plik

materiał pochodzi ze strony

matematyka.pisz.pl

Funkcja liniowa (równanie kierunkowe prostej)

Funkcja liniowa to

funkcja

dana wzorem:

y =

x +

– współczynnik kierunkowy

Monotoniczność

a > 0

– rosnąca

a < 0

– malejąca

a = 0

– stała

– współrzędna punktu przecięcia z osią

(0,

)

Wykres funkcji liniowej:

a > 0

y = −

x + 1

a < 0

y = 2

a = 0

Współczynnik kierunkowy:

a = 2

a = −

1
3

a = 0

Monotoniczność

rosnąca

malejąca

stała

Punkt przecięcia wykresu z osią

(0,

)

(0,

)

(0,

)

kąt nachylenia prostej do osi

współczynnik kierunkowy

prostej

y =

x + b

jest równy tangensowi nachylenia

prostej do osi

a = tg α

przykłady:

◦

−

135

◦

−

2 ≈ tg 63

◦

−1 = tg 135

◦

0 = tg 0

◦

Proste równoległe i prostopadłe

−1

−

Proste

równoległe

mają

ten sam

współczynnik kierunkowy

= a

—

−1

−3

y =

x −

−

Proste

prostopadłe

mają

współczynniki kierunkowe

spełniające wzór:

· a

= −1

np.

−2 ·

1
2

= −1

równanie ogólne prostej

Ax + By + C = 0

współczynniki

nie mogą być jednocześnie równe

przykłady równań

3x + y − 1 = 0

− x + 2y = 0

4x − y + 3 = 0

przykłady wykresów

−

x = 1

y = 2

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty mogę wyznaczyć, rozwiązując układ równań.

Przykład

Mogę też skorzystać ze wzoru:

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

Równanie prostej przechodzącje przez dwa

punkty

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

− x

)(y − y

) = (y

− y

)(x − x

)

Przykład:

Prosta przechodząca przez punkty

A = (

)

B = (

)

ma równanie:

(

−

)(y −

) = (

−

)(x −

)

1(y − 5) = 2(x − 2)

y − 5 = 2x − 4

y = 2x − 4 + 5

y = 2x + 1

—

odległość dwóch punktów od siebie

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

odległość punktów

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

od siebie liczymy ze wzoru

d =

p(x

− x

)

+ (y

− y

)

przykład:

odległość punktów

A = (

)

B = (

)

od siebie wynosi

d =

(

−

)

+ (

−

)

d =

+ 4

d =

√

9 + 16

d =

√

25 = 5

Odp. odległość punktów

od siebie wynosi

Współrzędne środka odcinka

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

Współrzędne środka odcinka

o końcach

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

S =

+ x

+ y

Przykład

Współrzędne środka odcinka o końcach

A = (

−2

)

B = (

−9

)

S =

−2

+ (

−9

)

= (1, −3)

Odległość punktu od prostej

P = (x

, y

)

Odległość punktu

P = (x

, y

)

od prostej

równaniu ogólnym

Ax + By + C = 0

możemy policzyć ze wzoru

d =

|Ax

+ By

+ C|

√

+ B

Przykład:

Odległość punktu

A = (

)

od prostej o równaniu

x +

y + 5 = 0

wynosi:

d =

+ 5|

√

d =

|15 + 8 + 5|

√

9 + 16

d =

|28|

√

d = 5,6

Okrąg w układzie współrzędnych

—

S = (a, b)

Równanie okręgu o środku

S = (a, b)

i promieniu

(x − a)

+ (y − b)

= r

Koło w układzie współrzędnych

S = (a, b)

Nierówność opisująca koło o środku

S = (a, b)

i promieniu

(x − a)

+ (y − b)

¬ r

Współrzędne wektora

A = (x

, y

)

B = (x

, y

)

A = (x

, y

)

– początek wektora

B = (x

, y

)

– koniec wektora

Współrzędne wektora:

−

→

AB = [x

− x

, y

− y

]

Przykłady

Wyznaczam współrzędne wektora o początku

i końcu

A = (

)

B = (

)

−

→

AB = [

−

] = [4, 2]

A = (

)

B = (

)

−

→

AB = [

−

] = [−3, 2]

A = (

−4

)

B = (

)

−

→

AB = [

− (

−4

−

] = [6, −7]

