"!#
&')(*%*,+
%$
Na rozwiazanie wszystkich zada´
n jest 90 minut
-
Rozwiazania r´
ożnych zada´
n maja znaleźć sie na r´
ożnych kartkach.
-
-
-
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-szacego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia i nr. grupy ćwiczeniowej.
-
-
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n
-
elektronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza by´
c schowane i wy laczone!
-
-
Nie wolno korzysta´
c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia,
-
które zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.
1. Rozwiazać równanie:
1 log( x + 11) + log( 5 x− 10) = 1 .
-
2
6
2. Zdefiniować log c nie zapominajac o za lożeniach o c i d .
Niech a = log
d
-
1000 2 ,
b = log10 14 . Wyrazić za pomoca a i b : log
log 3 .
-
10 5 i log10 35 . Wykazać, że log 2 < 12
19
3. Rozwiazać równanie:
2 log
) = − 1 . Zilustrować rozwiazanie tego równania na
-
3 sin( ϕ − π
4
-
okregu x 2 + y 2 = 1 .
-
4. Podać definicje kosinusa dowolnego kata dodatniego. Rozwiazać nierówność: cos t ≥ − 1 .
-
-
-
2
Zilustrować rozwiazanie tej nierówności na okregu x 2 + y 2 = 1 .
-
-
5. Rozwiazać równanie: sin 2 ψ = cos 2 ψ . Zilustrować rozwiazanie tego równania na okregu
-
-
-
x 2 + y 2 = 1 .
6. Znaleźć nastepujace granice:
-
-
lim 15+7 n− 1410 n 2 ,
lim 966 n− 1025 n 2 ,
lim 0 , 99 + 1 n .
n 13
n
n
4 n 2
→∞
− 11 n+2005
n→∞
− 3 n+3
n→∞
W każdym z trzech przypadków odpowiedzieć na pytanie: czy setny wyraz badanego ciagu
-
jest wiekszy, równy czy mniejszy niż 1? a wyraz dwusetny?
-
7. Znaleźć kosinus kata nierozwartego utworzonego przez proste o równaniach 7 x + y = 16
-
i 4 x − 3 y = 2 . Narysować te proste w uk ladzie wspó lrzednych kartezjańskich. Niech
-
A = (2 , 2) , B = (8 , 3) i D = (6 , − 1) . Znaleźć taki punkt C , by czworokat ABCD
-
by l równoleg lobokiem. Znaleźć pole równoleg loboku ABCD i jego środek symetrii.
8. Znaleźć kosinus kata nierozwartego, który tworza p laszczyzny o równaniach y + z = 0 i
-
-
2 x + 2 y + z = 0 . Znaleźć iloczyn wektorowy wektorów ~v = [0 , 1 , 1] i ~
w = [2 , 2 , 1] oraz kat
-
jaki tworzy wektor ~v × ~
w z prosta wspólna obu p laszczyzn. Niech ~u = [1 , − 1 , 1] . Obliczyć
-
-
~
u · ( ~
v × ~
w) .
inf. Informacje przer´
ożne (przydatne albo i nie):
√
sin 5 π = 1 ;
sin 5 π = − 2 ;
1 + x ≤ ex dla x ∈
;
sin x < x < tg x , gdy π > x > 0 .
6
2
4
2
.
2
27 = 128 , 29 = 1024 , 212 = 4096 , 220 = 1048576 , 34 = 81 , 38 = 6561 , 313 = 1594323 .