1
Wykład 4
Tw.Kroneckera-Capellego
Dla układu (∗∗)
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
. . .
+a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
. . .
+a
2n
x
n
=
b
2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . +a
mn
x
n
= b
m
macierzą rozszerzoną
nazywamy macierz [A, B].
Twierdzenie 1. (Kroneckera-Capellego)
1. Układ (∗∗) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R([A, B]);
2. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = n, to układ (∗∗) ma dokładnie jedno rozwiązanie;
3. Jeżeli R(A) = R([A, B]) = k < n, to układ (∗∗) ma nieskończenie wiele rozwiązań
zależnych od n − k parametrów.
Podstawowe własności funkcji
X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y . x -
argument funkcji f
(zmienna niezależna); y = f (x)
wartość funkcji f
(zmienna
zależna).
X
df
= D
f
-
dziedzina funkcji f
;
R
f
df
={y ∈ Y : y = f (x) dla pewnego x ∈ D
f
} -
przeciwdziedzina funkcji f
.
Jeśli D
f
⊂ R, R
f
⊂ R, to f - funkcja
liczbowa
.
Definicja 1. Funkcje f
1
, f
2
są
równe
, jeśli 1) D
f
1
= D
f
2
; 2) ∀x ∈ D
f
1
[f
1
(x) = f
2
(x)].
Definicja 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X. Funkcja f jest
różnowartościowa
na zbiorze A, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
6= x
2
⇒ f (x
1
) 6= f (x
2
)] ≡ ∀x
1
, x
2
∈ A [f (x
1
) = f (x
2
) ⇒ x
1
= x
2
]
Definicja 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z. Funkcja
złożona
(
superpozycja
) funkcji f (f.
we-
wnętrzna
) i g (f.
zewnętrzna
)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X[h(x)
df
= g(f (x)).
h
ozn
= g ◦ f .
Jeśli f : X → Y taka, że R
f
= Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję
g : Y → X wzorem
∀x ∈ X, y ∈ Y [g(y) = x
df
⇔ f (x) = y]
Funkcja g
ozn
= f
−1
- funkcja
odwrotna
do funkcji f .
2
Uwaga 1. f ◦ f
−1
= id
Y
, f
−1
◦ f = id
X
.
Definicja 4. Funkcja f : X → Y jest
parzysta
, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = f (x)];
Funkcja f : X → Y jest
nieparzysta
, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)].
Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn
funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą.
Definicja 5. Funkcja f : X → Y jest
rosnąca
(odp.
niemalejąca
) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) < f (x
2
)]
(odp. ∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) ¬ f (x
2
)] )
Definicja 6. Funkcja f : X → Y jest
malejąca
(odp.
nierosnąca
) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) > f (x
2
)]
(odp. ∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) f (x
2
)] )
Definicja 7. Funkcja f jest
monotoniczna
(odp.
ściśle monotoniczna
) na zbiorze A, jeśli jest
na tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x
0
− δ; x
0
+ δ).
Definicja 8. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne
(odp.
minimum lokalne
), jeżeli
∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) ¬ f (x
0
)] (odp. ∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) f (x
0
)])
Funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne
, jeśli ma w tym punkcie minimum lub
maksimum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to
ekstremum jest
właściwe
.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
Funkcja x = sin y na przedziale h−
π
2
;
π
2
i ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościo-
wa. Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna
arkus sinus
(arcsin):
y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ h−
π
2
;
π
2
i
Funkcja x = cos y na przedziale h0 ; πi ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa.
Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna
arkus kosinus
(arccos):
y = arccos x ⇔ x = cos y i y ∈ h0 ; πi
Funkcja x = tg y na przedziale (−
π
2
;
π
2
) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa.
Na zbiorze R określona jest funkcja odwrotna
arkus tangens
(arctg ):
y = arctg x ⇔ x = tg y i y ∈ (−
π
2
;
π
2
)
3
y = sin x
y = arcsin x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
X
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Y
y = cos x
y = arccos x
-1
1
2
X
-1
1
2
Y
y = arctg x
y = tg x
-4
-2
2
4
X
-6
-4
-2
2
4
Y
y = ctg x
y = arcctg x
-4
-2
2
4
X
-6
-4
-2
2
4
Y
Funkcja x = ctg y na przedziale (0 ; π) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na
zbiorze R określona jest funkcja odwrotna
arkus kotangens
(arcctg ):
y = arcctg x ⇔ x = ctg y i y ∈ (0 ; π)
Uwaga 3. Dla każdego x ∈ h−1 ; 1i:
1. sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x
2. sin(arccos x) = cos(arcsin x) =
√
1 − x
2