MATEMATYKA

FINANSOWA

Wykład UMCS

Finanse i Rachunkowość

2

Literatura

1.

W. Ronka-Chmielowiec, K. Kuziak: Podstawy matematyki finansowej.
Wydawnictwo AE Wrocław, 2001.

2.

E. Smaga: Arytmetyka Finansowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-
Kraków, 1999.

3.

E. Smaga, E. Dobija: Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków, 1995.

4.

M. Sobczyk: Matematyka finansowa. Podstawy teoretyczne, przykłady,
zadania. Agencja Wydawnicza PLACET, Warszawa 1995.

5.

W. Bijak, M. Podgórska, J. Utkin: Matematyka finansowa. Teoria i praktyka
obliczeń finansowych. Wydawnictwo Biznat, Warszawa 1994.

3

Wprowadzenie

Pieniądz otrzymany dzisiaj jest wart więcej,

niż pieniądz otrzymany jutro

 

Czas to pieniądz

Pieniądzom trzeba rozkazywać,

a nie służyć im

4

Wprowadzenie

Skutki różnicy wartości pieniądza w czasie:

1.

Spadek siły nabywczej

2.

Możliwość inwestowania

3.

Występowanie ryzyka

4.

Preferowanie bieżącej konsumpcji przez
człowieka

5

Wprowadzenie

Wartość pieniądza w czasie odzwierciedlana

jest przez stopę procentową

 
Stopa procentowa - cena, jaką

pożyczkobiorca musi płacić za przywilej
korzystania z pieniędzy udostępnionych
mu

przez

pożyczkodawcę,

a

pożyczkodawca jest wynagradzany za to,
że nie dysponuje swoimi pieniędzmi

6

Wprowadzenie

Stopa procentowa w skali okresu (najczęściej

w skali roku)

Stopa procentowa dotycząca okresu (np.

półroczna oznaczająca okres działalności
inwestycyjnej)

Aktualizacja wartości kapitału może

dotyczyć momentu bieżącego lub
pewnego momentu w przyszłości

7

Wprowadzenie

Operacje związane z wartością pieniądza w

czasie:

Kapitalizacja jest operacją polegającą na

obliczaniu kwoty, do jakiej wzrasta po
określonym

czasie

wpłacony

kapitał

(inaczej dopisywanie odsetek do kapitału)

inwestycji)

8

Wprowadzenie

Kapitalizacja i reinwestycja
dochody pojawiające się w okresie

inwestowania są kapitalizowane
(„dodawane do kapitału”), w efekcie czego
występuje zjawisko reinwestowania
(ponownego inwestowania dochodów z
inwestycji)

9

Wprowadzenie

Dyskontowanie jest operacją

otrzymywania wartości początkowej
kapitału na podstawie przyszłej wartości
kapitału.

10

Wprowadzenie

Stopa procentowa występująca przy

kapitalizacji mierzy tempo pomnażania
wartości kapitału w czasie

Stopa procentowa występująca przy

dyskontowaniu mierzy tempo
pomniejszania wartości kapitału w czasie

W praktyce stopy te mogą być różne.

11

Wprowadzenie

Wartość przyszła pieniądza (FV) –

wartość otrzymywana lub płacona w
przyszłości;

kwota pieniężna, którą uzyskuje się w

przyszłym okresie po zastosowaniu
kapitalizacji do kwoty początkowej

12

Wprowadzenie

wartość bieżąca pieniądza, wartość

obecna, wartość teraźniejsza, wartość
aktualna, wartość zaktualizowana,

wartość zdyskontowana, wartość dzisiejsza

(PV) – wartość otrzymywana lub płacona
dziś;

wartość pieniądza w chwili obecnej

13

Wprowadzenie

dyskontowanie

kapitalizacja

P

V

F

V

0 1 2

n

Aby dokonać kapitalizacji i
dyskontowania trzeba określić stopę
procentową i czas

14

Wprowadzenie

okres stopy procentowej – bazowa

jednostka czasu, po której kapitał
początkowy wzrasta o odpowiedni procent

 
stopa procentowa – procent, o jaki wzrasta

kapitał po upływie bazowej jednostki czasu
(taką jednostką jest zazwyczaj rok)

15

Wprowadzenie

r =
 

Stopa procentowa:



liczba niemianowana



przyjmuje wartości na ogół z przedziału
(0,1)



można ją wyrazić w procentach, mnożąc
przez 100%

PV

PV

FV 

16

Wprowadzenie

Okres konwersji – przedział czasu, w

którym oblicza się oprocentowanie.

Okres bazowy jest zbieżny z okresem

konwersji, lub jest jego wielokrotnością

 
Jeśli odsetki dopisywane są:



na końcu okresu, kapitalizacja z dołu



na początku okresu, kapitalizacja z góry

17

Wprowadzenie

Sschematy przepływów pieniężnych:



pojedynczy przepływ pieniężny



renta płatna z dołu



renta płatna z góry



wiele regularnych przepływów pieniężnych



wiele nieregularnych przepływów
pieniężnych

18

Modele kapitalizacji

19

Kapitalizacja prosta



Jeżeli odsetki od kapitału powiększają stan
konta, ale nie podlegają oprocentowaniu
po upływie kolejnej bazowej jednostki
czasu, nie są one kapitalizowane, to
mówimy, że jest to kapitalizacja prosta.

