Wykład 15
Witold Obłoza
16 stycznia 2011
Wykład 15
Witold Obłoza
16 stycznia 2011
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
W. Obłoza 2012/13
WIEiK 304/14
czw. 12.45 13.30
K 16.15 17.00
K pt 9.10 9.55
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i
2
= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i
2
= −1.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy
cz
,
eść rzeczywist
,
a Re z = a
cz
,
eść urojon
,
a Im z = b
sprz
,
eżenie z = a − bi
moduł |z| =
√
a
2
+ b
2
oraz arg z jako dowol
,
a liczb
,
e rzeczywist
,
a ϕ dla; której sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowoln
,
a liczb
,
e zespolon
,
a z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postaci
,
a trygonometryczn
,
a liczby zespolonej
z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnoż
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z
1
= |z
1
|(cosϕ
1
+ isin ϕ
1
) i z
2
= |z
2
|(cosϕ
2
+ isin ϕ
2
) wtedy
z
1
· z
2
= |z
1
|(cosϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · |z
2
|(cosϕ
2
+ i sin ϕ
2
) =
|z
1
||z
2
| (cosϕ
1
cosϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
+ i(cosϕ
1
sin ϕ
2
+ sinϕ
1
cos ϕ
2
)) =
|z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin (ϕ
1
+ ϕ
2
)).
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
egi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 189
Dziel
,
ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnosz
,
ac liczb
,
e zespolon
,
a w postaci trygonometrycznej do pot
,
egi n
podnosimy moduł do pot
,
egi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
|z|(cosϕ + i sin ϕ), s
,
a postaci ω
k
=
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
z
1
± z
2
= z
1
± z
2
z
1
· z
2
= z
1
· z
2
i jeśli z
2
6= 0 to
z
1
z
2
=
z
1
z
2
.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) =
2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) =
32i
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z
1
, z
2
∈ C wtedy
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|,
i jeśli z
2
6= 0 to
|
z
1
z
2
| =
|z
1
|
|z
2
|
.
PRZYKŁAD 194
Obliczyć (1 + i)
10
.
Niech z = 1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
π
4
.
z
10
=
√
2
10
(cos
10π
4
+ isin
10π
4
) = 2
5
(cos
π
2
+ isin
π
2
) = 32i
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKŁAD 195
Obliczyć
3
√
−1 + i.
Niech z = −1 + i wówczs |z| =
√
2 zaś Arg z =
3π
4
.
ω
1
=
6
√
2(cos
π
4
+ i · sin
π
4
)) =
6
√
2(
√
2
2
+ i
√
2
2
),
ω
2
=
6
√
2(cos (
π
4
+
2π
3
) + i · sin (
π
4
+
2π
3
)) =
6
√
2(cos
11π
12
+ i · sin
11π
12
),
ω
3
=
6
√
2(cos (
π
4
+
4π
3
) + i · sin (
π
4
+
4π
3
)) =
6
√
2(cos
19π
12
+ i · sin
19π
12
).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V b
,
ed
,
a dowolnymi zbioremi każd
,
a funkcj
,
e postaci
J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn
,
etrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórk
,
e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup
,
a przemienn
,
a, K ciałem,
· : K × V −→ V działaniem zewn
,
etrznym w V nazywamy przestrzeni
,
a
wektorow
,
a ( liniow
,
a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s
,
a warunki
1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,
2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),
3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKŁAD 198
Przestrzeń R
n
nad R.
W R
n
definiujemy dodawanie wzorem
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
λ · (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (λ · x
1
, λ · x
2
, . . . , λ · x
n
).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń C
n
nad C.
Przestrzeń C
n
nad R.
Przestrzeń R
n
nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V b
,
edzie przestrzeni
,
a wektorow
,
a nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni
,
a wektorow
,
a i (U, K, +
|U ×U
, ·
|K×U
),
gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni
,
a p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U ⊂ V jest podprzestrzeni
,
a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy
∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
b
,
ed
,
a wektorami, a λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
b
,
ed
,
a
skalarami wtedy wyrażenie λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
nazywamy kombinacj
,
a liniow
,
a wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
o
współczynnikach λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, ·) b
,
edzie p.w. i niech v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
∈ V. Przestrzeni
,
a
generowan
,
a przez v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywam podprzestrzeń liniow
,
a V
złożon
,
a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
∀λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
∈ K (λ
1
· v
1
+ λ
2
· v
2
+ λ
3
· v
3
+ · · · + λ
n
· v
n
=
O =⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= · · · = λ
n
= 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie s
,
a liniowo niezależne to mówimy, że s
,
a liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczaj
,
acym na to aby wektory
v
1
, v
2
, v
3
, . . . , v
n
były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj
,
a
liniow
,
a pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
s
,
a liniowo niezależne,
2)∀a ∈ V wektory e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
, a s
,
a liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi
,
edzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczb
,
e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
tworz
,
a baz
,
e p.w. V i
x = λ
1
· e
1
+ λ
2
· e
2
+ λ
3
· e
3
+ · · · + λ
n
· e
n
to λ
1
, λ
2
, λ
3
, . . . , λ
n
nazywamy współrz
,
ednymi wektora x w bazie e
1
, e
2
, e
3
, . . . , e
n
.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W b
,
ed
,
a p.w. nad ciał
,
em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni
,
a liniow
,
a.