Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami

x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 6z

i

x

2

+ y

2

­ z

2

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne sferyczne dowolnego typu.

2. [8p.] a) Obliczyć całkę

Z

K

(x + y) dx + xydy

gdzie K jest brzegiem ćwiartki koła o równaniu x

2

+ y

2

¬ 4 dla x ­ 0 i y ­ 0 zorientowanym

dodatnio.
[2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe ~

W = [2xy + z

2

, x

2

, 2xz + π cos πz] jest potencjalne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Rozwiązać równanie



1 + ln x +

y

x



dx − (1 − ln x) dy = 0.

[2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie

y

0

−

4y

x

= x

√

y

do równania różniczkowego liniowego?

4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 2y

0

= 2e

−2x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n ­ 3, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

n

n

2

(n − 3)

n

2

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

(n!)

2

(2n)!

[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=2

ln



1 −

1

n

2



.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

∞

X

n=1

x

n

ne

n