20

Kapitalizacja prosta FV

PV=100, r=10%, n=4



FV1=100+(100x0,1)=110



FV2=FV1+(100x0,1)=120



FV3=FV2+(100x0,1)=130



FV4=FV3+(100x0,1)=140

FV = PV (1 + nr)

21

Zarobione odsetki



FV–PV =140-100=40



FV–PV = PV×n×r

22

Kapitalizacja prosta PV

FV=100, r=10%, n=4



PV3=100/(1+0,1)= 90,91



PV2=100/(1+0,2)= 83,33



PV1=100/(1+0,3)= 76,92



PV0=100/(1+0,4)= 71,43

nr

1

FV

PV





23

Odsetki co pół roku

PV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja

półroczna



FV1/2=100+(100x0,05)=105



FV1 =FV1/2+(100x0,05)=110



FV3/2=FV1+(100x0,05)=115



FV2 =FV3/2+(100x0,05)=120

24

Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?

Kapitalizacja prosta



Nie ma!!!

25

Kapitalizacja złożona
zgodna



Jeśli oprocentowaniu podlega kapitał
początkowy powiększony o nagromadzone
odsetki, to mówimy, że jest to
kapitalizacja złożona.



Zakładamy, że okres konwersji i bazowa
jednostka czasu są identyczne
(kapitalizacja zgodna), odsetki dopisywane
są na końcu okresu.

26

Kapitalizacja złożona FV

PV=100, r=10%, n=4



FV1=100+(100x0,1)=110



FV2=FV1+(110x0,1)=121



FV3=FV2+(121x0,1)=133,1



FV4=FV3+(133,1x0,1)=146,41

FV

n

= PV (1 + r)

n

27

Zarobione odsetki



FV–PV=146,41-100=46,41



FV–PV = PV×((1+r )

n

– 1)

28

Kapitalizacja złożona PV

FV=100, r=10%, n=4



PV3=100/(1+0,1)=90,91



PV2=PV3/(1+0,1)=82,64



PV1=PV2/(1+0,1)=75,13



PV0=PV1/(1+0,1)=68,30

 

n

r

FV

PV





1

29

Kapitalizacja złożona
niezgodna



W tym przypadku okres bazowy jest
wielokrotnością okresu konwersji i stopa
efektywna jest różna od stopy nominalnej.



Niech r oznacza nominalną roczną stopę
procentową. Rok jest podzielony na m
okresów procentowych równych co do
długości. Po każdym m-okresie
procentowym występuje kapitalizacja
odsetek.

30

Kapitalizacja złożona
niezgodna

okres stopy procentowej

okres konwersji

m=

Stopa względna = r/m

31

Kapitalizacja złożona FV

PV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja

półroczna m=2



FV1/2=100+(100x0,05)=105



FV1=FV1/2+(105x0,05)=110,25



FV3/2=FV1+(110,25x0,05)=115,76



FV2=FV3/2+(115,76x0,05)=121,55

32

Kapitalizacja złożona PV

FV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja

półroczna



PV3/2 =100/(1+0,05)=95,24



PV1 =PV3/2 /(1+0,05)=90,70



PV1/2 =PV1/(1+0,05)=86,38



PV0 =PV1/2 /(1+0,05)=82,27

33

Kapitalizacja złożona

m

n

n

m

r

1

PV

FV













 



m

n

n

m

r

1

1

FV

PV













 





34

Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?

Kapitalizacja złożona

PV=100, r=10%, n=2



kapitalizacja roczna FV2=121



kapitalizacja półroczna FV2=121,55



Ma!!!



Im większa częstotliwość kapitalizacji, tym
większa wartość przyszła.

35

Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?



Kapitał w wysokości 1000 jednostek
złożono na koncie z nominalną roczną
stopą procentową 10%. Do jakiej wielkości
wzrośnie stan konta po 10 latach, jeśli
kapitalizacja odsetek będzie następować
codziennie (360 dni), miesięcznie,
kwartalnie, półrocznie, rocznie?

36

Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?



kapitalizacja odsetek codzienna

m = 360,
FV = 1000 (1,00027777)

3600

= 2717,9036



kapitalizacja odsetek miesięczna

m =12,
FV = 1000 (1,0083333)

120

= 2707,0414



kapitalizacja odsetek kwartalna

m = 4,
FV = 1000 (1,025)

40

= 2685,0638

37

Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?



kapitalizacja odsetek półroczna

m = 2,
FV = 1000 (1,05)

20

= 2653,2977



kapitalizacja odsetek roczna

m = 1,
FV = 1000 (1,1)

