Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

∗

Agata Pilitowska

2007

1

Całka podwójna.

1.1

Całka podwójna w prostoka,cie

Niech f be,dzie funkcja, dwóch zmiennych określona, i ograniczona, w prostoka,cie

domknie,tym P = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}. Podzielmy

prostoka,t P na n dowolnych prostoka,tów domknie,tych P

k

, k = 1, 2, . . . , n, o

rozła,cznych wne,trzach, których długości przeka,tnych sa, odpowiednio równe

d

k

a pola ∆P

k

. Podział ten oznaczmy symbolem ∆

n

.

Liczbe, δ

n

:= max d

k

nazwiemy średnica, podziału ∆

n

.

Cia,g podziałów (∆

n

) nazywamy cia,giem normalnym podziałów, jeżeli

odpowiadaja,cy mu cia,g średnic (δ

n

) da,ży do zera.

Dla danego podziału ∆

n

z wne,trza każdego prostoka,ta P

k

wybieramy

dowolnie punkt p

k

= (x

k

, y

k

). Sume,

S

n

:=

n

X

k=1

f (p

k

)∆P

k

nazywamy suma, całkowa, funkcji f w prostoka,cie P.

(Dla danego podziału ∆

n

, wybieraja,c na dwa różne sposoby punkty p

k

∈ P

k

możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.)

Definicja 1.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia,gu podziałów prostoka,ta

P , każdy (niezależnie od wyboru punktów p

k

) cia,g sum całkowych (S

n

) jest

zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice, te, nazywamy całka,

∗

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.II

1

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

2

podwójna, funkcji f w prostoka,cie P i oznaczamy symbolem

R R

P

f (x, y)dσ.

Zatem

Z Z

P

f (x, y)dσ

df

= lim

δ

n

→0

n

X

k=1

f (p

k

)∆P

k

.

Definicja 1.2. Jeżeli całka

R R

P

f (x, y)dσ istnieje, to mówimy, że funkcja f

jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostoka,cie P.

Istnienie całki

R R

P

f (x, y)dσ zapewnia, że każde dwie sumy całkowe różnia,

sie, dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one

utworzone, sa, dostatecznie małe.

Warunek, by pola ∆P

k

prostoka,tów P

k

da,żyły do zera jest niewystarczaja,cy

by średnice d

k

da,żyły do zera. Jeśli natomiast średnice prostoka,tów P

k

da,ża,

do zera, to ich pola również.

Przykład 1.3. Niech funkcja f (x, y) = 1 be,dzie określona w prostoka,cie P.

Dla dowolnego podziału ∆

n

suma całkowa

S

n

=

n

X

k=1

∆P

k

=| P | .

Zatem całka podwójna

R R

P

1dσ równa jest polu prostoka,ta P.

2

Przykład 1.4. Niech funkcja f (x, y) = c > 0 be,dzie określona w prostoka,cie

P . Dla dowolnego podziału ∆

n

S

n

=

n

X

k=1

c∆P

k

= c | P | .

Zatem całka podwójna

R R

P

cdσ równa jest obje,tości prostopadłościanu o polu

podstawy | P | i wysokości c.

2

Przykład 1.5. Niech funkcja f (x, y) ­ 0 be,dzie cia,gła w prostoka,cie P.

Dla dowolnego podziału ∆

n

suma całkowa S

n

równa jest sumie obje,tości

prostopadłościanów o polach podstawy ∆P

k

i wysokościach f (p

k

), dla k =

1, 2, . . . , n. Zatem całka podwójna

R R

P

f (x, y)dσ równa jest obje,tości bryły

ograniczonej płaszczyznami z = 0, x = a, x = b, y = c, y = d oraz
powierzchnia, o równaniu z = f(x, y).

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

3

Przykład 1.6. Jeżeli funkcja f jest ge,stościa, powierzchniowa, masy prostoka,ta

P , to całka podwójna

R R

P

f (x, y)dσ wyraża mase, tego prostoka,ta.

