2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany

background image

Wykład 18

Witold Obłoza

21 lutego 2011

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1



a

11

a

21

. . .

a

m1



+ x

2



a

12

a

22

. . .

a

m2



+ · · · + x

n



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



=



b

1

b

2

. . .
b

m



background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1



a

11

a

21

. . .

a

m1



+ x

2



a

12

a

22

. . .

a

m2



+ · · · + x

n



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



=



b

1

b

2

. . .
b

m



background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1



a

11

a

21

. . .

a

m1



+ x

2



a

12

a

22

. . .

a

m2



+ · · · + x

n



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



=



b

1

b

2

. . .
b

m



background image

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor



b

1

b

2

. . .
b

m



jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów



a

11

a

21

. . .

a

m1



,



a

12

a

22

. . .

a

m2



, . . .



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor



b

1

b

2

. . .
b

m



jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów



a

11

a

21

. . .

a

m1



,



a

12

a

22

. . .

a

m2



, . . .



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor



b

1

b

2

. . .
b

m



jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów



a

11

a

21

. . .

a

m1



,



a

12

a

22

. . .

a

m2



, . . .



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor



b

1

b

2

. . .
b

m



jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów



a

11

a

21

. . .

a

m1



,



a

12

a

22

. . .

a

m2



, . . .



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor



b

1

b

2

. . .
b

m



jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów



a

11

a

21

. . .

a

m1



,



a

12

a

22

. . .

a

m2



, . . .



a

1n

a

2n

. . .

a

mn



czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det

a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det

a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det

a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det

a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det

a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =



x

1

x

2

. . .

x

m



, B =



b

1

b

2

. . .
b

m



Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1



b

1

b

2

. . .
b

m



=



x

1

x

2

. . .

x

m



.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· A

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =



x

1

x

2

. . .

x

m



, B =



b

1

b

2

. . .
b

m



Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1



b

1

b

2

. . .
b

m



=



x

1

x

2

. . .

x

m



.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· A

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =



x

1

x

2

. . .

x

m



, B =



b

1

b

2

. . .
b

m



Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1



b

1

b

2

. . .
b

m



=



x

1

x

2

. . .

x

m



.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· A

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =



x

1

x

2

. . .

x

m



, B =



b

1

b

2

. . .
b

m



Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1



b

1

b

2

. . .
b

m



=



x

1

x

2

. . .

x

m



.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· A

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =



x

1

x

2

. . .

x

m



, B =



b

1

b

2

. . .
b

m



Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1



b

1

b

2

. . .
b

m



=



x

1

x

2

. . .

x

m



.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· A

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 269

Rozwiązać układ równań:

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + z = 7

.

W =

1

2

1

1

1

1

2

1

1

= 1

W

z

=

1

2

8

1

1

6

2

1

7

=

1

0

0

1

-1

-2

2

-3

-9

= 3

W

y

=

1

8

1

1

6

1

2

7

1

= 2

W

x

=

8

2

1

6

1

1

7

1

1

= 1

x =

W

x

W

= 1

x =

W

y

W

= 2

x =

W

z

W

= 3.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 270

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 270

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 270

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 270

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 271

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay + 2z = a − 1

ax + y + 2z = 0

2x + y + az = 3 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.

|A| =

1

a

2

a

1

2

2

1

a

=

1

a

2

a-2

0

2-a

2

1

a

= (a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3)

= (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

(a − 2)

1

a

2

1

0

-1

2

1

a

= (a − 2)

1

a

3

1

0

0

2

1

2+a

=

(2 − a)

a

3

1

2+a

= (2 − a)(a

2

+ 2a − 3) = (2 − a)(a − 1)(a + 3).

Zatem dla a ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) układ jest oznaczony.

Dla a = −3 mamy

rz A = rz

1

−3

2

−3

1

2

2

1

−3

= rz

1

0

0

−3

−8

8

2

7

−7

= 2, zaś

rz U = rz

1

−3

2

−4

−3

1

2

0

2

1

−3

6

= rz

1

0

0

0

−3

−8

8

−12

2

7

−7

16

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

= rz

1

0

0

−3

8

−12

2

−7

16

= 3.

Zatem dla a = −3 układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 mamy rz A = rz

1

1

2

1

1

2

2

1

1

= 2

oraz

rz U = rz

1

1

2

0

1

1

2

0

2

1

1

2

= 2

Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

Dla a = 2 mamy rz A = rz

1

2

2

2

1

2

2

1

2

= 2

oraz

rz U = rz

1

2

2

1

2

1

2

0

2

1

2

1

= rz

−1

1

0

1

2

1

2

0

0

0

0

1

= 3

Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

PRZYKŁAD 272

Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨

x + ay = a

ax + y = 1

x + y = 2 − a

.

Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.

Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.

|U | =

1

a

a

a

1

1

1

1

2-a

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

=

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

=

1

a

a

a-1

1-a

1-a

0

1-a

2(1-a)

= (a − 1)

2

1

a

a

1

-1

-1

0

-1

-2

=

(a − 1)

2

1

a

-a

1

-1

1

0

-1

0

= (a − 1)

2

(a + 1)

Zatem dla a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) układ jest sprzeczny.

Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.