10

= 2593,7424

38

Kapitalizacja złożona z góry



Kapitał początkowy daje odsetki

PV r



Odsetki te dają dochód

PV r r



Te odsetki oprocentowywane są nadal

PV r r r

39

Kapitalizacja złożona z góry



PV=1, r=10%, n=3, kapitalizacja roczna z
góry



FV1=1+1×0,1+1×0,1×0,1+1×0,1×0,1×0
,1+…=1,1111



FV2=1,1111+1,1111×0,1+1,1111×0,1×0,
1+1,1111×0,1×0,1×0,1+…=1,2346



FV3=1,2346+1,2346×0,1+1,2346×0,1×0,
1+1,2346×0,1×0,1×0,1+…=1,3717

40

Kapitalizacja złożona z góry



FV1=PV+PVr+PVrr+PVrrr+…=

PV(1+r+r

2

+r

3

+…)=PV =PV(1-r)

-1



|r|<1

r

1

1







n

n

r

1

PV

FV









41

Kapitalizacja ciągła



W przypadku, gdy momentów kapitalizacji
w bazowej jednostce czasu będzie coraz
więcej, czyli kapitalizacja będzie się
odbywała coraz częściej, to w przypadku
granicznym

otrzymamy

kapitalizację

ciągłą.

42

Kapitalizacja ciągła



m 



dla n = 1



e = 2,718....

r

m

m

e

m

r

1













 





lim



43

Kapitalizacja ciągła



dla n

FV

n

= PV×e

rn

PV = FV

n

×e

-rn

44

Kapitalizacja ciągła FV

PV=100, r=10%, n=4

FV1=100e

0,1

=110,52

FV2=100e

0,2

=122,14

FV3=100e

0,3

=134,99

FV4=100e

0,4

=149,18

45

Zarobione odsetki



FV–PV=149,18-100=49,18



FV–PV = PV×(e

rn

– 1)

46

Kapitalizacja ciągła PV

FV=100, r=10%, n=4

PV3=100e

-0,1

=90,48

PV2=100e

-0,2

=81,87

PV1=100e

-0,3

=74,08

PV0=100e

-0,4

=67,03

47

Czas podwojenia kapitału



Kapitalizacja prosta

2PV = PV (1 + n r )



Kapitalizacja złożona

2PV = PV (1 + r)

n



Kapitalizacja ciągła

2PV = PV×e

rn

r

1

n

 





r

1

2

n





ln

ln

 

r

2

n

ln



48

Stopa efektywna i
równoważna



Kapitalizacja złożona



Co zrobić żeby tę nierówność zastąpić
równością?

m

n

n

m

r

1

PV

r

1

PV













 



 )

(

m

m

r

1

r

1











 

 ?

)

(

49

Stopa efektywna i
równoważna



Aby w kapitalizacji złożonej w podokresach
zachować tę samą efektywność oprocentowania
co w kapitalizacji złożonej zgodnej, należy
podwyższyć stopę r do stopy efektywnej r

ef

lub

obniżyć

stopę

względną

r/m

do

stopy

równoważnej r

r

.

50

Stopa efektywna i
równoważna



Stopa efektywna



Stopa równoważna

m

ef

m

r

1

r

1











 





)

(

1

m

r

1

r

m

ef













 







m

r

r

1

r

1





 )

(





1

1

/

1







m

r

r

r

51

Stopy

52

Konwencja „actual/365”



gdzie:s – liczba dni trwania inwestycji,

N – liczba dni w roku



Konwencje:

N = 360 lub 365
s = rzeczywista liczba dni (actual) lub 30 dni

N

s

n

53

Konwencja „actual/365”

4 możliwe konwencje:



Actual/360,



Actual/365,



30/360,



30/365 (najrzadziej stosowana).

54

Konwencja „actual/365”

Przykład
Inwestycja w depozyt bankowy rozpoczęła

się 15 kwietnia, zaś zakończyła 25 czerwca

tego samego roku. Zainwestowana kwota

to 1000 złotych, zaś oprocentowanie

depozytu 4%.

Liczba dni trwania inwestycji wynosi:



„actual”: 71 dni (15 + 31 + 25);



„30”: 70 dni (2 miesiące po 30 dni plus 10

dni).

55

Konwencja „actual/365”

56

Stopa efektywna i
równoważna



Stopa efektywna



Stopa równoważna

m

ef

m

r

1

r

1











 





)

(

1

m

r

1

r

m

ef













 







m

r

r

1

r

1





 )

(





1

1

/

1







m

r

r

r









1

r

1

m

r

m

1

ef







/

57

Stopa efektywna



Jakie jest
oprocentowanie
lokaty rocznej jeśli
bank oferuje 12%
nominalnie oraz

a)

kapitalizację
miesięczną

b)

kapitalizację
kwartalną

%

,

,

6825

12

1

12

12

0

1

r

12

ef















 



%

,

,

55

12

1

4

12

0

1

r

4

ef















 



58

Stopa efektywna



Jakie jest oprocentowanie nominalne lokaty
rocznej jeśli bank oferuje oprocentowanie
efektywne równe:

a)

12,6825% kapitalizację miesięczną

b)

12,55% kapitalizację kwartalną









%

,

/

12

1

126825

1

12

r

12

1

















%

,

/

12

1

1255

1

4

r

4

1









59

Stopa równoważna

Jaka powinna być stopa

procentowa dla
lokaty 3-miesięcznej,
jeśli bank oferuje
12%,

a)

kapitalizację złożoną
roczną

b)

kapitalizację złożoną
półroczną





%

,

,

/

87

2

1

12

0

1

r

4

1

r













%

,

,

/

96

2

1

06

0

1

r

2

1

r









%

,

3

4

12

0

m

r





60

Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania



Warunki oprocentowania banku A są
równoważne/preferowane nad warunkom
banku B dla przedziału czasu <0,n> jeżeli
przyszła wartość po czasie n kapitału w
banku A jest równa/większa od przyszłej
wartości tego samego kapitału w banku B.