2

Przykład 1.7. Jeżeli funkcja f jest ge,stościa, powierzchniowa, ładunku elekt-

rycznego, rozłożonego na prostoka,cie P, to całka podwójna

R R

P

f (x, y)dσ

wyraża całkowity ładunek elektryczny tego prostoka,ta.

2

Twierdzenie 1.8. Funkcja cia,gła w prostoka,cie domknie,tym jest w tym

prostoka,cie całkowalna.
Twierdzenie 1.9. Funkcja ograniczona w prostoka,cie domknie,tym oraz cia,gła

w tym prostoka,cie z wyja,tkiem zbioru punktów tego prostoka,ta, którego pole

jest równe zero, jest w tym prostoka,cie całkowalna.

W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia,głości funkcji f może być

suma, skończonej liczby krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y), gdzie funkcje

y(x) oraz x(y) sa, cia,głe w pewnych przedziałach.

Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna.

Twierdzenie 1.10. (O liniowości całki.)
Jeżeli dwie funkcje f i g określone w prostoka,cie P sa, całkowalne, to ich

suma f + g, różnica f − g oraz iloczyn f g sa, całkowalne. Przy czym dla

a, b ∈ R

Z Z

P

(af (x, y) ± bg(x, y))dσ = a

Z Z

P

f (x, y)dσ ± b

Z Z

P

g(x, y)dσ.

Ponadto, jeśli dla każdego (x, y) ∈ P , f (x, y) ¬ g(x, y), to

Z Z

P

f (x, y)dσ ¬

Z Z

P

g(x, y)dσ.

Twierdzenie 1.11. ( O addytywności całki wzgle,dem obszaru całkowania.)

Jeżeli prostoka,t P podzielimy na dwa prostoka,ty P

1

i P

2

, zaś f (x, y) jest

funkcja, całkowalna, w prostoka,cie P, to jest także całkowalna w prostoka,tach

P

2

i P

2

, przy czym

Z Z

P

f (x, y)σ =

Z Z

P

1

f (x, y)dσ +

Z Z

P

2

f (x, y)dσ.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

4

Twierdzenie 1.12. Jeżeli funkcja f jest cia,gła w prostoka,cie P oraz

M := sup

(x,y)∈P

f (x, y) i m := inf

(x,y)∈P

f (x, y), to

m | P |¬

Z Z

P

f (x, y)dσ ¬ M | P | .

Twierdzenie 1.13. (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.)
Jeżeli funkcja f jest cia,gła w prostoka,cie P, to istnieje taki punkt c ∈ P, że

Z Z

P

f (x, y)dσ = f (c) | P | .

Liczbe,

R R

P

f (x,y)dσ

|P |

nazywamy wartościa, średnia, funkcji f(x, y) w prostoka,cie

P .

Symbol dσ be,dziemy cze,sto zaste,pować oznaczeniem dxdy.

1.2

Całki iterowane.

Niech f be,dzie funkcja, określona, i ograniczona, w prostoka,cie domknie,tym

P = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} i niech dla każdego a ¬

x ¬ b istnieje całka pojedyncza

d

R

c

f (x, y)dy. Jest ona wtedy funkcja, zmiennej

x, określona, w przedziale a ¬ x ¬ b. Jeżeli funkcja ta jest całkowalna w

przedziale [a, b], to całke,

b

Z

a

(

d

Z

c

f (x, y)dy)dx

(1.1)

nazywamy całka, iterowana, funkcji f i oznaczamy

b

R

a

dx

d

R

c

f (x, y)dy.

Analogicznie określamy całke, iterowana,

d

Z

c

(

b

Z

a

f (x, y)dx)dy,

(1.2)

która, oznaczymy

d

R

c

dy

b

R

a

f (x, y)dx.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

5

Przykład 1.14.

3

Z

−2

dx

1

Z

0

(1 − xy

2

)dy =

3

Z

−2

(1 −

1
3

x)dx = x −

1
6

x

2

|

3

−2

=

25

6

,

1

Z

0

dy

3

Z

−2

(1 − xy

2

)dx =

1

Z

0

(5 −

5
2

y

2

)dy = 5y −

5
6

y

3

|

1

0

=

25

6

.

