1

Wektory

Definicja

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów.

Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora albo punk-

tem zaczepienia wektora, a drugi końcem wektora. Wektor o począt-

ku w punkcie

A

i końcu w punkcie

B

oznaczamy przez

−→

AB

.

Odcinek o początku w punkcie

A

i końcu w punkcie

B

oznaczamy

przez

AB

.

Definicja

• Modułem (długością) wektora

−→

AB

nazywamy długość odcinka

AB

.

• Kierunek wektora jest to prosta przechodząca przez punkty

A

i

B

.

• Zwrot wektora to zwrot półprostej

AB

.

2

Definicja

Mówimy, że dwa wektory są równe, jeżeli mają ten

sam kierunek, zwrot i długość. Dwa wektory nazywamy przeciwnymi,

jeżeli mają one ten sam kierunek i długość, ale przeciwny zwrot.

Definicja

Wektorem swobodnym nazywamy klasę (zbiór) wekto-

rów równych. Wektor swobodny oznaczamy

~a

.

3

Będziemy rozważali zagadnienia związane z wektorami w przestrzeni

R

3

= { (x, y, z) : x, y, z ∈ R }

Wówczas:

• jeżeli

A(x

1

, y

1

, z

1

)

i

B(x

2

, y

2

, z

2

)

, to

−→

AB = [ x

2

− x

1

, y

2

− y

1

, z

2

− z

1

]

|

−→

AB | =

v
u
u
t

(x

2

− x

1

)

2

+ (y

2

− y

1

)

2

+ (z

2

− z

1

)

2

• jeżeli

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

, to

| ~a | =

v
u
u
t

a

2

1

+ a

2

2

+ a

2

3

• wektor

~0 = [ 0, 0, 0]

nazywamy wektorem zerowym,

• wektor

−~a = [ −a

1

, −a

2

, −a

3

]

nazywamy wektorem przeciwnym

do wektora

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

4

• wektor o długości

1

nazywamy wersorem,

• dla dowolnego niezerowego wektora

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

wektor o

współrzednych






a

1

|~a|

,

a

2

|~a|

,

a

3

|~a|






jest wersorem.

Przykład

Wektory o współrzędnych

~i = [ 1, 0, 0 ]

~j = [ 0, 1, 0 ]

~k = [ 0, 0, 1 ]

nazywamy wersorami osi układu współrzędnych.

5

Działania na wektorach

Definicja

(Sumy i różnicy wektorów)

Niech

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

i

~b = [ b

1

, b

2

, b

3

]

. Wówczas:

~a + ~b = [ a

1

+ b

1

, a

2

+ b

2

, a

3

+ b

3

]

~a − ~b = [ a

1

− b

1

, a

2

− b

2

, a

3

− b

3

]

6

Własności

(działania dodawania wektorów)

•

~a + ~b = ~b + ~a

•

( ~a + ~b ) + ~c = ~a + (~b + ~c )

•

~a + ~0 = ~a

•

~a + ( − ~a ) = ~0

Definicja

(Mnożenia wektora przez liczbę)

Niech

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

i

α ∈ R

. Wówczas:

α ~a = [ α a

1

, α a

2

, α a

3

]

7

Własności

(działania mnożenia wektora przez liczbę)

•

1 · ~a = ~a

•

α( β ~a ) = (αβ) ~a

•

(α + β) ~a = α ~a + β ~a

•

α ( ~a + ~b ) = α ~a + α~b

Własności

(długości wektora)

•

| ~a | > 0

, przy czym

| ~a | = 0

⇔

~a = ~0

•

| α ~a | = | α | · | ~a |

•

| ~a + ~b | 6 |~a | + |~b |

8

Definicja

(Kombinacji liniowej wektorów)

Rozważmy

n

wektorów

~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n . Wyrażenie

α

1

~a

1

+ α

2

~a

2

+ . . . + α

n

~a

n

=

n

X

i=1

α

i

~a

i

,

gdzie

α

1

, α

2

, . . . , α

n

∈ R

, nazywamy kombinacją liniową wekto-

rów

~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n .

Definicja

(Liniowej niezależności wektorów)

• Wektory

~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

nazywamy liniowo niezależnymi,

jeżeli dla dowolnych liczb

α

1

, α

2

, . . . , α

n

∈ R

z tego, że

α

1

~a

1

+ α

2

~a

2

+ . . . + α

n

~a

n

= ~0

wynika że

α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0

.

9

• Wektory

~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli

istnieją liczby

α

1

, α

2

, . . . , α

n

∈ R

nie wszystkie równe 0 takie,

że

α

1

~a

1

+ α

2

~a

2

+ . . . + α

n

~a

n

= ~0

Przykład

Wersory osi układu współrzędnych

~i, ~j, ~k

są trójką

wektorów liniowo niezależnych.

Przykład

Zbadaj liniową niezależność wektorów

~

e

1

= [ 1, 0, 1]

,

~

e

2

= [ 1, 1, 0]

,

~

e

3

= [ 0, 1, 1]

.

10

Definicja

Układ

{ ~e

1

, ~

e

2

, ~

e

3

}

trzech wektorów liniowo nieza-

leżnych w

R

3 nazywamy bazą (przestrzeni

R

3 ).