61

Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania



Banki stosują model kapitalizacji prostej



Banki stosują model kapitalizacji złożonej



































B

B

B

A

A

A

m

r

m

n

1

PV

m

r

m

n

1

PV

B

A

m

n

B

B

m

n

A

A

m

r

1

PV

m

r

1

PV



































B

A

r

r 

B

ef

A

ef

r

r

,

,



62

Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania



Przykład

Bank A: kapitalizacja złożona półroczna, 2%
Bank B: kapitalizacja złożona kwartalna, r

Bank A:

%

,

,

,

01

2

1

2

02

0

1

r

2

A

ef















 



B

ef

A

ef

r

r

,

,



63

Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania

1

4

r

1

0201

0

4

B













 



,

%

,995

1

r

B



%

,

,

,

01

2

1

4

01995

0

1

r

4

B

ef















 



Sprawdzenie:

64

Kapitalizacja przy zmiennej
stopie procentowej



Zakładamy, że kapitalizacja dokonywana
jest przez n okresów, które podzielone są
na p podokresów, w których zmieniają się
stopy procentowe.



Ponadto zakładamy, że kapitalizacja jest
zgodna oraz, że przez wszystkie n okresów
stosowany był ten sam model kapitalizacji.

n = n

1

+ n

2

+... + n

p

65

Model kapitalizacji prostej



PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%



odsetki proste po n okresach przy
zmieniającej się stopie procentowej:

odsetki=5×5+4×2+3×2+2×1=41
FV10=PV+odsetki=100+41=141

66

Model kapitalizacji prostej



Odsetki:

PV n

1

r

1

+ PV n

2

r

2

+... + PV n

p

r

p

=

= PV (n

1

r

1

+ n

2

r

2

+... + n

p

r

p

)



przyszła wartość kapitału po n okresach:

FV = PV (1 + n

1

r

1

+ n

2

r

2

+... + n

p

r

p

)

67

Model kapitalizacji złożonej
z dołu



PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
złożona roczna



FV5=100(1+0,05)

5

=127,63



FV7=127,63(1+0,04)

2

=138,04



FV9=138,04(1+0,03)

2

=146,45



FV10=146,45(1+0,02)=149,38

68

Model kapitalizacji złożonej
z dołu



Wartość przyszła:



 







p

2

1

n

p

n

2

n

1

r

1

...

r

1

r

1

PV

FV











 

 







38

149

02

0

1

03

0

1

04

0

1

05

0

1

100

FV

1

2

2

5

,

,

,

,

,













69

Model kapitalizacji ciągłej



PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
ciągła



FV5=100e

0,05×5

=128,40



FV7=128,40e

0,04×2

=139,10



FV9=139,10e

0,03×2

=147,70



FV10=147,70e

0,02

=150,68

70

Model kapitalizacji ciągłej

Wartość przyszła

p

p

2

2

1

1

p

p

2

2

1

1

r

n

...

r

n

r

n

r

n

r

n

r

n

PVe

e

...

e

PVe

FV













71

Przeciętna stopa
procentowa



Przeciętną

stopą

procentową

nazywamy taką stałą stopę procentową,
dla której przyszła wartość kapitału jest
taka sama, jak przyszła wartość kapitału
przy zmieniającej się stopie procentowej.

72

Model kapitalizacji prostej



PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%

141

r

10

1

100

_













 

%

,

,

1

4

10

41

0

r

_





73

Model kapitalizacji prostej

Dla

modelu

kapitalizacji

prostej

zachodzi równość:





p

p

_

r

n

...

r

n

r

n

PV

r

n

PV

























2

2

1

1

1

1





p

p

_

r

n

...

r

n

r

n

n

r









2

2

1

1

1

74

Model kapitalizacji złożonej z
dołu

PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2

lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
złożona roczna

38

149

r

1

100

10

,

_













 

%

,

,

_

09

4

1

4938

1

r

10







75

Model kapitalizacji złożonej z
dołu

Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu

prawdziwa jest równość:



 







p

n

p

n

n

n

r

r

r

PV

r

PV























1

...

1

1

1

2

2

1

1

_



 







1

1

...

1

1

2

2

1

1

_











n

p

n

p

n

n

r

r

r

r

76

Model kapitalizacji ciągłej



PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%,
2 lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%,
kapitalizacja ciągła

68

150

e

100

r

10

,

_



%

,

)

,

ln(

_

1

4

10

5068

1

r





77

Model kapitalizacji ciągłej

Dla modelu kapitalizacji ciągłej prawdziwy

jest następujący wzór:

p

r

p

n

r

n

r

n

r

n

PVe

PVe









...

2

2

1

1

_





p

p

r

n

r

n

r

n

n

r









...

