Matematyka A, kolokwium, 24 listopada 2010, 18:05 – 19:55
Rozwiazania różnych zada´
n maja znaleźć sie na różnych kartkach, bo sprawdzać je beda różne osoby.
,
,
,
,
,
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem piszacego,
,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ćwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia.
,
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n elek-
,
tronicznych; jeśli ktoś ma, musza by´
c schowane i wy laczone! Nie dotyczy rozruszników
,
,
serca.
Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia, które
,
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.
Należy przeczytać CAÃLE zadanie PRZED rozpoczeciem rozwiazywania go!
,
,
1. (10 pt.) Obliczyć pochodne nastepujacych funkcji:
,
,
q
a. (3 pt.) ln tg(3 x) ,
b. (4 pt.)
1+cos x
c. (3 pt). y = x( x 2) .
1 − cos x
2. (4 pt.) Znaleźć równanie prostej L , która jest styczna do wykresu funkcji x 3 − 3 x 2 + 2 x w punkcie (1 , 0) .
(1 pt.) Jaki warunek spe lniaja liczby k, m ∈ R , jeśli wektory [1 , k] i [1 , m] sa prostopad le?
,
,
(5 pt.) Na wykresie funkcji x 3 − 3 x 2 + 2 x znaleźć punkt ( x 0 , y 0) , w którym styczna jest prostopad la do prostej L .
3. (3 pt.) Sformu lować twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej.
(1 pt.) Niech f ( x) = sin x − cos x . Obliczyć f (0) i f ( π ) .
3
(6 pt.) Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x 1 , x 2 ∈ 0 , π zachodzi nierówność 2
|f ( x 1) − f( x 2) | ≥ |x 1 − x 2 | .
4. (3 pt.) Podać definicje pochodnej funkcji f w punkcie p .
,
√
(7 pt.) Obliczyć pochodna f 0(1) , jeśli f ( x) = ( x − 1) · tg πx · log
,
4
10( x 3 + 2 x 2 + 3 x + 94) .
q
q
q
5. (8 pt.) Znaleźć granice lim 4 x 3 − 2 x + 4 x 4 + 1 + x 2 ·
x 2 + 12 −
x 2 − 1 .
, x→∞
q
q
(2 pt.) Czy istnieje taka liczba a ∈ R , że jeśli x > a , to x 2 + 12 −
x 2 − 1 > sin π ?
3
Ciekawostki (któż wie, co sie może przydać): sin(3 x 2) 0 = 6 x cos(3 x 2) , ln(cos x) 0 = − tg x .
,