1
Wykład szósty
Tw 1. ( działaniach arytmetycznych na granicach). Jeżeli funkcje f
1
,f
2
są określone
na pewnym sąsiedztwie punktu x
0
oraz lim
x→x
0
f
1
(x) = g
1
i lim
x→x
0
f
2
(x) = g
2
, to
1. lim
x→x
0
(f
1
(x) + f
2
(x) = g
1
+ g
2
,
2. lim
x→x
0
(f
1
(x) − f
2
(x) = g
1
− g
2
,
3. lim
x→x
0
f
1
(x) · f
2
(x) = g
1
· g
2
,
4. lim
x→x
0
f
1
(x)
f
2
(x)
=
g
1
g
2
, jeśli g
2
6= 0.
Tw 2. (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = g, f (x) 6= g dla x 6= x
0
oraz
lim
y→g
h(y) = p, to lim
x→x
0
h(f (x)) = p.
Ważne granice. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a (lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1).
y = sinx/x dla x ¹ 0
y = 1 dla x = 0
-15
-10
-5
5
10
X
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Y
Granice niewłaściwe
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie S = (x
0
− δ ; x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+ δ).
Def. 1. Funkcja f posiada w punkcie x
0
granicę niewłaściwą
+∞ (odp.−∞) (ozn. lim
x→x
0
f (x) =
+∞, odp. lim
x→x
0
f (x) = −∞), jeśli
2
∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → +∞)]
odp.∀(x
n
) ⊂ S [(x
n
→ x
0
) ⇒ (f (x
n
) → −∞)]
Granice w nieskończoności
Def. 2. Funkcja f posiada w +∞ granicę g, jeśli
∀(x
n
) ⊂ D
f
[(x
n
→ +∞) ⇒ (f (x
n
) → g)]. (ozn. lim
x→+∞
f (x) = g)
Podobnie definiuje się granice w −∞ (właściwe i niewłaściwe).
Uwaga 1. Twierdzenia (1)–(3) pozostają prawdziwe dla granic w nieskończoności.
Ważne granice. lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= e, lim
x→+∞
1 −
1
x
x
=
1
e
.
Symbole nieoznaczone
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞ , 0 · ∞ , 0
0
, ∞
0
, 1
∞
Ciągłość funkcji
Zał. Funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Def. 3. Funkcja f jest
ciągła w punkcie
x
0
, jeśli lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
Uwaga 2. Suma (f + g), różnica (f − g), iloczyn (f · g) oraz iloraz
f
g
, gdy g(x
0
) 6= 0
!
funkcji ciągłych w punkcie x
0
jest funkcją ciągłą w punkcie x
0
.
Def. 4. Funkcja f jest
ciągła w zbiorze
A ⊂ R, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Uwaga 3. Wielomiany, f. wymierne, f. trygonometryczne, f. wykładnicze, f. logarytmiczne,
f. hiperboliczne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.
Punkt x
0
∈ D
f
, w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy
punktem nieciągłości
tej funk-
cji. Jeżeli punkt x
0
jest punktem nieciągłości funkcji f i jest ona ciągła na pewnym jego
sąsiedztwie, to nazywamy go
odosobnionym punktem nieciągłości
funkcji f .
Def. 5. Odosobniony punkt nieciągłości x
0
funkcji f jest punktem nieciągłości
I rodzaju
, jeśli
istnieją granice jednostronne lim
x→x
−
0
f (x), lim
x→x
+
0
f (x) i są skończone. W przeciwnym wypadku
punkt x
0
jest punktem nieciągłości
II rodzaju
.
Uwaga 4. Jeżeli funkcja f jest nieciągła w punkcie x
0
i istnieje lim
x→x
0
f (x), to można tę
nieciągłość usunąć.
3
0.5
1.0
1.5
X
1
2
3
Y
-2
-1
1
X
-4
-2
2
4
Y
Pochodna funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x
0
; ∆x 6= 0 – przyrost argu-
mentu x taki, że x
0
+ ∆x ∈ O.
Ułamek:
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy
ilorazem różnicowym
.
Def. 6. Liczbę lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy
pochodną funkcji f w punkcie
x
0
i ozna-
czamy przez f
0
(x
0
).
Pochodne jednostronne (obliczane przy pomocy odpowiednich granic jednostronnych) funkcji
f oznaczamy przez: f
0
(x
−
0
) , f
0
(x
+
0
).
Funkcję f
0
nazywamy
pochodną funkcji
f .
Interpretacja geometryczna pochodnej
Równanie siecznej wykresu f przechodzącej przez punkty (x
0
, f (x
0
)), (x
0
+ ∆x, f (x
0
+ ∆x))
ma postać: y − f (x
0
) =
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
· (x − x
0
).
Granicznym położeniem tej siecznej (∆x → 0) jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)). Jeśli f
0
(x
0
) istnieje, to równanie tej stycznej: y − f (x
0
) = f
0
(x
0
) · (x − x
0
).
4
Α
Hx
0
, f
Hx
0
LL
Hx
0
+ Dx, f
Hx
0
+ Dx
LL
Α
Dx
y = f
HxL
sieczna
styczna
-1
1
2
3
4
X
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Y
Obliczanie pochodnych
Tw 3. (o działaniach arytmetycznych na pochodnych)Jeżeli funkcje f i g posiadają
pochodne f
0
, g
0
, to prawdziwe są wzory
1. (α · f )
0
= α · f
0
dla każdej liczby rzeczywistej α
2. (f + g)
0
= f
0
+ g
0
3. (f − g)
0
= f
0
− g
0
4. (f · g)
0
= f
0
· g + f · g
0
5.
f
g
!
0
=
f
0
· g − g
0
· f
g
2
, g 6= 0
Pochodne funkcji elementarnych
1. (c)
0
= 0
c – funkcja stała
2. (x
n
)
0
= nx
n−1
, n ∈ N
3. (sin x)
0
= cos x
4. (cos x)
0
= − sin x
5. (tg x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x
6. (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
7. (a
x
)
0
= a
x
· ln a ; (e
x
)
0
= e
x