1

2

2

1

1

_

78

Kapitalizacja mieszana



W przypadku, gdy w okresie trwania
kapitalizacji zmienia się model
kapitalizacji, wówczas mówimy, że
stosowana jest kapitalizacja mieszana.

79

Kapitalizacja mieszana



Zmiana modelu kapitalizacji

Pewien bank stosował:
1) przez n

1

lat kapitalizację złożoną roczną

ze stopą procentową r

1

,

2) przez następnych n

2

lat kapitalizację

ciągłą ze stopą procentową r

2

,

3) przez następnych n

3

lat kapitalizację

prostą roczną ze stopą procentową r

3

.









3

3

r

n

n

1

r

n

1

e

r

1

PV

FV

2

2

1













80

Kapitalizacja mieszana



Zmiana częstotliwości kapitalizacji

Pewna kwota początkowa PV została

ulokowana do banku na:

1) n

1

lat z kapitalizacją złożoną m

1

razy w

roku ze stopa procentową roczną r

1

2) następnych n

2

lat z kapitalizacją złożoną

m

2

razy w roku ze stopą procentową

roczną r

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

n

m

n

m

m

r

m

r

PV

FV































81

Długi: kredyty,

pożyczki

82

Długi: kredyty, pożyczki

Długi:



Krótkoterminowe (do 1-go roku)



Średnioterminowe (od roku do 5-ciu lat)



Długoterminowe (powyżej 5-ciu lat)

Formy długów:



Kredyty



Pożyczki

83

Długi: kredyty, pożyczki

Umowa powinna zawierać:



Wysokość długu (wartość nominalna
zadłużenia)



Formę spłaty



Terminy spłat



Wysokość stopy procentowej i okres
kapitalizacji



Formę i wysokość spłacanych odsetek



Formę spłaty prowizji bankowej

84

Długi: kredyty, pożyczki



Dług spłaca się z odsetkami w formie
ratalnej

Elementy:



Raty (płatności, spłaty, raty łączne)



Okres spłaty



Moment płatności (raty z góry, z dołu)

85

Metody spłaty kredytów

Plan spłaty długu obejmuje:



Wartość początkową długu



Odsetki



Ratę kapitałową



Płatność, spłatę, ratę łączną



Pozostałą część długu (po spłaceniu raty)



Spłata długu zw. umarzaniem długu.

86

Metody spłaty kredytów



Płatność – R



Rata kapitałowa – A



Odsetki – Z



Wartość udzielonego kredytu – S



Każdą płatność można zapisać jako:

R = A + Z

87

Metody spłaty kredytów

Harmonogram spłaty długu (tabela spłaty)

Czas

Dług na
początku

Odsetki Rata

kapitałowa

Płatność Dług na

końcu

88

Metody spłaty kredytów



Transakcję udzielenia i spłaty kredytu
można zapisać:

gdzie r oznacza stopę procentową kredytu.



 







n

n

2

2

1

r

1

R

r

1

R

r

1

R

S















...

89

Sprzedaż ratalna – przykład



S =1 000



Wpłata początkowa 0



12 spłat miesięcznych w wysokości 94,70



r=2,024%



 







12

2

r

1

70

94

r

1

70

94

r

1

70

94

1000















,

...

,

,





%

,

,

19

27

1

02024

0

1

r

12









90

Metody spłaty kredytów



Dług w momencie k:



q=1+r



Dla równych płatności R:

)

(

2

2

1

1

k

k

k

k

k

R

q

R

q

R

Sq

S

















1

q

q

q

S

1

q

1

q

R

Sq

S

n

k

n

k

k

k















91

Metody spłaty kredytów

Podstawowe metody spłaty kredytów:

1) Równe płatności
2) Równe raty kapitałowe (malejące

płatności)

92

Metody spłaty kredytów:
równe płatności

Wartość nominalna kredytu S:

Płatność R:

n

2

1

A

A

A

S























n

n

n

r

1

1

1

r

S

1

r

1

r

r

1

S

R





















93

Metody spłaty kredytów:
równe płatności

Odsetki Z:
(początkowy dług × stopa procentowa)

Dług na końcu
(początkowy dług – rata kapitałowa)

r

S

Z

1

k

k







k

1

k

k

A

S

S







94

Metody spłaty kredytów:
malejące płatności



Malejące

płatności

=

równe

raty

kapitałowe i malejące odsetki

Równe raty kapitałowe

Wartość nominalna kredytu

Płatność

nA

A

A

A

S

n

2

1













n

S

A

A

k





k

k

Z

n

S

R





95

Metody spłaty kredytów:
malejące płatności

Odsetki
(początkowy dług × stopa procentowa)

Dług na końcu
(początkowy dług – rata kapitałowa)

r

S

Z

1

k

k







k

1

k

k

A

S

S







96

Przykład 3

Masz spłacić 12 000 kredytu przez 3 lata (płatności

na końcu roku, kapitalizacja roczna). Stopa
procentowa 10%.

