CAŁKA NIEOZNACZONA 







c

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

, gdzie 

)

(

)

(

x

f

x

F





 

 

)

(x

F

 - funkcja pierwotna 

)

(x

f

 

Własności: 

















dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

, 

 







dx

x

f

c

dx

x

f

c

)

(

)

(

 

Całki podstawowe:  



 c

dx

0

 







c

a

a

dx

a

x

x

ln

, 

0



a

 

c

x

dx

x









cos

sin

 

c

x

dx

x







cosh

sinh

 







c

x

dx

 







c

e

dx

e

x

x

 







c

x

dx

x

sin

cos

 

c

x

dx

x







sinh

cosh

 











c

n

x

dx

x

n

n

1

1

, 

1





n

 









c

x

x

dx

arctg

1

2

 









c

x

x

dx

ctg

sin

2

 









c

x

x

dx

ctgh

sinh

2

 







c

x

dx

x

ln

1

 









c

x

x

dx

arcsin

1

2

 







c

x

x

dx

tg

cos

2

 







c

x

x

dx

tgh

cosh

2

 

Całkowanie przez podstawienie: 

Całkowanie przez części: 

Wzór: 













dt

t

t

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(





 

)

(t

x





 

dt

t

dx

)

(





 









du

v

v

u

dv

u

 









c

x

f

dx

x

f

x

f

)

(

ln

)

(

)

(

 

Podstawienie uniwersalne: 

Wzory rekurencyjne: 

t

x



2

tg

 

















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

sin

1

cos

sin

1

sin

 

dt

t

dx

2

1

2





 

2

1

2

sin

t

t

x





 

2

2

1

1

cos

t

t

x







 















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

cos

1

sin

cos

1

cos

 

Całka funkcji wymiernej: 















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

tg

tg

1

1

tg

 







dx

c

bx

ax

2

1

 

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

ctg

ctg

1

1

ctg

 

0





 













dx

x

x

x

x

a

2

1

1

 - rozkład na ułamki 















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

sinh

1

cosh

sinh

1

sinh

 

0





 









dx

x

x

a

2

1

1

 - podstawienie 

1

x

x

t





 















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

cosh

1

sinh

cosh

1

cosh

 

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

tgh

tgh

1

1

tgh

 

0





 





















dx

a

a

b

x

a

4

2

1

2

=











b

ax

2

arctg

2

 

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

ctgh

ctgh

1

1

ctgh

 

 

Własności funkcji 

 

trygonometrycznych: 

hiperbolicznych: 

Funkcje hiperboliczne: 

1

cos

sin

2

2





x

x

 

1

sinh

cosh

2

2





x

x

 

x

x

x

cos

sin

2

2

sin



 

x

x

x

cosh

sinh

2

2

sinh



 

x

x

x

2

2

sin

cos

2

cos





 

x

x

x

2

2

sinh

cosh

2

cosh





 

2

sinh

x

x

e

e

x







 

2

cosh

x

x

e

e

x





