Wektory

Definicja

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów.

Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora albo punk-

tem zaczepienia wektora, a drugi końcem wektora. Wektor o począt-

ku w punkcie

i końcu w punkcie

oznaczamy przez

−→

Odcinek o początku w punkcie

i końcu w punkcie

oznaczamy

przez

Definicja

• Modułem (długością) wektora

−→

nazywamy długość odcinka

• Kierunek wektora jest to prosta przechodząca przez punkty

• Zwrot wektora to zwrot półprostej

Będziemy rozważali zagadnienia związane z wektorami w przestrzeni

= { (x, y, z) : x, y, z ∈ R }

Wówczas:

• jeżeli

A(x

, y

, z

)

B(x

, y

, z

)

, to

−→

AB = [ x

− x

, y

− y

, z

− z

]

−→

AB | =

v
u
u
t

− x

)

+ (y

− y

)

+ (z

− z

)

• jeżeli

~a = [ a

, a

]

, to

| ~a | =

v
u
u
t

+ a

• wektor

~0 = [ 0, 0, 0]

nazywamy wektorem zerowym,

• wektor

−~a = [ −a

, −a

]

nazywamy wektorem przeciwnym

do wektora

~a = [ a

, a

]

• wektor o długości

nazywamy wersorem,

• dla dowolnego niezerowego wektora

~a = [ a

, a

]

wektor o

współrzednych






|~a|






jest wersorem.

Przykład

Wektory o współrzędnych

~i = [ 1, 0, 0 ]

~j = [ 0, 1, 0 ]

~k = [ 0, 0, 1 ]

nazywamy wersorami osi układu współrzędnych.

Działania na wektorach

Definicja

(Sumy i różnicy wektorów)

Niech

~a = [ a

, a

]

~b = [ b

, b

]

. Wówczas:

~a + ~b = [ a

+ b

, a

+ b

, a

+ b

]

~a − ~b = [ a

− b

, a

− b

, a

− b

]

Własności

(działania dodawania wektorów)

•

~a + ~b = ~b + ~a

•

( ~a + ~b ) + ~c = ~a + (~b + ~c )

•

~a + ~0 = ~a

•

~a + ( − ~a ) = ~0

Definicja

(Mnożenia wektora przez liczbę)

Niech

~a = [ a

, a

]

α ∈ R

. Wówczas:

α ~a = [ α a

, α a

]

Własności

(działania mnożenia wektora przez liczbę)

•

1 · ~a = ~a

•

α( β ~a ) = (αβ) ~a

•

(α + β) ~a = α ~a + β ~a

•

α ( ~a + ~b ) = α ~a + α~b

Własności

(długości wektora)

•

| ~a | > 0

, przy czym

| ~a | = 0

⇔

~a = ~0

•

| α ~a | = | α | · | ~a |

•

| ~a + ~b | 6 |~a | + |~b |

Definicja

(Kombinacji liniowej wektorów)

Rozważmy

wektorów

, ~a

, . . . , ~a

n . Wyrażenie

+ α

+ . . . + α

i=1

gdzie

, α

, . . . , α

∈ R

, nazywamy kombinacją liniową wekto-

rów

, ~a

, . . . , ~a

n .

Definicja

(Liniowej niezależności wektorów)

• Wektory

, ~a

, . . . , ~a

nazywamy liniowo niezależnymi,

jeżeli dla dowolnych liczb

, α

, . . . , α

∈ R

z tego, że

+ α

+ . . . + α

= ~0

wynika że

= α

= . . . = α

= 0

• Wektory

, ~a

, . . . , ~a

n nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli

istnieją liczby

, α

, . . . , α

∈ R

nie wszystkie równe 0 takie,

że

+ α

+ . . . + α

= ~0

Przykład

Wersory osi układu współrzędnych

~i, ~j, ~k

są trójką

wektorów liniowo niezależnych.

Przykład

Zbadaj liniową niezależność wektorów

= [ 1, 0, 1]

= [ 1, 1, 0]

= [ 0, 1, 1]

Definicja

Układ

{ ~e

, ~

}

trzech wektorów liniowo nieza-

leżnych w

3 nazywamy bazą (przestrzeni

3 ).