• Jeżeli wektory

~

e

1

, ~

e

2

, ~

e

3

są wzajemnie prostopadłe, to bazę

nazywamy bazą ortogonalną.

• Jeżeli wektory

~

e

1

, ~

e

2

, ~

e

3 są wersorami, to bazę nazywamy bazą

unormowaną.

• Jeżeli wektory

~

e

1

, ~

e

2

, ~

e

3 są wersorami wzajemnie prostopadły-

mi, to bazę nazywamy bazą ortonormalną.

Przykład

Wersory osi układu współrzędnych

~i, ~j, ~k

tworzą

bazę ortonormalną w

R

3 . Bazę tą nazywamy bazą standardową.

11

Fakt

Jeżeli

{ ~e

1

, ~

e

2

, ~

e

3

}

jest bazą w

R

3 , to dowolny wektor

~a

można zapisać w postaci:

~a = a

1

~

e

1

+ a

2

~

e

2

+ a

3

~

e

3

Liczby

a

1

, a

2

, a

3 nazywamy wówczas współrzędnymi wektora

~a

w baie

{ ~e

1

, ~

e

2

, ~

e

3

}

.

Uwaga

Jeżeli

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

, to

~a = a

1

~i + a

2

~j + a

3

~k

Przykład

Czy trójka wektorów z poprzedniego przykładu tworzy

bazę w

R

3 ? Znaleźć współrzędne wektora

~a = [3, 4, 1]

w bazie

{ ~e

1

, ~

e

2

, ~

e

3

}

.

12

Iloczyn skalarny wektorów

Definicja

Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów

~a

i

~b

nazywamy liczbę

~a ◦ ~b = | ~a | |~b | · cos ^(~a,~b ).

(

^(~a,~b ) ∈ [0, π]

)

Własności

(iloczynu skalarnego wektorów)

•

~a ◦ ~b = ~b ◦ ~a

•

α ( ~a ◦ ~b ) = ( α ~a ) ◦ ~b = ~a ◦ ( α~b )

•

( ~a + ~b ) ◦ ~c = ~a ◦ ~c + ~b ◦ ~c

•

~a ◦ ~a = | ~a |

2

•

~a ◦ ~b = 0

⇐⇒

~a ⊥ ~b

13

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

i

~b = [ b

1

, b

2

, b

3

]

, to

~a ◦ ~b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

.

Przykład Znaleźć długość wektora

~a = 5 ~

p − 4 ~

q

, jeżeli

| ~

p | = 2

,

| ~

q | = 5

i

^( ~p, ~q ) =

2
3

π

.

14

Iloczyn wektorowy wektorów

Definicja

Iloczynem wektorowym nierównoległych wektorów

~a

i

~b

nazywamy wektor

~c = ~a × ~b

o

• kierunku takim, że

~c ⊥ ~a

i

~c ⊥~b

• zwrocie takim, że trójka wektorów

~a , ~b , ~c

ma orientację zgodną

z orientacją trójki wersorów osi układu współrzędnych

~i , ~j , ~k

• długości równej

| ~c | = | ~a | |~b | · sin ^(~a,~b ).

15

Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego

P

♦

= | ~a × ~b |

P

4

=

1

2

| ~a × ~b |

16

Własności

(iloczynu wektorowego wektorów)

•

~a × ~b = −~b × ~a

•

α ( ~a × ~b ) = ( α ~a ) × ~b = ~a × ( α~b )

•

( ~a + ~b ) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c

Uwaga

Dla niezerowych wektorów

~a

i

~b

zachodzi:

~a × ~b = 0

⇐⇒

~a k ~b.

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

i

~b = [ b

1

, b

2

, b

3

]

, to

~a × ~b =
























~i

~j

~k

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3
























17

Przykład

Sprawdź, czy trójkąt

4 ABC

, gdzie

A(1, −2, 8)

,

B(0, 0, 4)

i

C(6, 2, 0)

, jest prostokątny. Oblicz jego pole.

Iloczyn mieszany wektorów

Definicja

Iloczynem mieszanym trójki wektorów

~a

,

~b

i

~c

nazywamy liczbę

( ~a × ~b ) ◦ ~c.

Uwaga

Wektory

~a

,

~b

i

~c

są liniowo niezależne wtedy i tylko

wtedy, gdy

( ~a × ~b ) ◦ ~c 6= 0

.

18

Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego

V

r

= | ( ~a × ~b ) ◦ ~c |

V

cz

=

1

6

| ( ~a × ~b ) ◦ ~c |

19

Własności

(iloczynu mieszanego wektorów)

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = − (~b × ~a ) ◦ ~c

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = − ( ~a × ~c ) ◦ ~b

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = ( ~c × ~a ) ◦ ~b = (~b × ~c ) ◦ ~a

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

1

, a

2

, a

3

]

,

~b = [ b

1

, b

2

, b

3

]

i

~c = [ c

1

, c

2

, c

3

]

, to

( ~a × ~b ) ◦ ~c =
























a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

c

1

c

2

c

3
























20

Przykład

Oblicz objętość czworościanu zbudowanego na wekto-

rach

~a = [ 1, 1, 1]

,

~b = [ 1, 1, −3]

i

~c = [ 2, −1, −1]

.