Współrzędne wektorów najłatwiej odczytać z rysunku:

~a = [3, 4]

~b = [−3, 2]

c = [−2, −3]

d = [2, −1]

e = [0, 2]

f = [0, −1]

g = [−2, 0]

Długość wektora

~a = [a

, a

]

Mając

współrzędne wektora

mogę policzyć

jego długość.

|~a| =

+ a

przykłady

~a = [4, 3]

|~a| =

√

+ 3

√

16 + 9 =

√

25 = 5

~b = [−2, 1]

|~b| =

p(−2)

+ 1

√

4 + 1 =

√

—

c = [−2, −3]

|~c| =

p(−2)

+ (−3)

√

4 + 9 =

√

| ~

d| = 3

|~e| = 1

Dodawanie wektorów

Dodanie wektora

polega na przesunięciu

do końca

i połączeniu początku

z końcem

~a = [2, 3] ~b = [4, 1]

(dodawanie na

współrzędnych

)

c = ~a + ~b = [2, 3] + [4, 1] = [2 + 4, 3 + 1] = [6, 4]

~a = [0, 2] ~b = [−4, 0]

c = ~a+~b = [0, 2]+[−4, 0] = [0+(−4), 2+0] = [−4, 2]

~a = [−2, 2] ~b = [1, 2] ~

c = [4, 1]

d = ~a + ~b + ~

c = [−2, 2] + [1, 2] + [4, 1] =

= [−2 + 1 + 4, 2 + 2 + 1] = [3, 5]

Dodanie wektorów

za pomocą

reguły równoległoboku

polega na połączeniu początków

, a następnie narysowaniu przekątnej tak utworzonego

równoległoboku

~a = [5, 0] ~b = [1, 3]

c = ~a + ~b = [5, 0] + [1, 3] = [5 + 1, 0 + 3] = [6, 3]

m = [4, −3] ~

n = [1, 2]

p = ~

m + ~

n = [4, −3] + [1, 2] =

= [4 + 1, −3 + 2] = [5, −1]

Odejmowanie wektorów

Odjęcie od wektora

wektora

polega na

dodaniu

do wektora

wektora

przeciwnego

czyli

(−~b)

−~b

~a = [3, 2] ~b = [−1, 3]

(odejmowanie na

współrzędnych

)

c = ~a−~b = [3, 2]−[−1, 3] = [3−(−1), 2−3] = [4, −1]

−~b

~a = [4, 2] ~b = [5, 0]

c = ~a − ~b = [4, 2] − [5, 0] = [4 − 5, 2 − 0] = [−1, 2]

−~b

~a = [4, 0] ~b = [1, 2]

(

reguła równoległoboku

)

c = ~a − ~b = [4, 0] − [1, 2] = [4 − 1, 0 − 2] = [3, −2]

—

− ~

e = [−5, 3]

f = [0, 2]

c = ~

e − ~

f = [−5, 3] − [0, 2] =

= [−5 − 0, 3 − 2] = [−5, 1]

Mnożenie wektora przez liczbę

2~a

~a = [2, 3]

(mnożenie na

współrzędnych

)

2~a = 2 · [2, 3] = [4, 6]

1
2

~b = [−4, 2]

1
2

~b =

1
2

· [−4, 2] = [−2, 1]

−2~c

c = [0, 2]

−2~c = −2 · [0, 2] = [0, −4]

4
3

d = [3, −2]

4
3

d =

4
3

· [3, −2] = [4, −2

2
3

]

Jak widać pomnożenie wektora przez liczbę nie zmienia jego

kierunku

ale może zmienić

zwrot

np.

− ~

Wektor prostopadły do prostej

u = [A, B]

Do równania prostej w

postaci ogólnej

x +

y + C = 0

łatwo znaleźć współrzędne

wektora

prostopa-

dłego do wykresu

u = [A, B]

Przykłady:

u = [2, 1]

u = [−3, 1]

−

u = [1, 0]

x − 1 = 0

Wektor równoległy do prostej

—

u = [1, a]

Do równania prostej w

postaci kierunkowej

y =

x + b

łatwo znaleźć współrzędne

wektora

równoległego

do wykresu

u = [1, a]

Przykłady:

u = [1, −2]

−

u = [1, 3]

u = [1, 0]

y = 2

—