AL1 (Inżynieria Biomedyczna)
Z
7−8
1. Wyprowadzić wzory, zakładając, że mają sens liczbowy
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
, (arctg x)
0
=
1
1 + x
2
2. Obliczyć na podstawie definicji f
0
(1), jeśli f (x) =
2x − 1
x + 3
.
3. Obliczyć – zakładając, że istnieje – pochodną funkcji: f (x) =
s
cos 2x
(1 + sin 2x)
2
+ 3
,
f (x) = e
sin
3
x
2
, f (x) = arcsin
1
2x
, f (x) =
3
√
x
4
+ 12 · ln(e
sin x
+ 1) · tg x, f (x) = x
ln x
,
f (x) = log
(x
2
+1)
cos x.
4. Obliczyć, jeśli istnieje, f
00
(0) dla f (x) =
x
k
· sin
1
x
, x 6= 0
0
, x = 0
, k = 3, 4 .
5. Wyprowadzić wzór na n – tą pochodną, n ∈ N, funkcji: f (x) = sin x, f (x) = x · e
x
.
6. Obliczyć granice funkcji
(a) lim
x→0
+
x · ln x
(b) lim
x→2
+
(x − 2)
2
x + 1
· ln(x − 2)
(c) lim
x→0
+
3
x
+ 5
x
2
1/x
(d) lim
x→3
3x + 1
2x + 4
2/(3−x)
(e)
lim
x→+∞
(π − 2arctg x) · ln x
(f) lim
x→0
(2 + x)
x
− x · ln 2 − 1
x
2
(g) lim
x→0
(tg x)
x
2
−x
7. Wykazać, że jeżeli w pewnym przedziale (a ; b) funkcja f ma własność f
0
(x) = f (x), to
istnieje stała A ∈ R taka, że f (x) = A · e
x
dla każdego x ∈ (a ; b). (wsk.rozważyć funkcję
g(x) = f (x) · e
−x
).
8. Wykazać, że arctg x + arctg (1/x) =
π
2
dla każdego x > 0.
9. Wykazać prawdziwość nierówności
(a) x −
x
2
2
< ln(1 + x) < x , dla x > 0
