Wykład 16
Witold Obłoza
21 stycznia 2011
Wykład 16
Witold Obłoza
21 stycznia 2011
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
DEFINICJA 214
Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z
n
× Z
m
−→ X.
A(i, j) oznaczamy przez a
i j
, a sam
,
a macierz A przez
{a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz
,
a
liczbow
,
a.
Niech macierze A, B b
,
ed
,
a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {a
i j
+ b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
,
A − B = {a
i j
− b
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
Niech A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
b
,
edzie macierz
,
a liczbow
,
a, a λ
dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
Macierz której wszystkie elementy s
,
a zerami nazywamy macierz
,
a zerow
,
a.
Dla danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
symbol (−A)
oznacza macierz przeciwn
,
a do macierzy A to jest macierz
{−a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow
,
a.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
B = {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}
iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {c
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}
tak
,
a, że
c
i j
= a
i 1
· b
1 j
+ a
i 2
· b
2 j
+ a
i 3
· b
3 j
+ · · · + a
i m
· b
m j
=
m
P
l=1
a
i l
· b
l j
.
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierz
,
a transponowan
,
a danej macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy macierz A
T
= {b
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
tak
,
a, że b
i j
= a
j i
.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz
,
a
wzory
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(λA)
T
= λA
T
,
(A · B)
T
= B
T
· A
T
,
(A
T
)
T
= A.
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratow
,
a A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy
1) symetryczn
,
a wtw, gdy A = A
T
,
2) diagonaln
,
a wtw, gdy a
i j
= 0 dla i 6= j,
3) skalarn
,
a wtw, gdy a
i j
= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a
i i
= a
j j
,
4) jednostkow
,
a wtw, gdy jest skalarna i a
i i
= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},
5) trójk
,
atn
,
a górn
,
a ( doln
,
a ) wtw, gdy a
i j
= 0 dla i > j
(a
i j
= 0 dla i < j).
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A b
,
edzie dowolnym zbiorem.
Zbiór S
A
= {f : A −→ A : f jest bijekcj
,
a} ze składaniem odwzorowań
jest grup
,
a.
DOWÓD:
Ł
,
aczność.
∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S
A
[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie id
A
: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A b
,
edzie dowolnym zbiorem.
Zbiór S
A
= {f : A −→ A : f jest bijekcj
,
a} ze składaniem odwzorowań
jest grup
,
a.
DOWÓD:
Ł
,
aczność.
∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S
A
[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie id
A
: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A b
,
edzie dowolnym zbiorem.
Zbiór S
A
= {f : A −→ A : f jest bijekcj
,
a} ze składaniem odwzorowań
jest grup
,
a.
DOWÓD:
Ł
,
aczność.
∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S
A
[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie id
A
: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A b
,
edzie dowolnym zbiorem.
Zbiór S
A
= {f : A −→ A : f jest bijekcj
,
a} ze składaniem odwzorowań
jest grup
,
a.
DOWÓD:
Ł
,
aczność.
∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S
A
[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie id
A
: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f ∈ S
A
∀x ∈ A określamy f
−1
(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f
−1
= f
−1
◦ f = id
A
.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Z
n
= {1, 2, 3, . . . , n} to grup
,
e S
A
oznaczamy przez S
n
i
nazywamy grup
,
a symetryczn
,
a stopnia n. Elementy S
n
nazywamy
permutacjami. (a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) oznacza permutacj
,
e p : Z
n
−→ Z
n
tak
,
a, że p(k) = a
k
.
UWAGA 223
Permutacj
,
e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci
,
agiem n
elementowym elementów Z
n
.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f ∈ S
A
∀x ∈ A określamy f
−1
(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f
−1
= f
−1
◦ f = id
A
.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Z
n
= {1, 2, 3, . . . , n} to grup
,
e S
A
oznaczamy przez S
n
i
nazywamy grup
,
a symetryczn
,
a stopnia n. Elementy S
n
nazywamy
permutacjami. (a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) oznacza permutacj
,
e p : Z
n
−→ Z
n
tak
,
a, że p(k) = a
k
.
UWAGA 223
Permutacj
,
e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci
,
agiem n
elementowym elementów Z
n
.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f ∈ S
A
∀x ∈ A określamy f
−1
(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f
−1
= f
−1
◦ f = id
A
.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Z
n
= {1, 2, 3, . . . , n} to grup
,
e S
A
oznaczamy przez S
n
i
nazywamy grup
,
a symetryczn
,
a stopnia n. Elementy S
n
nazywamy
permutacjami. (a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) oznacza permutacj
,
e p : Z
n
−→ Z
n
tak
,
a, że p(k) = a
k
.