2

W przykładzie 1.14 całki iterowane

b

R

a

dx

d

R

c

f (x, y)dy oraz

d

R

c

dy

b

R

a

f (x, y)dx

sa, równe. Nie jest to przypadek. Prawdziwe jest bowiem naste,puja,ce twierdzenie.
Twierdzenie 1.15. (O zamianie całki podwójnej na całke, iterowana,.)

Jeżeli funkcja f jest cia,gła w prostoka,cie P = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬

b, c ¬ y ¬ d}, to obie całki iterowane (1.1) i (1.2) istnieja, i sa, równe całce

podwójnej. Zatem

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy =

Z Z

P

f (x, y)dxdy,

oraz

d

Z

c

dy

b

Z

a

f (x, y)dx =

Z Z

P

f (x, y)dxdy.

(W tym przypadku wartość całki iterowanej nie zależy od kolejności całkowania.)

Przykład 1.16. Całka podwójna funkcji f (x, y) = x

2

y w prostoka,cie

P = {(x, y) ∈ R

2

| 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 1} jest równa :

Z Z

P

x

2

ydxdy =

1

Z

0

(

2

Z

0

x

2

ydx)dy =

1

Z

0

y(

2

Z

0

x

2

dx)dy =

=

1

Z

0

y(

1
3

x

3

) |

2

0

dy =

1

Z

0

y

8
3

dy =

8
3

·

1
2

y

2

|

1

0

=

4
3

.

Analogicznie

2

Z

0

dx

1

Z

0

xy

2

dy =

4
3

.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

6

Przykład 1.17. Zgodnie z przykładem (1.5) obje,tość bryły V ograniczonej

płaszczyznami z = 0, x = 1, x = 2, y = 1, y = 3 oraz powierzchnia, z = x

2

+y

2

wyraża sie, naste,puja,co:

| V |=

Z Z

P

(x

2

+ y

2

)dxdy =

3

Z

1

(

2

Z

1

(x

2

+ y

2

)dx)dy =

40

3

.

2

1.3

Całka podwójna w obszarze normalnym.

Niech f be,dzie funkcja, określona, i ograniczona, w obszarze ograniczonym D ⊆

R

2

oraz niech P = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} be,dzie dowolnym

prostoka,tem domknie,tym zawieraja,cym obszar D. Rozważmy funkcje, f

∗

ok-

reślona, w prostoka,cie P naste,puja,co:

f

∗

(x, y) :=







f (x, y), gdy (x, y) ∈ D
0,

gdy (x, y) ∈ P \ D.

Całke, podwójna, funkcji f w obszarze D określamy w naste,puja,cy sposób:

Z Z

D

f (x, y)dσ

df

=

Z Z

P

f

∗

(x, y)dσ,

(1.3)

o ile całka

R R

P

f

∗

(x, y)dσ istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna

w obszarze D. Całka

R R

P

f

∗

(x, y)dσ nie zależy od wyboru prostoka,ta P.

Definicja 1.18. Obszar domknie,ty D ⊆ R

2

nazywamy obszarem normal-

nym wzgle,dem osi OX, jeżeli istnieja, funkcje ϕ i ψ zmiennej x, cia,głe w

pewnym przedziale [a, b] takie, że

D = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, ϕ(x) ¬ y ¬ ψ(x)}

oraz ϕ(x) < ψ(y) dla każdego x ∈ (a, b).

Analogicznie definiujemy obszar normalny wzgle,dem osi OY jako zbiór

{(x, y) ∈ R

2

| c ¬ y ¬ d, α(y) ¬ x ¬ β(y)},

gdzie funkcje α i β zmiennej y sa, cia,głe w przedziale [c, d] oraz α(x) < β(x)

dla x ∈ (c, d).

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

7

Przykład 1.19. Obszarem normalnym wzgle,dem osi OX jest tarcza elipsy

wraz z brzegiem. Prostoka,t domknie,ty jest obszarem normalnym jednocześnie

wzgle,dem osi OX i osi OY .

