Wykład 17
Witold Obłoza
21 stycznia 2011
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V
zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W.
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a
przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
),
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) ma postać M
A
= {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
i niech
x = Σ
n
i=1
α
i
v
i
.
Wtedy Ax = Σ
m
k=1
γ
k
w
k
, gdzie γ
k
= Σ
n
i=1
a
k i
α
i
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W.
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a
przestrzeni wektorowej V
zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
),
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) ma postać M
A
= {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
i niech
x = Σ
n
i=1
α
i
v
i
.
Wtedy Ax = Σ
m
k=1
γ
k
w
k
, gdzie γ
k
= Σ
n
i=1
a
k i
α
i
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W.
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a
przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
),
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) ma postać M
A
= {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
i niech
x = Σ
n
i=1
α
i
v
i
.
Wtedy Ax = Σ
m
k=1
γ
k
w
k
, gdzie γ
k
= Σ
n
i=1
a
k i
α
i
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W.
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a
przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
),
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) ma postać M
A
= {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
i niech
x = Σ
n
i=1
α
i
v
i
.
Wtedy Ax = Σ
m
k=1
γ
k
w
k
, gdzie γ
k
= Σ
n
i=1
a
k i
α
i
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W.
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a
przestrzeni wektorowej V zaś
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
),
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) ma postać M
A
= {a
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
m
i niech
x = Σ
n
i=1
α
i
v
i
.
Wtedy Ax = Σ
m
k=1
γ
k
w
k
, gdzie γ
k
= Σ
n
i=1
a
k i
α
i
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M
A◦B
= M
A
· M
B
. Mamy także M
A+B
= M
A
+ M
B
oraz
M
λ·A
= λ · M
A
.
DEFINICJA 254
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) oraz (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) b
,
ed
,
a bazami
uporz
,
adkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierz
,
a przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
)
nazywamy macierz P
v v
0
= {p
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
n
, gdzie v
0
k
=
P
n
i=1
p
i k
v
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M
A◦B
= M
A
· M
B
. Mamy także M
A+B
= M
A
+ M
B
oraz
M
λ·A
= λ · M
A
.
DEFINICJA 254
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) oraz (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) b
,
ed
,
a bazami
uporz
,
adkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierz
,
a przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
)
nazywamy macierz P
v v
0
= {p
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
n
, gdzie v
0
k
=
P
n
i=1
p
i k
v
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M
A◦B
= M
A
· M
B
. Mamy także M
A+B
= M
A
+ M
B
oraz
M
λ·A
= λ · M
A
.
DEFINICJA 254
Niech ci
,
ag wektorów (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) oraz (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) b
,
ed
,
a bazami
uporz
,
adkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierz
,
a przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
)
nazywamy macierz P
v v
0
= {p
i j
}
i∈Z
n
j∈Z
n
, gdzie v
0
k
=
P
n
i=1
p
i k
v
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy
(v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) jest macierz
,
a odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baz
,
a (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) w przestrzeń V z baz
,
a (v
1
, v
2
, . . . , v
n
).
Macierz przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) jest
macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy przejścia od bazy(v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) do bazy
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy
(v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) jest macierz
,
a odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baz
,
a (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) w przestrzeń V z baz
,
a (v
1
, v
2
, . . . , v
n
).
Macierz przejścia od bazy (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) do bazy (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) jest
macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy przejścia od bazy(v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) do bazy
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
oraz x =
P
n
i=1
α
i
v
i
=
P
n
i=1
α
0
i
v
0
i
to
α
k
= Σ
n
i=1
p
k i
α
0
i
, gdzie {p
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
jest macierz
,
a przejścia od bazy
v do bazy v
0
.
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= P
w
0
w
M
A w v
P
v v
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
oraz x =
P
n
i=1
α
i
v
i
=
P
n
i=1
α
0
i
v
0
i
to
α
k
= Σ
n
i=1
p
k i
α
0
i
, gdzie {p
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
jest macierz
,
a przejścia od bazy
v do bazy v
0
.
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= P
w
0
w
M
A w v
P
v v
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
oraz x =
P
n
i=1
α
i
v
i
=
P
n
i=1
α
0
i
v
0
i
to
α
k
= Σ
n
i=1
p
k i
α
0
i
, gdzie {p
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
jest macierz
,
a przejścia od bazy
v do bazy v
0
.
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= P
w
0
w
M
A w v
P
v v
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
oraz x =
P
n
i=1
α
i
v
i
=
P
n
i=1
α
0
i
v
0
i
to
α
k
= Σ
n
i=1
p
k i
α
0
i
, gdzie {p
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
jest macierz
,
a przejścia od bazy
v do bazy v
0
.