Dla a = −1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 273

Macierz A = {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,

gdy dla i ∈ Z

n−1

i k ∈ Z

m−1

zachodzi implikacja

a

i j

= 0 dla j ∈ Z

k

⇒ a

i+1 j

= 0 dla j ∈ Z

k+1

TWIERDZENIE 274

Każdy układ równań

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 273

Macierz A = {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,

gdy dla i ∈ Z

n−1

i k ∈ Z

m−1

zachodzi implikacja

a

i j

= 0 dla j ∈ Z

k

⇒ a

i+1 j

= 0 dla j ∈ Z

k+1

TWIERDZENIE 274

Każdy układ równań

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.

background image

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 273

Macierz A = {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,

gdy dla i ∈ Z

n−1

i k ∈ Z

m−1

zachodzi implikacja

a

i j

= 0 dla j ∈ Z

k

⇒ a

i+1 j

= 0 dla j ∈ Z

k+1

TWIERDZENIE 274

Każdy układ równań

a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

DEFINICJA 275

Niech V b

,

edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.

Jeżeli

istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V

takie, że Λv = λv to skalar λ

nazywamy wartości

,

a własn

,

a odwzorowania Λ,

a niezerowy wektor v

nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj

,

acym wartości

własnej λ.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

DEFINICJA 275

Niech V b

,

edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli

istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V

takie, że Λv = λv to skalar λ

nazywamy wartości

,

a własn

,

a odwzorowania Λ,

a niezerowy wektor v

nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj

,

acym wartości

własnej λ.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

DEFINICJA 275

Niech V b

,

edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli

istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V

takie, że Λv = λv to skalar λ

nazywamy wartości

,

a własn

,

a odwzorowania Λ,

a niezerowy wektor v

nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj

,

acym wartości

własnej λ.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

DEFINICJA 275

Niech V b

,

edzie p.w. a Λ : V −→ V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli

istnieje skalar λ i niezerowy wektor v ∈ V

takie, że Λv = λv to skalar λ

nazywamy wartości

,

a własn

,

a odwzorowania Λ,

a niezerowy wektor v

nazywamy waktorem własnym odwzorowania Λ odpowiadaj

,

acym wartości

własnej λ.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 276

Niech V b

,

edzie p.w. o bazie v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) a A : V −→ V

odwzorowaniem liniowym o macierzy M

A

= {a

i j

}

i j∈Z

n

w bazie v.

Skalar λ jest wartości

,

a własn

,

a odwzorowania A wtw, gdy

det(M

A

− λI) = 0.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 276

Niech V b

,

edzie p.w. o bazie v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) a A : V −→ V

odwzorowaniem liniowym o macierzy M

A

= {a

i j

}

i j∈Z

n

w bazie v.

Skalar λ jest wartości

,

a własn

,

a odwzorowania A wtw, gdy

det(M

A

− λI) = 0.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 277

Niech A : V −→ V b

,

edzie odwzorowaniem liniowym, a skalary

λ

1

, λ

2

, . . . , λ

r

b

,

ed

,

a wartościami własnymi odwzorowania A z

odpowiadaj

,

acymi im odpowiednio wektorami własnymi

v

1

, v

2

, . . . , v

r

.

Jeżeli ∀i, j ∈ Z

k

i 6= j implikuje λ

i

6= λ

j

to wektory

v

1

, v

2

, . . . , v

r

s

,

a liniowo niezależne.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 277

Niech A : V −→ V b

,

edzie odwzorowaniem liniowym, a skalary

λ

1

, λ

2

, . . . , λ

r

b

,

ed

,

a wartościami własnymi odwzorowania A z

odpowiadaj

,

acymi im odpowiednio wektorami własnymi

v

1

, v

2

, . . . , v

r

.Jeżeli ∀i, j ∈ Z

k

i 6= j implikuje λ

i

6= λ

j

to wektory

v

1

, v

2

, . . . , v

r

s

,

a liniowo niezależne.

background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 278

Niech dim V = n i niech A : V −→ V b

,

edzie odwzorowaniem liniowym,

a skalary λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a wartościami własnymi odwzorowania A z

odpowiadaj

,

acymi im odpowiednio wektorami własnymi v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Jeżeli ∀i, j ∈ Z

k

i 6= j implikuje λ

i

6= λ

j

to wektory v

1

, v

2

, . . . , v

n

stanowi

,

a baz

,

e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów

własnych (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) ma postać



λ

1

0

0

. . .

0

0

λ

2

0

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

. . .

λ

n



background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 278

Niech dim V = n i niech A : V −→ V b

,

edzie odwzorowaniem liniowym,

a skalary λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a wartościami własnymi odwzorowania A z

odpowiadaj

,

acymi im odpowiednio wektorami własnymi v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Jeżeli ∀i, j ∈ Z

k

i 6= j implikuje λ

i

6= λ

j

to wektory v

1

, v

2

, . . . , v

n

stanowi

,

a baz

,

e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów

własnych (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) ma postać



λ

1

0

0

. . .

0

0

λ

2

0

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

. . .

λ

n



background image

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE

TWIERDZENIE 278

Niech dim V = n i niech A : V −→ V b

,

edzie odwzorowaniem liniowym,

a skalary λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a wartościami własnymi odwzorowania A z

odpowiadaj

,

acymi im odpowiednio wektorami własnymi v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Jeżeli ∀i, j ∈ Z

k

i 6= j implikuje λ

i

6= λ

j

to wektory v

1

, v

2

, . . . , v

n

stanowi

,

a baz

,

e p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów

własnych (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) ma postać



λ

1

0

0

. . .

0

0

λ

2

0

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

. . .

λ

n




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:

więcej podobnych podstron