Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”
WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami
x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 6z
i
x
2
+ y
2
z
2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne sferyczne dowolnego typu.
2. [8p.] a) Obliczyć całkę
Z
K
(x + y) dx + xydy
gdzie K jest brzegiem ćwiartki koła o równaniu x
2
+ y
2
¬ 4 dla x 0 i y 0 zorientowanym
dodatnio.
[2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe ~
W = [2xy + z
2
, x
2
, 2xz + π cos πz] jest potencjalne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Rozwiązać równanie
1 + ln x +
y
x
dx − (1 − ln x) dy = 0.
[2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie
y
0
−
4y
x
= x
√
y
do równania różniczkowego liniowego?
4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego
y
00
+ 2y
0
= 2e
−2x
przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y
0
(0) = 1.
[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n 3, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj
a)
∞
X
n=1
n
n
2
(n − 3)
n
2
b)
∞
X
n=1
(−1)
n
(n!)
2
(2n)!
[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=2
ln
1 −
1
n
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności
∞
X
n=1
x
n
ne
n