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przestrzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= P
w
0
w
M
A w v
P
v v
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przes-trzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= Q
−1
M
A w v
P, gdzie P jest macierz
,
a przejścia od
bazy v do v
0
, a Q jest macierz
,
a przejścia od bazy w do w
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), v
0
= (v
0
1
, v
0
2
, . . . , v
0
n
) s
,
a bazami przes-trzeni V,
a w = (w
1
, w
2
, . . . , w
m
), w
0
= (w
0
1
, w
0
2
, . . . , w
0
m
) s
,
a bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M
A w v
to macierz M
A w
0
v
0
= Q
−1
M
A w v
P, gdzie P jest macierz
,
a przejścia od
bazy v do v
0
, a Q jest macierz
,
a przejścia od bazy w do w
0
jest macierz
,
a
odwzorowania A w bazach v
0
, w
0
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. J
,
adrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon
,
a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon
,
a z elementów b
,
ed
,
acych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. J
,
adrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon
,
a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon
,
a z elementów b
,
ed
,
acych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. J
,
adrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon
,
a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon
,
a z elementów b
,
ed
,
acych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
r
stanowi
,
a baz
,
e ker f. Możemy j
,
a uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie t
,
a baz
,
a. Pokażemy, że wektory
f (v
r+1
), f (v
r+2
), . . . , f (v
n
) stanowi
,
a baz
,
e im f.
Jeżeli λ
1
f (v
r+1
) + λ
2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n−r
f (v
n
) = 0 to
f (λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
) = 0 czyli
λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ
i
s
,
a równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniow
,
a niezależności
,
a wektorów
v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
) =
f (λ
r+1
v
r+1
+ λ
r+2
v
r+2
+ · · · + λ
n
v
n
) = f (λ
r+1
v
r+1
) + f (λ
r+2
v
r+2
) +
· · · + f (λ
n
v
n
) = λ
r+1
f (v
r+1
) + λ
r+2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n
f (v
n
).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
r
stanowi
,
a baz
,
e ker f. Możemy j
,
a uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie t
,
a baz
,
a. Pokażemy, że wektory
f (v
r+1
), f (v
r+2
), . . . , f (v
n
) stanowi
,
a baz
,
e im f.
Jeżeli λ
1
f (v
r+1
) + λ
2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n−r
f (v
n
) = 0 to
f (λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
) = 0 czyli
λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ
i
s
,
a równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniow
,
a niezależności
,
a wektorów
v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
) =
f (λ
r+1
v
r+1
+ λ
r+2
v
r+2
+ · · · + λ
n
v
n
) = f (λ
r+1
v
r+1
) + f (λ
r+2
v
r+2
) +
· · · + f (λ
n
v
n
) = λ
r+1
f (v
r+1
) + λ
r+2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n
f (v
n
).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
r
stanowi
,
a baz
,
e ker f. Możemy j
,
a uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie t
,
a baz
,
a. Pokażemy, że wektory
f (v
r+1
), f (v
r+2
), . . . , f (v
n
) stanowi
,
a baz
,
e im f.
Jeżeli λ
1
f (v
r+1
) + λ
2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n−r
f (v
n
) = 0 to
f (λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
) = 0 czyli
λ
1
v
r+1
+ λ
2
v
r+2
+ · · · + λ
n−r
v
n
∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ
i
s
,
a równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniow
,
a niezależności
,
a wektorów
v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ · · · + λ
n
v
n
) =
f (λ
r+1
v
r+1
+ λ
r+2
v
r+2
+ · · · + λ
n
v
n
) = f (λ
r+1
v
r+1
) + f (λ
r+2
v
r+2
) +
· · · + f (λ
n
v
n
) = λ
r+1
f (v
r+1
) + λ
r+2
f (v
r+2
) + · · · + λ
n
f (v
n
).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie baz
,
a p.w. V, a w
i
=
P
n
j=1
a
j i
v
j
, dla i ∈ Z
r
wtedy w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne wtw, gdy rz
,
ad macierzy
{a
j i
}
i ∈Z
r
, j∈Z
n
jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz A = r to zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
że det
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
6= 0.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie baz
,
a p.w. V, a w
i
=
P
n
j=1
a
j i
v
j
, dla i ∈ Z
r
wtedy w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne wtw, gdy rz
,
ad macierzy
{a
j i
}
i ∈Z
r
, j∈Z
n
jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz A = r to zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
że det
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
6= 0.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
Niech v
1
, v
2
, . . . , v
n
b
,
edzie baz
,
a p.w. V, a w
i
=
P
n
j=1
a
j i
v
j
, dla i ∈ Z
r
wtedy w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne wtw, gdy rz
,
ad macierzy
{a
j i
}
i ∈Z
r
, j∈Z
n
jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz A = r to zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
że det
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
6= 0.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
r
w
r
= 0 oznacza równość
Σ
r
j=1
Σ
n
i=1
a
i j
λ
j
v
i
= 0.
