Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek EiT, 2 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

z dxdydz

√

4 − x

2

− y

2

,

gdzie bryła V ograniczona jest powierzchni¸

a z

2

= 2x

2

+ 2y

2

oraz płaszczyznami x = 0, y = 0 i

z = 2 dla x ­ 0, y ­ 0 i z ­ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

(xy + y)dx + (xy + x)dy,

gdzie K jest krzywą o równaniu x

2

+ y

2

− 2x = 0 zorientowaną dodatnio. Wykonać odpowiedni

rysunek.
[2p.] b) Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = y

2

z −

√

x. Dla otrzymanego pola

wektorowego ~

W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania

xy

0

+ y = y

2

ln x

spełniającą warunek początkowy y(1) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie różniczkowe (xy + 1)e

xy

dx + x

2

e

xy

dy = 0 jest zupełne.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

000

+ y

0

= x

2

+ 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

3

n

n!

(2n)!

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

n

n

2

+ 1

[2p.] c) Sprawdzić, czy szereg

∞

X

n=1



√

n

2

+ n − n



spełnia warunek konieczny zbieżności.

6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(x

2

+ x − 2) w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności

otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = 3 − x dla x ∈ [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

f (x) =

3

2

+

∞

X

n=1

6(1 − (−1)

n

)

π

2

n

2

cos



nπx

3



.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1 − (−1)

n

n

2

.