1) Równe płatności

2) Malejące płatności (równe raty kapitałowe)

97

Przykład 3 – rozwiązanie

1) Równe płatności

k

S

k-1

Z

k

A

k

R

k

S

k

1

12000

1200

3625.37

4825.37

8374.63

2

8374.63

837.46

3987.92 4825.38 4386.71

3

4386.71

438.67

4386.71 4825.38

0

suma

2476.13

12000 14476.13

 

 

 

38

4825

1

1

1

1

1

0

12000

1

1

1

1

0

1

1

12000

R

3

3

3

.

.

.

.

.

.

















98

Przykład 3 – rozwiązanie

1) Malejące płatności (równe raty kapitałowe)
12 000:3=4 000

k

S

k-1

Z

k

A

k

R

k

S

k

1

12000

1200

4000

5200

8000

2

8000

800

4000

4800

4000

3

4000

400

4000

4400

0

suma

2400

12000

14400

99

Przykład 4

Ustalone płatności (raty łączne)

r=10%, S=100

k

S

k-1

Z

k

A

k

R

k

S

k

1
2
3

4

100

70
40

20

10

7
4

2

30
30
20

20

40
37
24

22

70
40
20

0

23

100

123

100



Spłata:



dla k = 1



dla k = 2

)

(

2

2

1

1

k

k

k

k

k

R

q

R

q

R

Sq

S

















70

40

1

,

1

100

1

1

1













R

Sq

S

40

37

1

,

1

40

)

1

,

1

(

100

2

2

1

2

2



















R

q

R

Sq

S

Przykład 4 – rozwiązanie

101



dla k = 1



dla k = 2

k

k

k

S

S

q

R







 1

40

70

100

1

,

1

1

0

1















S

S

q

R

37

40

70

1

,

1

2

1

2















S

S

q

R

Przykład 4 – rozwiązanie

102



dla k = 1



dla k = 2

Przykład 4 – rozwiązanie

r

S

Z

k

k





 1

10

1

,

0

100

0

1











r

S

Z

7

1

,

0

70

1

2











r

S

Z

103



dla k = 1



dla k = 2

Przykład 4 – rozwiązanie

k

k

k

k

k

S

S

Z

R

A









 1

30

10

40

1

1

1











Z

R

A

30

7

37

2

2

2











Z

R

A

104

Przykład 5

Ustalone raty kapitałowe

r=6%, S=10 000

k

S

k-1

Z

k

A

k

R

k

S

k

1

10 000

600

4 000

4 600

6 000

2

6 000

360

3 000

3 360

3 000

3

3 000

180

2 000

2 180

1 000

4

1 000

60

1 000

1 060

0

1200

10 000

11 200

105

Kredyt w walucie obcej

Zastanawiasz się nad kredytem w wysokości

12,000 PLN spłacanym 3 płatnościami na koniec
każdego roku. Chciałbyś zaciągnąć ten kredyt w
EUR (kurs kupna 4 PLN za 1 EUR). Stopa
procentowa dla tego kredytu wynosi 4%. Pokaż
plan spłaty tego kredytu zarówno równymi
płatnościami, jak i malejącymi.

12,000:4=3,000 EUR





EUR

05

081

1

04

1

1

1

04

0

000

3

roczna

3

.

,

.

.

,

płatność









106

Kredyt w walucie obcej –
równe płatności

12,000:4=3,000 EUR

kurs

S

k-1

R

k

Z

k

A

k

S

k

4.1

3,000

1,081.04

4,432.26 PLN

120

961.04

2,038.96

4.2

2,038.96

1,081.05

4,540.41 PLN

81.56

999.49

1,039.47

3.9

1,039.47

1,081.05

4,216.10 PLN

41.58

1,039.47

0

107

Kredyt w walucie obcej –
równe raty kapitałowe
(malejące płatności)

3,000 EUR : 3 = 1,000 EUR

kurs

S

k-1

R

k

Z

k

A

k

S

k

4.1

3,000

1120

4,592 PLN

120

1,000

2,000

4.2

2,000

1,080

4,536 PLN

80

1,000

1,000

3.9

1,000

1,040

4,056 PLN

40

1,000

0

108

Konsolidacja długów



Celem jest zmniejszenie kosztów obsługi
technicznej zadłużenia



Ustala się wspólny plan spłaty

109

Przykład 5



Kowalski spłaca dwa kredyty w tym samym
banku. Uzgodnił, że połączy spłaty swojego
zadłużenia i będzie je spłacał równymi
płatnościami półrocznymi przez 3 lata, ze stopą
procentową 18%, kapitalizacji złożonej półrocznej.

I 3 spłaty roczne w wysokości 200 jp przy stopie

20%, kapitalizacji złożonej rocznej

II 4 spłaty półroczne w wysokości 100 jp przy stopie

18%, kapitalizacji złożonej miesięcznej

110

Przykład 5 – rozwiązanie

r

ef

= 9,34%



Łączne zadłużenie: 421,30 + 321,57 = 742,87



Płatności wyniosą:





57

321

0934

0

0934

1

1

1

100

PV

4

II

,

,

,







 

30

421

2

0

2

1

1

1

200

PV

3

I

,

,

,















60

165

1

09

1

09

0

09

1

87

742

R

6

6

,

,

,

,

,







111

Inne harmonogramy spłaty
długów

Nie spełniają dotychczasowych założeń:



Dług i odsetki spłacane są ratalnie



Odsetki ustalane są od bieżącego
zadłużenia



Płatności równe są racie kapitałowej i
odsetkom

112

Ratalna spłata odsetek



Załóżmy, że odsetki są spłacane za
pomocą n rat, a dług jednorazowo w
ostatniej racie. Odsetki są ustalane od
długu bieżącego.



