WYKŁAD 2
Wielomiany
Definicja 1. Funkcję f : C → C określoną wzorem
w(x)
df
= a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ · · · + a
1
x + a
0
, gdzie a
0
, . . . , a
n
6= 0 ∈ K
nazywamy
wielomianem stopnia n
, n ∈ N ∪ {0}, o
współczynnikach ze zbioru K (K = R lub K = C).
n -
stopień wielomianu
- oznaczamy przez st(w).
R[x], C[x]
ozn
= zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, odp.zespolonych.
Definicja 2. Wielomian w(x) jest
nierozkładalny
, jeśli nie da się przedstawić w postaci:
w(x) = w
1
(x) · w
2
(x), gdzie st(w
1
), st(w
2
) > 0.
Uwaga 1. Wielomianami nierozkładalnymi w R[x] sa wielomiany stopnia pierwszego i te wie-
lomiany stopnia drugiego, dla których ∆ < 0.
Definicja 3.
Pierwiastek
wielomianu w(x) jest to taka liczba zespolona x
o
, że w(x
o
) = 0.
Twierdzenie 1. (Bezou’a) Liczba zespolona z
o
jest pierwiastkiem wielomianu w(x) ⇔ wielo-
mian w(x) jest podzielny przez (x − z
o
)
(tzn. w(x) = (x − z
o
) · w
1
(x), gdzie st(w
1
) = st(w) − 1).
Twierdzenie 2. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia n, n 1, o
współczynnikach zespolonych, ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek 1. Każdy wielomian stopnia n, n 1, o współczynnikach zespolonych ma dokładnie
n pierwiastków (niekoniecznie różnych).
Wniosek 2. Jeśli w(x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ · · · + a
1
x + a
0
i x
1
, x
2
, . . . , x
n
są pierwiastkami tego
wielomianu, to
w(x) = a
n
(x − x
1
) · (x − x
2
) · . . . · (x − x
n
)
Wniosek 3. Wielomianami nierozkładalnymi w C[x] są tylko wielomiany pierwszego stopnia.
Macierze
Definicja 4.
Macierz
(liczbowa) wymiaru ”m na n” jest to tablica prostokątna postaci
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . . a
mn
df
=[a
ij
]
m,n
gdzie wszystkie a
ij
∈ K , (K = R lub K = C);
wiersze macierzy
- rzędy poziome,
kolumny macierzy
- rzędy pionowe .
1
• macierz zerowa
Macierz A = [a
ij
]
m,n
jest
zerowa
, jeśli a
ij
= 0 dla wszystkich i,j.
• macierz kwadratowa
Macierz A = [a
ij
]
m,n
jest
kwadratowa
, jeśli m = n. Wspólny wymiar nazywamy
stopniem
tej macierzy.
• macierz jednostkowa
Macierz kwadratowa E
n
= [e
ij
]
n
jest
jednostkowa
, jeśli e
ij
= 1 gdy i = j oraz e
ij
= 0 gdy
i 6= j.
Definicja 5. Macierze A = [a
ij
]
m,n
i B = [b
ij
]
k,l
są
równe
, jeśli m = k, n = l oraz a
ij
= b
ij
dla
wszystkich i, j.
Działania na macierzach
• mnożenie przez liczby rzeczywiste
α · A = α · [a
ij
]
m,n
df
=[α · a
ij
]
m,n
;
• dodawanie macierzy
jeśli A = [a
ij
]
m,n
i B = [b
ij
]
m,n
, to
A + B
df
=[a
ij
+ b
ij
]
m,n
;
• mnożenie macierzy
jeśli A = [a
ij
]
m,n
i B = [b
ij
]
n,r
to A · B
df
=[c
ij
]
m,r
, gdzie
c
ij
df
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ · · · + a
in
b
nj
Własności działań
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A · (B + C) = A · B + A · C
4. A · E
n
= E
n
· A = A, jeśli A jest m. kwadratową stopnia n
5. (A · B) · C = A · (B · C)
Przy założeniu, ze odpowiednie działania są wykonalne.
2
Macierz transponowana
Definicja 6.
Macierzą transponowaną
macierzy A = [a
ij
]
m,n
jest macierz
A
T
= [a
∗
ij
]
n,m
, gdzie a
∗
ij
df
= a
ji
.
Uwaga 2.
1. (A
T
)
T
= A
2. (A + B)
T
= A
T
+ B
T
3. (A · B)
T
= B
T
· A
T
Wyznaczniki
Wyznacznikiem
macierzy kwadratowej stopnia n
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
jest liczba rzeczywista oznaczana
przez:
det A , |A| lub
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
Dla n = 1 i A = [a
11
] : det A
df
= a
11
;
dla n = 2 i A =
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
: det A
df
= a
11
a
22
− a
12
a
21
;
dla n = 3 i A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
:
det A
df
= a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
− a
13
a
22
a
31
− a
23
a
32
a
11
− a
33
a
12
a
21
.
Własności wyznaczników (sformułowane dla wierszy)
• przestawienie dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika;
• jeżeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy, to wyznacznik jest równy 0;
• jeżeli dwa wiersze są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0;
• jeżeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik można
wyłączyć przed wyznacznik;
3
• jeżeli do wiersza dodamy kombinację liniową innych wierszy, to wartość wyznacznika nie
zmieni się;
• jeżeli wszystkie elementy pod główną przekątną są równe 0, to wartość wyznacznika jest
równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej.
Definicja 7.
Dopełnieniem algebraicznym
elementu a
ij
, gdzie 1 ¬ i ¬ n i 1 ¬ j ¬ n nazywamy
wartość
A
ij
df
=(−1)
i+j
· M
ij
,
gdzie M
ij
oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie i – tego
wiersza i j – tej kolumny.
Twierdzenie 3. Dla każdego n 2 i dowolnych 1 ¬ i ¬ n oraz 1 ¬ j ¬ n prawdziwe są wzory:
det A = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ · · · + a
in
A
in
,
det A = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ · · · + a
nj
A
nj
.
4