Kolokwium poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

z

q

x

2

+ y

2

dxdydz

gdzie bryła V ograniczona jest powierzchniami x

2

+y

2

−2z = 0, x

2

+y

2

+z

2

= 3 i płaszczyznami

układu współrz¸ednych dla x ¬ 0, y ¬ 0, z ­ 0.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

zdydz + (3y − x)dxdz − zdxdy, gdzie S jest zewnętrzną stroną

powierzchni bryły ograniczonej powierzchniami x

2

+ y

2

= 1, z = x

2

+ y

2

+ 2 i z = 0. Wykonać

odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczyzny
XOY .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

2(xe

−y

− 1)dx + (e

y

− x

2

e

−y

)dy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem gładkim
skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(2, 0).

4. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ xy = xy

3

spełniającą warunek początkowy

y(0) = 2.

[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie różniczkowe

 

x

√

x

2

+ y

2

−

y

x

2

!

dx +

 

y

√

x

2

+ y

2

+

1

x

!

dy = 0

jest zupełne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(−3)

n

(x + 2)

n

√

n

[2p.] b) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu liczbowego

∞

P

n=1

1

n

2

+ 4n + 3

.

6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = arctg 2x w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności otrzyma-

nego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ y

0

= e

−x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 1, y

0

(0) = 0.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.