St
,
ad, że v
1
, v
2
, . . . , v
n
jest baz
,
a mamy
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
λ
1
. . .
λ
r
=
0
. . .
0
.
Macierz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
ma odwrotn
,
a, a zatem
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
r
w
r
= 0 oznacza równość
Σ
r
j=1
Σ
n
i=1
a
i j
λ
j
v
i
= 0.
St
,
ad, że v
1
, v
2
, . . . , v
n
jest baz
,
a mamy
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
λ
1
. . .
λ
r
=
0
. . .
0
.
Macierz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
ma odwrotn
,
a, a zatem
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
r
w
r
= 0 oznacza równość
Σ
r
j=1
Σ
n
i=1
a
i j
λ
j
v
i
= 0.
St
,
ad, że v
1
, v
2
, . . . , v
n
jest baz
,
a mamy
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
λ
1
. . .
λ
r
=
0
. . .
0
.
Macierz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
ma odwrotn
,
a, a zatem
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
−1
0
. . .
0
=
0
. . .
0
.
Czyli wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne.
Załóżmy teraz, że rz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
n1
. . .
a
nr
= p < r.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
−1
0
. . .
0
=
0
. . .
0
.
Czyli wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne.
Załóżmy teraz, że rz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
n1
. . .
a
nr
= p < r.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
r1
. . .
a
rr
−1
0
. . .
0
=
0
. . .
0
.
Czyli wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo niezależne.
Załóżmy teraz, że rz
a
11
. . .
a
1r
. . .
. . .
. . .
a
n1
. . .
a
nr
= p < r.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy i wektorów w
1
, w
2
, ·, w
r
możemy
założyć, że det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
6= 0.
Pokażemy, że wektory w
1
, w
2
, . . . , w
p
, w
p+k
dla k ∈ Z
r−p
s
,
a liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
, gdzie
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
−1
−a
1 p+1
. . .
−a
p p+1
zeruje si
,
e, mimo
niezerowego współczynnika przy w
p+k
.
Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z
n−p
mamy
0 = det
a
11
. . .
a
1p
a
1 p+k
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
p p+k
a
p+l1
. . .
a
p+l p
a
p+l p+k
=
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy i wektorów w
1
, w
2
, ·, w
r
możemy
założyć, że det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
6= 0.
Pokażemy, że wektory w
1
, w
2
, . . . , w
p
, w
p+k
dla k ∈ Z
r−p
s
,
a liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
, gdzie
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
−1
−a
1 p+1
. . .
−a
p p+1
zeruje si
,
e, mimo
niezerowego współczynnika przy w
p+k
.
Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z
n−p
mamy
0 = det
a
11
. . .
a
1p
a
1 p+k
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
p p+k
a
p+l1
. . .
a
p+l p
a
p+l p+k
=
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniaj
,
ac kolejność wektorów bazy i wektorów w
1
, w
2
, ·, w
r
możemy
założyć, że det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
6= 0.
Pokażemy, że wektory w
1
, w
2
, . . . , w
p
, w
p+k
dla k ∈ Z
r−p
s
,
a liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
, gdzie
λ
1
. . .
λ
r
=
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
−1
−a
1 p+1
. . .
−a
p p+1
zeruje si
,
e, mimo
niezerowego współczynnika przy w
p+k
.
Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z
n−p
mamy
0 = det
a
11
. . .
a
1p
a
1 p+k
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
p p+k
a
p+l1
. . .
a
p+l p
a
p+l p+k
=
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
det
a
11
. . .
a
1p
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
a
p+l1
. . .
a
p+l p
Σ
p
j=1
λ
j
a
p+lj
+ a
p+l p+k
=
det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
· Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
.
Zatem Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
co oznacza, że dla l ∈ Z
n−p
p + l-ta
współrz
,
edna kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest
równa 0.
Z wyboru λ
j
dla j ∈ Z
p
jasne jest, że dla l ∈ Z
p
l-ta współrz
,
edna
kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest równa 0.
St
,
ad wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
det
a
11
. . .
a
1p
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
a
p+l1
. . .
a
p+l p
Σ
p
j=1
λ
j
a
p+lj
+ a
p+l p+k
=
det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
· Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
.
Zatem Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
co oznacza, że dla l ∈ Z
n−p
p + l-ta
współrz
,
edna kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest
równa 0.
Z wyboru λ
j
dla j ∈ Z
p
jasne jest, że dla l ∈ Z
p
l-ta współrz
,
edna
kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest równa 0.
St
,
ad wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
det
a
11
. . .
a
1p
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
a
p+l1
. . .
a
p+l p
Σ
p
j=1
λ
j
a
p+lj
+ a
p+l p+k
=
det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
· Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
.