UWAGA 223
Permutacj
,
e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci
,
agiem n
elementowym elementów Z
n
.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a
1
a
2
a
3
. . . a
k
) oznacza permutacj
,
e cykliczn
,
a to jest tak
,
a, że
∀ l ∈ Z
k−1
p(a
l
) = a
l+1
, p(a
k
) = a
1
i p(j) = j dla
j /
∈ {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a
1
oznacza najmniejsz
,
a liczb
,
e tak
,
a, że p(a
1
) 6= a
1
. Niech
a
2
= p(a
1
), a
3
= p(a
2
), a
4
= p(a
3
), . . . . Dla pewnego k
1
p(a
k
1
) = a
1
możemy założyć, że k
1
jest najmniejsz
,
a tak
,
a liczb
,
a.
Oznaczmy p
1
= (a
1
a
2
a
3
. . . a
k
1
) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
oprócz a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
przechodz
,
a w siebie to p = p
1
i dowód jest
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a
1
a
2
a
3
. . . a
k
) oznacza permutacj
,
e cykliczn
,
a to jest tak
,
a, że
∀ l ∈ Z
k−1
p(a
l
) = a
l+1
, p(a
k
) = a
1
i p(j) = j dla
j /
∈ {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a
1
oznacza najmniejsz
,
a liczb
,
e tak
,
a, że p(a
1
) 6= a
1
. Niech
a
2
= p(a
1
), a
3
= p(a
2
), a
4
= p(a
3
), . . . . Dla pewnego k
1
p(a
k
1
) = a
1
możemy założyć, że k
1
jest najmniejsz
,
a tak
,
a liczb
,
a.
Oznaczmy p
1
= (a
1
a
2
a
3
. . . a
k
1
) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
oprócz a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
przechodz
,
a w siebie to p = p
1
i dowód jest
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a
1
a
2
a
3
. . . a
k
) oznacza permutacj
,
e cykliczn
,
a to jest tak
,
a, że
∀ l ∈ Z
k−1
p(a
l
) = a
l+1
, p(a
k
) = a
1
i p(j) = j dla
j /
∈ {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a
1
oznacza najmniejsz
,
a liczb
,
e tak
,
a, że p(a
1
) 6= a
1
. Niech
a
2
= p(a
1
), a
3
= p(a
2
), a
4
= p(a
3
), . . . . Dla pewnego k
1
p(a
k
1
) = a
1
możemy założyć, że k
1
jest najmniejsz
,
a tak
,
a liczb
,
a.
Oznaczmy p
1
= (a
1
a
2
a
3
. . . a
k
1
) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
oprócz a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
przechodz
,
a w siebie to p = p
1
i dowód jest
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a
1
a
2
a
3
. . . a
k
) oznacza permutacj
,
e cykliczn
,
a to jest tak
,
a, że
∀ l ∈ Z
k−1
p(a
l
) = a
l+1
, p(a
k
) = a
1
i p(j) = j dla
j /
∈ {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a
1
oznacza najmniejsz
,
a liczb
,
e tak
,
a, że p(a
1
) 6= a
1
. Niech
a
2
= p(a
1
), a
3
= p(a
2
), a
4
= p(a
3
), . . . . Dla pewnego k
1
p(a
k
1
) = a
1
możemy założyć, że k
1
jest najmniejsz
,
a tak
,
a liczb
,
a.
Oznaczmy p
1
= (a
1
a
2
a
3
. . . a
k
1
) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
oprócz a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
przechodz
,
a w siebie to p = p
1
i dowód jest
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a
1
a
2
a
3
. . . a
k
) oznacza permutacj
,
e cykliczn
,
a to jest tak
,
a, że
∀ l ∈ Z
k−1
p(a
l
) = a
l+1
, p(a
k
) = a
1
i p(j) = j dla
j /
∈ {a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a
1
oznacza najmniejsz
,
a liczb
,
e tak
,
a, że p(a
1
) 6= a
1
. Niech
a
2
= p(a
1
), a
3
= p(a
2
), a
4
= p(a
3
), . . . . Dla pewnego k
1
p(a
k
1
) = a
1
możemy założyć, że k
1
jest najmniejsz
,
a tak
,
a liczb
,
a.
Oznaczmy p
1
= (a
1
a
2
a
3
. . . a
k
1
) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
oprócz a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
przechodz
,
a w siebie to p = p
1
i dowód jest
zakończony.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz
,
a z nich i oznaczmy j
,
a przez a
1
1
. Jak
poprzednio tworzymy permutacj
,
e cykliczn
,
a p
2
= (a
1
1
a
1
2
a
1
3
. . . a
1
k
2
), w
której a
1
2
= p(a
1
1
), a
1
3
= p(a
1
2
), a
1
4
= p(a
1
3
)
. . . , a
1
k
2
= p(a
k
2
−1
), a
1
1
= p(a
k
2
).
