8z = 0;
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 3
n) y
2
+ z
2
− x = 1, x = 0.
Zad.5
Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:
a) części stożka z =
√
x
2
+ y
2
ograniczonego powierzchnią x
2
+ y
2
= 4;
b) wyciętego walcem
x
2
9
+
y
2
4
= 1 z paraboloidy z =
x
2
6
+
y
2
4
;
c) walca parabolicznego z = x
2
wyciętego płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x =
√
2;
d) paraboloidy z =
x
2
2
+
y
2
2
zawartej wewnątrz walca x
2
+ y
2
= 4;
e) wyciętego walcem x
2
+ y
2
= 4 ze sfery x
2
+ y
2
+ z
2
= 9;
f) wyciętego walcem x
2
+ y
2
= 2x ze sfery x
2
+ y
2
+ z
2
= 4.
Zad.6
Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej ρ:
a) x
2
+ y
2
¬ x, x
2
+ y
2
¬ y, ρ(x, y) =
1
(1 − x
2
− y
2
)
2
;
b) 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2x, ρ(x, y) = 1.
Zad.7
Oblicz:
a)
RRR
V
1
(x + y + z)
3
dxdydz, gdzie V jest zawarty pomiędzy płaszczyznami układu współrzęd-
nych i płaszczyzną x + y + z = 1;
b)
RRR
dxdydz
(x + y + z + 1)
3
, gdzie obszar V jest bryłą ograniczoną płaszczyznami x + z = 3, y = 2
i płaszczyznami układu współrzędnych;
c)
RRR
V
(2x + 3y − z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami x = 0,
y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2;
d)
RRR
V
(4 + z) dxdydz, gdzie V jest obszarem −1 ¬ x ¬ 1, y
2
¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2;
e)
RRR
V
(x
2
+ y
2
) dxdydz, gdzie V jest obszarem x
2
+ y
2
+ z
2
¬ a
2
i z 0;
f)
RRR
V
(x
2
+ y
2
) dxdydz, gdzie V jest obszarem 1 ¬ x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4, y 0;
g)
RRR
V
dxdydz
x
2
+ y
2
+ z
2
, gdzie V jest obszarem x
2
+ y
2
+ z
2
¬ R
2
, x ¬ 0, y ¬ 0, z 0;
h)
RRR
V
√
x
2
+ y
2
+ z
2
dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią x
2
+ y
2
+ z
2
= z;
i)
RRR
V
√
x
2
+ y
2
dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią x
2
+ y
2
= z
2
i płaszczy-
znami z = −1, z = 1;
j)
RRR
V
√
x
2
+ y
2
dxdydz, gdzie V jest ograniczony przez z
2
= x
2
+ y
2
, z = −1, z = 5;
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 4
k)
RRR
V
z dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona płaszczyzną z = h i powierzchnią z
2
=
h
2
R
2
(x
2
+ y
2
);
l)
RRR
V
z
2
dxdydz, gdzie V jest częścią wspólną obszarów x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4, x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4z;
m)
RRR
V
z
2
dxdydz, gdzie V jest obszarem x
2
+ y
2
+ (z − 1)
2
¬ 1;
n)
RRR
V
x dxdydz, gdzie V jest ograniczony przez x
2
+ y
2
= −2z + 9, x = 0, y = 0, z = 0 (dla
x 0, y 0);
o)
RRR
V
x
2
dxdydz, gdzie V jest ograniczony powierzchnią
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1;
p)
RRR
V
x
2
dxdydz, gdzie V jest obszarem x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4x;
r)
RRR
V
yz dxdydz
√
4 − x
2
− y
2
, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią z
2
= 2x
2
+ 2y
2
oraz płasz-
czyznami x = 0, y = 0 i z = 2 dla x 0, y 0 i z 0.
Zad.8
Korzystając z całki potrójnej oblicz objętość bryły:
a) ograniczonej przez 2x + y + z = 12, z = 0, y = 2
√
3x, y = 0;
b) ograniczonej przez x + y + z = 4, x = 3, y = 2 i płaszczyznami układu współrzędnych;
c) ograniczonej przez x
2
+ y
2
= az i x
2
+ y
2
= z
2
;
c) ograniczonej przez z = 4x
2
+ y
2
, z = 4 − 3y
2
;
d) ograniczonej przez x
2
+ y
2
= 1, z = y + 1, z = −1;
e) ograniczonej przez
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, x + z = 2a i x − z = 2a;
f)
x
2
4
+
y
2
9
¬ 1, 0 ¬ z ¬
x
2
4
+
y
2
9
;
g) x
2
+ y
2
= 2z
2
(dla x
2
+ y
2
¬ 2z
2
) i x
2
+ y
2
= 3 − z (dla x
2
+ y
2
¬ 3 − z);
h) ograniczonej przez 4x
2
+ 9y
2
= 36z
2
, 4x
2
+ 9y
2
= 36 i płaszczyzną z = 0;
i) ograniczonej przez x
2
+ y
2
+ z
2
= 2x;
j) x
2
+ y
2
+ z
2
¬ R
2
, x
2
+ y
2
¬ a
2
, gdzie 0 ¬ a ¬ R;
k) x
2
+ y
2
+ z
2
¬ R
2
, x
2
+ y
2
a
2
, gdzie 0 ¬ a ¬ R;
l) ograniczonej przez x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 i x
2
+ y
2
= 3z
2
;
m) x
2
+ y
2
+ z
2
4, x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9, x
2
+ y
2
¬ z
2
;
n) ograniczonej przez z
2
= x
2
+ y
2
, z = 4;
o) ograniczonej przez z
2
= x
2
+ y
2
, z = −4, z = 8;
p) ograniczonej przez z
2
= x
2
+ y
2
, z = x
2
+ y
2
;
r) zawartej wewnątrz x
2
+ y
2
= z
2
oraz ograniczonej powierzchnią x
2
+ y
2
+ z
2
= 81;
SNM
- sem.II -
dr Anita Tlałka - 5
Zad.9
Korzystając z całki potrójnej oblicz masę obszaru V o gętości ρ:
a) 0 ¬ x ¬ a, 0 ¬ y ¬ b, 0 ¬ z ¬ c (a, b, c > 0), gdzie ρ(x, y, z) = x + y + z;
b) x
2
+ y
2
¬ 4, z ¬ 2
√
x
2
+ y
2
, z 0, gdzie ρ(x, y, z) = x
2
+ y
2
;
c) x
2
+ y
2
¬ 2x, 0 ¬ z ¬ 1, y 0, gdzie ρ(x, y, z) = z
√
x
2
+ y
2
.