WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW C15 sem. III WILIŚ
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW C15 sem. III WILIŚ
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
Zadanie 1. W płaskim stanie naprężenia dane są naprężenia główne:
σ
1
= 100 [MPa]
i
σ
2
= 20 [MPa]
Obliczyć naprężenia normalne
σ
φ
i styczne
τ
φ
w przekroju o normalnej nachylonej pod
kątem
φ
= 45 [º] do osi głównej (1) (rys. 1). Narysować koło Mohra dla naprężeń,
zinterpretować powyższy stan naprężenia jako punkt (M) na rysunku koła Mohra,
σ
2
2
σ
1
τ
φ
Obliczyć odkształcenia główne. Narysować koło Mohra dla odkształceń (w płaszczyźnie
wyznaczonej przez osie 1 i 2).
Dane są stałe materiałowe: E = 100 [GPa],
ν
= 0.2.
Rys. 1.
σ
τ
20
100
−40
ε
0.5γ
ε1 = 0.00096
ε
2
= 0
Rozwiązanie:
1
2
1
2
1
2
100 20
cos 2
60[
]
2
2
2
100 20
sin 2
40[
]
2
2
MPa
MPa
ϕ
ϕ
σ σ
σ σ
σ
ϕ
σ σ
τ
ϕ
+
−
+
=
+
=
=
−
−
= −
= −
= −
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
1
1
2
5
2
2
1
5
4
3
1
2
5
1
1
100 0.2 20
9.6 10 [ ]
10
1
1
20 0.2 100
0
10
0.2
100 20
2.4 10 [ ]
10
E
E
v
E
ε
σ νσ
ε
σ νσ
ε
σ σ
−
−
=
−
=
−
⋅
=
⋅
=
−
=
−
⋅
=
= −
+
= −
+
= −
⋅
−
−
1
σ
φ
M
60
Zadanie 2. Obliczyć siły w prętach i reakcje podporowe w układzie złożonym z
nieskończonej sztywnej belki i prętów kratowych (rys. 2)
A
1
2
A
2A
P
2l
2l
1.5l
l
l
φ
∆
l
1
∆
l
2
S
2
S
1
P
P
0.4P
0.2P
0.4P
A
Rys. 2
Rozwiązanie:
Stan przemieszczeń układu określony jest przez kąt obrotu belki
φ
(rys.)
1
1
1
2
2
2
2
1,5
4
S l
S l
l
l
EA
EA
S
l
l
l
EA
ϕ
ϕ
⋅
⋅
∆ = ⋅ =
+
⋅
∆ = ⋅ = −
⇒
1
2
4
3
8
3
S
EA
S
EA
ϕ
ϕ
⎧ =
⎪⎪
⎨
⎪ = −
⎪⎩
1
2
0
2
4
2
A
M
S
l
S
l
P
l
= ⇒
⋅ −
⋅ − ⋅ =
∑
0
stąd
4
16
3
3
3
20
P
EA
EA
P
EA
φ
φ
φ
+
=
⇒
=
4 p.
2 p.
1
2
0.2 ,
0.4
S
P
S
P
=
= −
8 p.
4 p.
4 p.
3 p.
4 4 4
Zadanie 3. Sporządzić wykres ekstremalnych naprężeń normalnych w belce poddanej
działaniu obciążenia
1
kN
q
m
=
(rys. 3). Ile wynosi maksymalna wartość bezwymiarowego
mnożnika obciążenia m, przy której nie zostaną przekroczone naprężenia dopuszczalne
200
dop
g
K
MPa
σ
≡
=
?
1
kN
m
8 4 8 [cm]
4
24
4
+
-
2.667 kN
5.333 kN
5.333 m
8 kN
x’
y’= y
x
12
16
18
2
Rys. 3
Rozwiązanie:
8 m
4 m
=
max
0.5 5.333 5.333
14.222
1422.22
x
M
M
kNm
kNcm
=
=
⋅
⋅
=
=
(
)
2
3
'
3
3
2
2
3
2
4
4 12 24 20
224
4 12 2 4 24 16 4 20 30 4032
18
12 4
4 24
12 4 16
4 24 2
12
12
20 4
20 4 12
28970.667
12
x
C
x
A
cm
S
c
y
cm
I
cm
=
+
+
=
= ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
m
=
+ ⋅ ⋅
+
+ ⋅
⋅ +
⋅
+
+
⋅ ⋅
=
( )
[
]
2
1422.22
,
0.04909
0.4909
28970.667
x
x
M
kN
x y
y
y
y
M
I
cm
σ
⎡
⎤
=
=
=
=
⎢
⎥
⎣
⎦
Pa
14
6.873
18
8.837
d
g
y
cm
MPa
y
cm
MPa
σ
σ
=
⇒
=
= −
⇒
= −
Przy obciążeniu
1
kN
q
m
=
ekstremalne naprężenia są równe
8.837
extr
MPa
σ
=
Przy obciążeniu m-krotnie większym ekstremalne naprężenia wynoszą
[
]
8.837
m
M
Pa
⋅
Warunek wytrzymałościowy:
[
]
[
]
8.837
200
22.633
g
m
MPa
K
MPa
m
⋅
≤
=
⇒
≤
Zadanie 4. Sporządzić wykres naprężeń normalnych w przekroju cienkościennym słupa
jak na rys. 4. Podać równanie osi obojętnej, obliczyć wartości naprężeń w czterech
wierzchołkach przekroju (linii środkowej).
60 kN
60 kN
1
4
2
3
18
x
y
12
1 cm
+
-
4.3076
4.3076
2
1
3
4
x
y
Rys. 4
Rozwiązanie:
[
]
[
]
3
3
2
4
2
1 18
2 12
2
2 12 2 9
4860
,
2
2 1 18 6
1872
12
12
18 60
1080
,
12 60
720
x
y
x
y
4
I
cm
I
cm
M
kNcm
M
kNcm
⋅
⋅
⎡
⎤
⎡
= ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅
=
= ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅
=
⎤
⎣
⎦
⎣
= − ⋅
= −
= − ⋅
= −
⎦
( )
1080
720
,
0.222
0.3846
4860
1872
y
x
x
y
M
M
x y
y
x
y
x
y
I
I
σ
−
−
=
+
=
+
= −
−
x
Oś obojętna:
( )
1.731
6
10.38
y
x
y
= −
= −
cm
(
)
( )
(
)
(
)
1
2
2
3
4
6,9
0.3076
6,9
4.3076
6, 9
0.3076
6, 9
4.3076
kN
cm
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
=
−
=
⎫
⎪
=
= −
⎪ ⎡
⎤
⎬ ⎢
⎥
=
−
= −
⎣
⎦
⎪
⎪
=
− −
=
⎭
naprężenia normalne,
2
kN
cm
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
2 cm