Egzamin 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2011/2012

 

 

 

Zadanie 4:

 

Dany jest szereg potęgowy

 

    

 

 

 

 

 

      

 

   

. 

Wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności, 

zbadać zbieżność (określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedziału zbieżności. Obliczyć sumę szeregu 
wewnątrz przedziału zbieżności oraz (o ile to możliwe) również w prawym krańcu. 

 

Rozwiązanie:

   

 

1.Wyznaczam 

promień zbieżności

 

       

   

 

 

   

 

 

  =     

   

 | 

    

 

          

 

 

 

      

| =

   

   

 |

         

      

| = 

 
 

 

     

 

 

, więc R= 3 

 

2.Wyznaczam przedział zbieżności

 

 
        

 

 

więc z warunku F(

 

 

)=0 => 

 

 

 

    =>  

 

   

 

 
skoro 

 

 

    i R=3 , to przedział zbieżności to x (-3,3) 

 
3. Badam 

zbieżność dla punktu x=3 (prawy kraniec z polecenia) 

 

 

    

 

 

 

 

 

      

 

   

=

 

    

 

 

 

 

 

      

 

   

=

 

    

 

      

 

   

 ,  

 
szereg naprzemienny => badam czy zbieżny bezwzględnie

 

 

 

 

    

 

      

 

   

     

 

      

 

   

  , jest to przeskalowany szereg 

 

 

 

  więc na podstawie kryterium Dirichleta o  

 
α≤1 szereg rozbieżny 
 
Szereg w punkcie x=3 nie jest zbieżny bezwzględnie wiec sprawdzam czy jest zbieżny warunkowo. 

 

   

   

 

 

   

    ,  

 

> 0

 dla każdego 

n≥1

, warunki dla zbieżności warunkowej spełnione więc szereg w punkcie  

 

x=3

 jest zbieżny warunkowo. 

 
4.Obliczam sumę w przedziale x

 

 
 

 

    

 

 

 

 

 

      

 

   

 

                       

 

    

 

 

   

 

 

      

 

   

 

 
 

  ,      

 
 

   można wyciągnąć przed szereg i 

całkę, bo nie jest zależne od n. 
 

 

    

 

 

 

 

 

      

 

   

 

 
 

 

    

 

 

   

 

 

      

 

   

 

 
 

 

  

 
 

 

 

 

   

    

 

 

 

     

 
 

   

  

 
 

 

 

 

   

 

 

 

 

    

 
 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

      = 

=

 
 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 dt 

 = 

 

 

 
 

 

 

   

 

 

dt

 = 

 

 

 
 

 

  

   

   

 

 

dt 

=

   

 

   

    

 

   

 

 

 )dt = 

=- 

 
 

(t-3ln|t+3|)

 

 
 

 = 

 
 

(x-3ln|x+3|+3ln3)=S(x)

   dla 

x

 (-3,3)

 

 
5. Obliczanie sumy dla punkty x=3: 
 
S(3) =- [3 

– 3 ln (6)+ 3 ln (3)]/3 = -1+ln (6) - ln (3) = -1+ln(2).

  

 
 
 
 

Odpowiedź:

 

Promień zbieżności szeregu R=3, przedział zbieżności szeregu x

 (-3,3) w 3 zbieżny 

warunkowo, suma szeregu dla x

 (-3,3)  S(x)=- 

 
 

(x-3ln|x+3|+3ln3

), zaś S(3) = -1+ln(2). 

 

Autor:

 

Kamil Narkiewicz

 

grupa

 2

 
 

14.01.2014