Raty kapitałowe wynoszą:

A

1

= A

2

= ... = A

n-1

= 0 A

n

=S

113

Ratalna spłata odsetek



Płatności

R

1

= Z

1

= S r

R

2

= Z

2

= S r

R

n-1

= Z

n-1

= S r

R

n

= S + S r = S(1+ r)



Suma odsetek

Z = Z

1

+ Z

2

+... + Z

n

= S r n



Dług bieżący S

1

= S

2

= ... = S

n-1

= S

S

n

= 0.

114

Przykład 6



Udzielono kredytu w wysokości 100 jp

oprocentowanego według r = 20%. Kredyt ten

należy spłacić w ciągu 3 lat przy czym odsetki

mają być spłacone w rocznych ratach, a wartość

kredytu jednorazowo w ostatniej racie.



Odsetki za k-ty okres wyniosą:

Z

k

=100 × 0,2 = 20.



Łączna kwota odsetek wyniesie:

Z = 100 × 0,2 × 3 = 60.

115

Przykład 6 – rozwiązanie

116

Jednorazowa spłata odsetek

Załóżmy, że odsetki są spłacane jednorazową ratą,

a dług ustalonymi ratami kapitałowymi.



Z

k

= [ S q

n

– (A

1

q

n–1

+... + A

n

) ]=

= [ S – (A

1

q

n–1

+... + A

n

) q

-n

] q

k



dla k = 1

Z1 = [ S – (A

1

q

n–1

+... + A

n

) q

-n

] q



dla k = n

Zn = S q

n

– (A

1

q

n–1

+... + A

n

)

117

Jednorazowa spłata odsetek

Dla równych rat kapitałowych:
A

k

= S/n

Odsetki w k-tej płatności wyniosą:

k = 1, 2, ..., n





k

n

k

n

1

n

k

q

1

q

1

q

n

n

S

q

q

1

q

n

S

S

Z















































118

Przykład 7

Udzielono kredytu w wysokości 100 jp

oprocentowanego według r = 20%.
Kredyt ten należy spłacić w ciągu 4 lat w
równych rocznych ratach kapitałowych,
przy czym odsetki mają być spłacone:

a)

jednorazowo w racie pierwszej

b)

jednorazowo w racie trzeciej

119

Przykład 7

a)

jednorazowo w racie pierwszej

 

34

42

2

1

1

2

1

1

2

1

4

4

100

Z

4

1

,

,

,

,

























k

A

k

S

k-1

Z

k

R

k

S

k

1

2

3

4

25

25

25

25

100

100

75

50

25

42,34

0

0

0

42,34

67,34

25

25

25

142,34

75

50

25

0

120

Przykład 7

b)

jednorazowo w racie trzeciej

 

 

97

60

2

1

1

2

1

1

2

1

4

4

100

Z

3

4

3

,

,

,

,

























k

A

k

S

k-1

Z

k

R

k

S

k

1

2

3

4

25

25

25

25

100

100

75

50

25

0

0

60,97

0

60,97

25

25

85,97

25

160,97

75

50

25

0

121

Przykład 7

c)

tradycyjnie

k

A

k

S

k-1

Z

k

R

k

S

k

1

2

3

4

25

25

25

25

100

100

75

50

25

20

15

10

5

50

45

40

35

30

150

75

50

25

0

122

Długi z dodatkową opłatą

R

k

= A

k

+ Z

k

+ O

k

O – opłata, czyli prowizja, marża

1)

opłata dodatkowa wynosi pewien % (o)

wartości spłacanej raty kapitałowej

O

k

= A

k

× o

123

Długi z dodatkową opłatą

a)

jeśli raty kapitałowe są równe, opłata
dodatkowa jest również stała



wówczas k-ta płatność:

o

n

S

O

k





o

S

o

n

S

n

O

O

O

n



















1









o

r

k

n

n

S

o

n

S

r

k

n

n

S

n

S

O

Z

A

R

k

k

k

k







































)

1

(

1

1

124

Długi z dodatkową opłatą

b)

jeśli płatności są równe

1

1













n

n

k

q

q

q

S

R

R

1

1

1

1

1





















n

k

n

k

k

k

q

q

q

S

q

q

q

S

A

o

q

q

q

S

O

n

k

k















1

1

1

125

Długi z dodatkową opłatą



płatności

o

S

q

q

o

q

q

S

O

O

O

n

n

n

































)

1

(

1

1

1

1









1

1

1

1

1

1

1

1



















































k

n

n

n

k

n

n

k

k

k

k

q

o

q

q

q

S

o

q

q

q

S

q

q

q

S

O

Z

A

R

126

Długi z okresem karencji



Karencja może dotyczyć rat kapitałowych i

odsetek lub samych rat kapitałowych.