Zatem Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
co oznacza, że dla l ∈ Z
n−p
p + l-ta
współrz
,
edna kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest
równa 0.
Z wyboru λ
j
dla j ∈ Z
p
jasne jest, że dla l ∈ Z
p
l-ta współrz
,
edna
kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest równa 0.
St
,
ad wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
det
a
11
. . .
a
1p
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
a
p+l1
. . .
a
p+l p
Σ
p
j=1
λ
j
a
p+lj
+ a
p+l p+k
=
det
a
11
. . .
a
1p
. . .
. . .
. . .
a
p1
. . .
a
pp
a
0
· Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
.
Zatem Σ
p
j=1
λ
j
a
p+l j
+ a
p+l p+k
co oznacza, że dla l ∈ Z
n−p
p + l-ta
współrz
,
edna kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest
równa 0.
Z wyboru λ
j
dla j ∈ Z
p
jasne jest, że dla l ∈ Z
p
l-ta współrz
,
edna
kombinacji λ
1
w
1
+ λ
2
w
2
+ λ
3
w
3
+ · · · + λ
p
w
p
+ w
p+k
jest równa 0.
St
,
ad wektory w
1
, w
2
, . . . , w
r
s
,
a liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rz
,
ad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rz
,
ad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 265
Macierz
,
a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
(?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
nazywamy macierz
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
,
a macierz
,
a uzupełnion
,
a tego układu nazywamy macierz
(??)
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 265
Macierz
,
a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
(?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
nazywamy macierz
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
,
a macierz
,
a uzupełnion
,
a tego układu nazywamy macierz
(??)
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 265
Macierz
,
a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
(?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
nazywamy macierz
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
,
a macierz
,
a uzupełnion
,
a tego układu nazywamy macierz
(??)
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 265
Macierz
,
a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
(?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
nazywamy macierz
A = {a
i j
}
i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}
,
a macierz
,
a uzupełnion
,
a tego układu nazywamy macierz
(??)
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
.
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu
x
1
a
11
a
21
. . .
a
m1
+ x
2
a
12
a
22
. . .
a
m2
+ · · · + x
n
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
=
b
1
b
2
. . .
b
m
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
powyższy układ ma rozwi
,
azanie wtw, gdy wektor
b
1
b
2
. . .
b
m
jest kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów
a
11
a
21
. . .
a
m1
,
a
12
a
22
. . .
a
m2
, . . .
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
czyli, gdy rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 268
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(? ? ?)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ · · · + a
n n
x
n
= b
n
i niech rz
,
ad macierzy tego układu jest równy n.
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi
,
azanie dane wzorami x
i
=
W
i
W
,
gdzie W = det{a}
i j
,
a
W
i
= det
a
11
. . .
a
1 i−1
b
1
a
1 i+1
. . .
a
1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a . . .
a
n1
. . .
a
3 i−1
a
n
a
3 i+1
. . .
a
nn
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· M
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· M
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· M
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· M
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
DOWÓD:
(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
układu,X =
x
1
x
2
. . .
x
m
, B =
b
1
b
2
. . .
b
m
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A
−1
.
Mamy zatem
A
−1
b
1
b
2
. . .
b
m
=
x
1
x
2
. . .
x
m
.
Czyli x
j
=
1
detA
n
P
l=1
b
l
· M
l j
=
W
i
W
.
Co kończy dowód.
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 269
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 269
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 269
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
UKŁADY RÓWNAŃ
TWIERDZENIE 269
Niech dany b
,
edzie układ równań liniowych
(∗)
a
1 1
x
1
+ a
1 2
x
2
+ · · · + a
1 n
x
n
= b
1
a
2 1
x
1
+ a
2 2
x
2
+ · · · + a
2 n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
x
1
+ a
m 2
x
2
+ · · · + a
m n
x
n
= b
m
i niech r rz
,
ad macierzy tego układu jest równy rz
,
edowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {a
i
k
j
l
}
k, l∈Z
r
6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi
a
i
1
j
1
x
j
1
+ a
i
1
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
1
j
r
x
j
r
= b
i
1
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
1
l
x
l
a
i
2
j
1
x
j
1
+ a
i
2
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
2
j
r
x
j
r
= b
i
2
−
P
l /
∈{j
1
,j
2
,...j
r
}
a
i
2
l
x
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i
r
j
1
x
j
1
+ a
i
r
j
2
x
j
2
+ · · · + a
i
r
j
r
x
j
r
= b
i
r
−
P
a
i
l
x
l
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 2752 Nieznany
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 01 07 WIL Wyklad 14id 2751 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
1 232011 01 09 WIL Wyklad 17
więcej podobnych podstron