Zaliczenie poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

(e

x

+ 4y)dx + (4x − sin y)dy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(0, 0) do punktu B(0,

π

2

).

2. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(6x + 4y + 3z)dS,

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) W oparciu o definicję wyznaczyć gradient dowolnie wybranego pola skalarnego
określonego w pewnym obszarze V ⊂ R

3

.

3. [7p.] a) Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część urojona

v(x, y) = y

3

− 3yx

2

[2p.] b) Wyznaczyć

4

√

1. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów i określić jej rodzaj:

a)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

n

2n

2

− 1

b)

∞

X

n=1

n

3

2

n

+ 3

n

[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia, a drugi nie
spełnia warunku koniecznego zbieżności.

5. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = x ln(10 + x) w szereg Maclaurina. Określić przedział zbież-

ności otrzymanego szeregu.

6. [7p.] Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 9y = −e

t

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = t

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania

y

0

−

y

x

=

1

x

2

,

y (1) = 0