Wykład 15
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
Wykład 15
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 194
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 195
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 194
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 195
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 194
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 195
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 194
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 195
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 194
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 195
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 196
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, a
i i
= a
j j
dla i 6= j,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).