• Jeżeli wektory

, ~

są wzajemnie prostopadłe, to bazę

nazywamy bazą ortogonalną.

• Jeżeli wektory

, ~

3 są wersorami, to bazę nazywamy bazą

unormowaną.

• Jeżeli wektory

, ~

3 są wersorami wzajemnie prostopadły-

mi, to bazę nazywamy bazą ortonormalną.

Przykład

Wersory osi układu współrzędnych

~i, ~j, ~k

tworzą

bazę ortonormalną w

3 . Bazę tą nazywamy bazą standardową.

Fakt

Jeżeli

{ ~e

, ~

}

jest bazą w

3 , to dowolny wektor

można zapisać w postaci:

~a = a

+ a

Liczby

, a

3 nazywamy wówczas współrzędnymi wektora

w baie

{ ~e

, ~

}

Uwaga

Jeżeli

~a = [ a

, a

]

, to

~a = a

~i + a

~j + a

Przykład

Czy trójka wektorów z poprzedniego przykładu tworzy

bazę w

3 ? Znaleźć współrzędne wektora

~a = [3, 4, 1]

w bazie

{ ~e

, ~

}

Iloczyn skalarny wektorów

Definicja

Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów

nazywamy liczbę

~a ◦ ~b = | ~a | |~b | · cos ^(~a,~b ).

(

^(~a,~b ) ∈ [0, π]

)

Własności

(iloczynu skalarnego wektorów)

•

~a ◦ ~b = ~b ◦ ~a

•

α ( ~a ◦ ~b ) = ( α ~a ) ◦ ~b = ~a ◦ ( α~b )

•

( ~a + ~b ) ◦ ~c = ~a ◦ ~c + ~b ◦ ~c

•

~a ◦ ~a = | ~a |

•

~a ◦ ~b = 0

⇐⇒

~a ⊥ ~b

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

, a

]

~b = [ b

, b

]

, to

~a ◦ ~b = a

+ a

Przykład Znaleźć długość wektora

~a = 5 ~

p − 4 ~

, jeżeli

| ~

p | = 2

| ~

q | = 5

^( ~p, ~q ) =

2
3

Iloczyn wektorowy wektorów

Definicja

Iloczynem wektorowym nierównoległych wektorów

nazywamy wektor

~c = ~a × ~b

• kierunku takim, że

~c ⊥ ~a

~c ⊥~b

• zwrocie takim, że trójka wektorów

~a , ~b , ~c

ma orientację zgodną

z orientacją trójki wersorów osi układu współrzędnych

~i , ~j , ~k

• długości równej

| ~c | = | ~a | |~b | · sin ^(~a,~b ).

Własności

(iloczynu wektorowego wektorów)

•

~a × ~b = −~b × ~a

•

α ( ~a × ~b ) = ( α ~a ) × ~b = ~a × ( α~b )

•

( ~a + ~b ) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c

Uwaga

Dla niezerowych wektorów

zachodzi:

~a × ~b = 0

⇐⇒

~a k ~b.

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

, a

]

~b = [ b

, b

]

, to

~a × ~b =

Przykład

Sprawdź, czy trójkąt

4 ABC

, gdzie

A(1, −2, 8)

B(0, 0, 4)

C(6, 2, 0)

, jest prostokątny. Oblicz jego pole.

Iloczyn mieszany wektorów

Definicja

Iloczynem mieszanym trójki wektorów

nazywamy liczbę

( ~a × ~b ) ◦ ~c.

Uwaga

Wektory

są liniowo niezależne wtedy i tylko

wtedy, gdy

( ~a × ~b ) ◦ ~c 6= 0

Własności

(iloczynu mieszanego wektorów)

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = − (~b × ~a ) ◦ ~c

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = − ( ~a × ~c ) ◦ ~b

•

( ~a × ~b ) ◦ ~c = ( ~c × ~a ) ◦ ~b = (~b × ~c ) ◦ ~a

Twierdzenie

Jeżeli

~a = [ a

, a

]

~b = [ b

, b

]

~c = [ c

, c

]

, to

( ~a × ~b ) ◦ ~c =