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
, a
1
1
, a
1
2
, a
1
3
, . . . , a
1
k
2
przechodz
,
a w siebie to p = p
2
p
1
i
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie post
,
epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p
s
p
s−1
. . . p
2
p
1
,
gdzie p
1
, p
2
, . . . , p
s
s
,
a permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz
,
a z nich i oznaczmy j
,
a przez a
1
1
. Jak
poprzednio tworzymy permutacj
,
e cykliczn
,
a p
2
= (a
1
1
a
1
2
a
1
3
. . . a
1
k
2
), w
której a
1
2
= p(a
1
1
), a
1
3
= p(a
1
2
), a
1
4
= p(a
1
3
)
. . . , a
1
k
2
= p(a
k
2
−1
), a
1
1
= p(a
k
2
).
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
, a
1
1
, a
1
2
, a
1
3
, . . . , a
1
k
2
przechodz
,
a w siebie to p = p
2
p
1
i
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie post
,
epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p
s
p
s−1
. . . p
2
p
1
,
gdzie p
1
, p
2
, . . . , p
s
s
,
a permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz
,
a z nich i oznaczmy j
,
a przez a
1
1
. Jak
poprzednio tworzymy permutacj
,
e cykliczn
,
a p
2
= (a
1
1
a
1
2
a
1
3
. . . a
1
k
2
), w
której a
1
2
= p(a
1
1
), a
1
3
= p(a
1
2
), a
1
4
= p(a
1
3
)
. . . , a
1
k
2
= p(a
k
2
−1
), a
1
1
= p(a
k
2
).
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
k
1
, a
1
1
, a
1
2
, a
1
3
, . . . , a
1
k
2
przechodz
,
a w siebie to p = p
2
p
1
i
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie post
,
epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p
s
p
s−1
. . . p
2
p
1
,
gdzie p
1
, p
2
, . . . , p
s
s
,
a permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s
,
a przemienne.
DEFINICJA 227
Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a
1
a
2
a
3
. . .
a
k
). Wtedy
p = (a
1
a
k
) . . . (a
1
a
3
)(a
1
a
2
).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersj
,
e w permutacji p jeżeli
(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
Przez κ(p) oznaczamy liczb
,
e wszystkich inwersji w permutacji p.
Znakiem permutacji p nazywamy liczb
,
e σ(p) = (−1)
κ(p)
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s
,
a przemienne.
DEFINICJA 227
Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a
1
a
2
a
3
. . .
a
k
). Wtedy
p = (a
1
a
k
) . . . (a
1
a
3
)(a
1
a
2
).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersj
,
e w permutacji p jeżeli
(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
Przez κ(p) oznaczamy liczb
,
e wszystkich inwersji w permutacji p.
Znakiem permutacji p nazywamy liczb
,
e σ(p) = (−1)
κ(p)
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s
,
a przemienne.
DEFINICJA 227
Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a
1
a
2
a
3
. . .
a
k
). Wtedy
p = (a
1
a
k
) . . . (a
1
a
3
)(a
1
a
2
).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersj
,
e w permutacji p jeżeli
(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
Przez κ(p) oznaczamy liczb
,
e wszystkich inwersji w permutacji p.
Znakiem permutacji p nazywamy liczb
,
e σ(p) = (−1)
κ(p)
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s
,
a przemienne.
DEFINICJA 227
Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a
1
a
2
a
3
. . .
a
k
). Wtedy
p = (a
1
a
k
) . . . (a
1
a
3
)(a
1
a
2
).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersj
,
e w permutacji p jeżeli
(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
Przez κ(p) oznaczamy liczb
,
e wszystkich inwersji w permutacji p.
Znakiem permutacji p nazywamy liczb
,
e σ(p) = (−1)
κ(p)
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s
,
a przemienne.
DEFINICJA 227
Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a
1
a
2
a
3
. . .
a
k
). Wtedy
p = (a
1
a
k
) . . . (a
1
a
3
)(a
1
a
2
).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersj
,
e w permutacji p jeżeli
(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
Przez κ(p) oznaczamy liczb
,
e wszystkich inwersji w permutacji p.
Znakiem permutacji p nazywamy liczb
,
e σ(p) = (−1)
κ(p)
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l
l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l
l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s
,
asiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l
l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l
l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s
,
asiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l
l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l
l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s
,
asiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l
l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l
l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma t
,
e sam
,
a parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy liczb
,
e
P
p∈S
n
σ(p)a
1 p(1)
· a
2 p(2)
· · · · · a
n p(n)
.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l
l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l
l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma t
,
e sam
,
a parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy liczb
,
e
P
p∈S
n
σ(p)a
1 p(1)
· a
2 p(2)
· · · · · a
n p(n)
.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l
l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l
l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma t
,
e sam
,
a parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}
stopnia n nazywamy liczb
,
e
P
p∈S
n
σ(p)a
1 p(1)
· a
2 p(2)
· · · · · a
n p(n)
.