AL1 (Inżynieria Biomedyczna)
Z
4
1. Rozwiązać układ równań jednorodnych. W przykładach (a) i (b) podać układ fundamen-
talny rozwiązań.
(a)
x
+ 2y + 3z
+
w
= 0
x
+ 4y + 5z
+ 2w = 0
2x + 9y + 8z
+ 3w = 0
x
− 2y −
z
−
w
= 0
5x + 7y + 9z
+ 2w = 0
(b)
3x
+ 4y − 5z
+ 7w = 0
2x
− 3y + 3z − 2w = 0
−2x + 3y − 3z − 8w = 0
(c)
x
+
y
− 3z = 0
2x +
y
− 2z = 0
x
+
y
+
z
= 0
x
+ 2y − 3z = 0
2. Wyznaczyć, jeśli istnieje, rozwiązanie układu równań
(a)
3x − 2y + 5z + 4w = 2
6x − 4y + 4z + 3w = 3
3x − 2y −
z
= 1
(b)
x
+ 3y
−
w
= 1
3x − 5y + 2z
+ 4w = 2
5x + 7y − 4z − 6w = 1
(c)
5x − 3y + 2z
+
4w
= 3
4x − 2y + 3z
+
7w
= 1
8x − 6y −
z
−
5w
= 9
7x − 3y + 7z
+ 17z = 0
(d)
2x − y + 3z = 3
5x
− 2z = 0
4x − y +
z
= 3
7x − y +
z
= 3
3. Wykazać, że
(a) arcsin x + arccos x =
π
2
dla każdego x ∈ h−1 ; 1i;
(b) arctg x + arcctg x =
π
2
dla każdego x ∈ R.
Podać interpretację geometryczną tych równości.
