Kolokwium połówkowe z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”
WETI, EiT gr.1-7, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć
Z
L
ydx + xe
−2y
dy,
gdzie L jest łukiem opisanym równaniem y = ln x skierowanym od punktu A(1, 0) do
punktu B(e, 1).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
2ydx + (y − x)dy,
gdzie K jest brzegiem obszaru opisanego nierównościami x
2
+ y
2
¬ 25 i y 0 skierowa-
nym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka
Z
L
ye
xy
dx + xe
xy
dy
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, −1) do punktu B(2, 4).
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z
4
− z
3
+ z − 1 = 0. Rozwiązania
równania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z
1
i z
2
zachodzi z
1
· z
2
= z
1
·z
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
Z
C
sin(
πz
2
)dz
z
2
− 1
,
gdzie C jest okręgiem |z − 1| = 1 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
S
Z
(6x + 4y + 3z)dS,
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu x + 2y + 3z = 6, leżącą w pierwszym oktancie
układu współrzędnych.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny XOY .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f (z) =
2
z
+ (i − z)
2
.