Jeśli karencja dotyczy rat kapitałowych,

przez pierwsze z okresów należy płacić

odsetki w wysokości S  r za każdy okres.



Jeśli karencja dotyczy rat kapitałowych i

odsetek, to przez okres karencji wartość

długu wzrośnie do wysokości i

będzie to stan zadłużenia na początek

okresu spłat.

z

q

S 

127

Długi z okresem karencji

Przykład



Udzielono kredytu w wysokości 100 jp
oprocentowanego według 20% spłacanego
3 równymi rocznymi płatnościami. Umowa
kredytu obejmuje 2 letni okres karencji
obejmujący raty kapitałowe.

128

Długi z okresem karencji

Odsetki:

20

2

,

0

100

2

1







Z

Z

47

47

1

2

1

2

0

2

1

100

1

q

1

q

q

S

R

R

3

3

n

n

k

,

)

,

(

,

)

,

(

























129

Długi z okresem karencji

130



Zgodnie z umową dłużnik miał spłacić 100
mln w 4 równych płatnościach przy stopie
20% i kapitalizacji rocznej.

Konwersja długów

1

1











n

n

q

q

q

S

R

 

6289

38

1

2

1

2

0

2

1

100

R

4

4

,

,

,

,











131



Po spłaceniu 2 rat dłużnik zwrócił się z
prośbą o obniżenie stopy procentowej do
16%. Wierzyciel zażądał opłaty karnej
równej 10% wartości dotychczasowej
płatności czyli 3,8629.

Konwersja długów

0164

59

2

0

1

2

1

6289

38

2

1

100

1

q

1

q

R

q

S

S

2

2

2

2

2

,

,

)

,

(

,

)

,

(



























132

pozostaje do spłaty:
59,0164 + 3,8929 = 62,8793
zatem trzecia i czwarta rata muszą mieć

wysokość:

Konwersja długów





1715

39

1

16

1

16

0

16

1

8793

62

R

2

2

,

,

,

)

,

(

,









133

Konwersja długów

Konwersja nie była opłacalna

k

A

k

Z

k

R

k

S

k

1

2
3
4

18,6289

22,3547
29,1108
33,7685

20

16,2742
10,0607

5,4030

38,6289

38,6289
39,1715
39,1715

81,3711

59,0164+3,8629=62,879

33,7685

0

134



Aby konwersja była opłacalna należy:

I. Zmniejszyć opłatę karną przy zadanej

stopie procentowej

opłata < 3,8627

Konwersja długów



 







63

38

1

16

1

16

0

16

1

0164

59

2

2

,

,

,

,

opłata

,









135

II. Zmniejszyć stopę procentową przy

zadanej opłacie karnej

r < 16%

Konwersja długów









63

38

1

r

1

r

r

1

8793

62

2

2

,

,













136

Inflacja

– trwały wzrost przeciętnego

(ogólnego) poziomu cen przy braku

odpowiadającego wzrostu jakości towarów

i usług w określonym okresie

Indeks cen konsumpcyjnych

– iloraz cen

dóbr należących do reprezentatywnego

koszyka w danym okresie oraz cen tych

dóbr w okresie bazowym (wcześniejszym)

Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji

137

Realna stopa procentowa

Stopa efektywna

Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji

i

r

PV

r

PV

re









1

1

)

1

(

i

i

r

r

re







1

i

1

i

r

r

ef

ef

re







,

138

przeciętna stopa inflacji
n = n

1

+ n

2

+... + n

p

Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji



 







1

1

...

1

1

2

1

2

1

_











n

n

p

n

n

p

i

i

i

i

139



podwyższa się stopę oprocentowania i
przewidywaną stopę inflacji i wszystkie
obliczenia wykonuje się przy
podwyższonej stopie



wykorzystuje się stopę inflacji do
waloryzacji długu, a odsetki wyznacza się
w oparciu o stopę oprocentowania

Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji

140

Inflacja + podatek –
przykład

PV=100
R=5%

i=3%

t=19%



Ile wynosi FV po opodatkowaniu w
wartościach realnych?

Rt=R(1-t)

141



I rozwiązanie

FV=105

Dochód po opodatkowaniu 5×(1-0,19)=4,05

FV w wartościach realnych
= 104,05/1,03=101,02

Inflacja + podatek –
przykład

142



II rozwiązanie

Stopa po opodatkowaniu:

Realna stopa procentowa:



FV = 100 × (1+0,0101942) =101,02









%

,

,

,

05

4

19

0

1

05

0

t

1

R











0101942

0

03

0

1

03

0

0405

0

R

re

,

,

,

,









Inflacja + podatek –
przykład

143

Renty z inflacją

Rre=(r-i)/(1+i)

qre=1+Rre

q=1+r

p=1+i

z dolu

z góry

1

1

1

1

n

re

n

re

re

n

re

n

re

re

q

p

A

q

p

FV

q

p

Aq

q

p

�

-

�

�

�

-

�

�

=�

�

-

�

�

�

-

�

�

n-1

n

z dolu

z góry

1 1

1 p

1 1

1 p

n

re

n

q

A

q

FV

q

Aq

q

�

-

�

-

�

=�

-

�

�

-

�

Z dołu

Z góry

Z góry

Z dołu