Wykład 17
Witold Obłoza
25 stycznia 2011
Wykład 17
Witold Obłoza
25 stycznia 2011
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.