Dodatkowe kolokwium poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, 2 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] a) Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

dxdydz

√

x

2

+ y

2

+ z

2

,

gdzie bryła V ograniczona jest powierzchnią x

2

+ y

2

+ z

2

= y. Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.

2. [8p.] a) Uzasadnić, że całka

Z

K



sin y + y sin x +

1

x



dx +

 

x cos y − cos x +

1

y

!

dy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk K jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, e) do punktu B(e, 1).
[2p.] b) Mając dane pole skalarne F (x, y, z) = xe

yz

wyznaczyć rotację pola wektorowego

~

W = grad F .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania

(x

2

+ 1)y

0

+ 2xy = 2x

2

spełniającą warunek początkowy y(1) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie xy

0

=

√

x

2

− y

2

+y jest równaniem różniczkowym jednorodnym.

4. [8p.] a) Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

− 4y = x − e

2x

[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n ­ 6, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(x − 2)

n

3

n

·

3

√

n

2

oraz określić rodzaj zbieżności szeregu na końcach tego przedziału.

[2p.] b) Wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1

n

2

+ 3n

.

6. *) [dla chętnych] [5p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(3 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu

x

0

= 1. Podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu.