Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
(
)
[
]
ò
ò
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
=
=
=
−
−
=
=
+
t
t
n
t
n
n
n
y
y
y
n
y
n
n
e
e
e
x
e
x
e
e
dx
x
e
dy
e
e
e
L
e
i
i
0
)
exp(
1
t)
exp(
1
1
ln
ln
1
)
1
(
:
bo
TAK
)
(
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
1
ln
−
−
=
n
t
n
e
e
e
P
δ
δ
δ
1
i)
(1
i
gdy
tylko
we
nieprawdzi
ogólnie
...
...
...
...
...
...
)
(
)
(
)
(
:
bo
NIE
)
(
2
1000
6
4
2
1000
2
999
5
3
999
998
2
4
3
2
3
2
2
−
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
=
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
L
ii
ò
∞
∞
=
=
−
=
0
2
)
(
)
(
ln
1
)
(
)
(
:
bo
TAK
)
(
v
tv
Ia
i
nv
a
Ia
iii
t
m
n
n
m
n
&
&
)
(
)
(
2
2
)
(
)
(
1
ln
1
)
(
ln
:
m
m
m
n
n
m
n
n
i
vi
P
i
nv
a
i
i
i
nv
a
L
v
wiemy
=
=
=
−
−
=
=
−
δ
δ
&
&
&
&
Zadanie 2
1115
0825
,
1
1050
0825
,
1
03
,
1
1
0825
,
1
03
,
1
1
0825
,
1
75
0825
,
1
1050
0825
,
1
03
,
1
75
...
0825
,
1
03
,
1
75
0825
,
1
75
20
20
20
20
19
2
≈
+
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
⋅
+
+
⋅
+
=
ODP
(
)
[
]
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
+
−
=
+
−
+
+
=
=
+
−
+
−
+
+
+
=
+
−
+
−
+
=
+
n
s
n
j
s
j
n
n
j
n
j
j
n
n
j
A
n
n
n
n
n
n
n
n
St
ą
d wynika
Ŝ
e prawidłowa odpowied
ź
to A.
Zadanie 6
1.
2
1
)
1
(
2
)
1
(
Q
k
P
V
P
Q
k
R
k
k
−
−
=
+
−
=
2.
2
6
5
1
11
10
72
5
2
60
3
4
Q
V
V
Q
R
R
+
+
=
−
+
20
20
2
2
20
20
2
2
03
,
1
...
03
,
1
03
,
1
05
,
1
...
05
,
1
05
,
1
V
V
P
R
R
P
L
+
+
+
=
+
+
+
=
3.
ò
=
+
+
→
−
+
+
=
20
0
2
1
2
1
88
,
7196
20
20
)
06
,
1
ln
exp(
)
20
20
(
85000
Q
Q
P
dt
t
Q
Q
P
Z 1 i 2 wynika po przekształceniach,
Ŝ
e
2
1
Q
Q
=
Z tego i 3 wynika,
Ŝ
e 4.
88
,
7196
40
=
+
Q
P
03
,
0
;
20
03
,
0
;
20
05
,
0
;
20
05
,
0
;
20
03
,
0
;
20
03
,
0
;
20
20
2
05
,
0
;
20
05
,
0
;
20
20
2
)
(
2
)
2
(
)
(
)
(
:
)
(
2
)
2
(
03
,
1
38
...
03
,
1
2
03
,
1
)
(
)
(
05
,
1
19
...
05
,
1
05
,
1
Ia
Q
a
Q
P
Ia
Q
a
Q
P
czyli
Ia
Q
a
Q
P
Q
P
Q
P
P
L
Ia
Q
a
Q
P
Q
P
P
Q
P
L
−
+
=
+
−
−
+
=
−
+
+
−
+
=
+
−
=
+
+
+
+
+
=
To ostanie równanie razem z 4 tworzy układ równa
ń
z niewiadomymi Q i P.
Rozwi
ą
zuj
ą
c je otrzymujemy:
P
Wstawiamy do którego
ś
równania i otrzymujemy około 78000
Zadanie 7
R
R (n-1)k nk (n-1)k k
0 1 2 n-1 n n+1 n+2 2n-1 2n
2k
i
RK - suma kapitału
i
OD - suma odsetek
m
KAP - kapitał spłacony w m-tym roku dla kredytu w wysoko
ś
ci R i płatno
ś
ci K przez n lat
czyli:
)
1
(
−
−
⋅
=
m
n
m
v
K
KAP
Szukamy dla n+k:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
KAP
RK
KAP
KAP
RK
KAP
KAP
RK
KAP
KAP
RK
KAP
KAP
RK
KAP
RK
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
=
−
−
+
+
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
3
1
2
.....
....
....
....
...
...
n
n
n
n
n
n
n
n
RK
K
OD
RK
K
OD
RK
K
n
OD
RK
nK
OD
RK
K
OD
KAP
K
OD
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
3
3
1
2
2
....
....
)
1
(
....
....
2
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
+
+
+
+
[
]
k
n
k
n
n
k
k
n
RK
K
k
n
OD
KAP
KAP
RK
+
+
+
−
−
−
=
+
+
=
)
1
(
....
Z tego mamy:
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
1
1
+
−
+
−
+
+
−
−
−
−
+
−
=
k
n
k
n
k
n
k
n
v
v
v
v
v
k
n
RK
OD
Zadanie 8
Przy ustalonej liczbie kredytów podział optymalny oznacza,
Ŝ
e dzielimy całkowity kredyt na
równe cz
ęś
ci - wtedy minimalny koszt.
Sprawdzamy dla n=1,2,....10
Koszt wynosi:
14 000 dla n=2
12200 dla n=3
13800 dla n=4
14000 dla n=5
14400 dla n=6
15300 dla n=7
15600 dla n=9
Odpowied
ź
: n=3
Zadanie 9
Na podstawie teorii:
(
)
(
)
(
)
%
8
%,
7
1
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
=
=
→
−
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
+
=
→
+
=
+
+
+
+
+
+
i
i
i
i
i
i
i
i
t
t
t
t
t
t
t
t
Zadanie 10
)
1
(
100000
)
(
)
1
(
100000
)
1
2
exp(
100000
)
(
)
1
(
100000
)
1
1
exp(
100000
)
(
0
2
2
0
t
t
t
C
t
ds
s
s
t
B
t
ds
s
t
A
t
t
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=
ò
ò
Czyli maksimum osi
ą
gane dla t=0,5 bo to parabola z wierzchołkiem w t=0,5.