2

Jeżeli D = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, ϕ(x) ¬ y ¬ ψ(x)} jest obszarem

normalnym wzgle,dem osi OX oraz c := inf

x∈[a,b]

ϕ(x) i d := sup

x∈[a,b]

ψ(x), to

D ⊂ P = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d}. Jeżeli funkcja f jest cia,gła

w obszarze D to funkcja f

∗

jest całkowalna w prostoka,cie P, ponieważ jest

w nim cia,gła z wyja,tkiem, co najwyżej punktów położonych na krzywych

y = ϕ(x) oraz y = ψ(x).

Twierdzenie 1.20. Niech D = {(x, y) ∈ R

2

| a ¬ x ¬ b, ϕ(x) ¬ y ¬ ψ(x)}

be,dzie obszarem normalnym wzgle,dem osi OX i niech f be,dzie funkcja, cia,gła,

w obszarze D. Wówczas

Z Z

D

f (x, y)dσ =

b

Z

a

(

d

Z

c

f

∗

(x, y)dy)dx =

b

Z

a

(

ψ(x)

Z

ϕ(x)

f (x, y)dy)dx.

(1.4)

Całke, podwójna, funkcji f, cia,głej w obszarze D normalnym wzgle,dem osi

OY obliczamy analogicznie jak w przypadku obszaru normalnego wzgle,dem

osi OX. Otrzymujemy wówczas

Z Z

D

f (x, y)dσ =

d

Z

c

(

β(y)

Z

α(y)

f (x, y)dx)dy.

(1.5)

W przypadku, gdy obszar D jest normalny zarówno wzgle,dem osi OX jak i

wzgle,dem osi OY to prawdziwe sa, oba wzory (2.1) oraz (1.5).
Przykład 1.21. Całka podwójna funkcji f (x, y) = x

2

y w obszarze D ogra-

niczonym prostymi: x = 0, y = 1 −

1
2

x oraz y = 2 − x wynosi:

Z Z

D

x

2

ydσ =

2

Z

0

(

2−x

Z

1−

1
2

x

x

2

ydy)dx =

18

5

.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

8

Definicja 1.22. Sume, skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle,dem

osi OX lub osi OY ) o parami rozła,cznych wne,trzach nazywamy obszarem

regularnym na płaszczyźnie.

Twierdzenie 1.23. Niech obszar regularny D be,dzie suma, obszarów nor-

malnych D

1

, D

2

, . . . , D

m

o parami rozła,cznych wne,trzach i niech funkcja f

be,dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także całkowalna

w każdym obszarze normalnym D

i

, i = 1, 2, . . . , m oraz

Z Z

D

f (x, y)dσ =

Z Z

D

1

f (x, y)dσ +

Z Z

D

2

f (x, y)dσ + . . . +

Z Z

D

m

f (x, y)dσ.

Dla obszaru regularnego D (w szczególności normalnego wzgle,dem osi OX

lub osi OY ) prawdziwe sa, wszystkie twierdzenia sformułowane dla przypadku,

gdy D jest prostoka,tem.
Przykład 1.24. Obszar D ograniczony prostymi: y − x = 0, 3x − y − 2 = 0
oraz x + y − 6 = 0 można podzielić prosta, y = 3 na dwa obszary

D

1

= {(x, y) ∈ R

2

| 1 ¬ y ¬ 3,

1
3

y +

2
3

¬ x ¬ y} oraz D

2

= {(x, y) ∈ R

2

| 3 ¬

y ¬ 4,

1
3

y +

2
3

¬ x ¬ 6 − y} normalne wzgle,dem osi OY . Sta,d całka podwójna

funkcji f (x, y) = 2x + y w obszarze D wynosi:

Z Z

D

(2x + y)dxdy =

Z Z

D

1

(2x + y)dxdy +

Z Z

D

2

(2x + y)dxdy =

=

3

Z

1

(

y

Z

1
3

y+

2
3

(2x + y)dx)dy +

4

Z

3

(

6−y

Z

1
3

y+

2
3

(2x + y)dx)dy =

40

3

.

2

Przykład 1.25. Niech funkcja f (x, y) = 1 be,dzie określona w obszarze

regularnym D. Całka podwójna

R R

D

1dσ równa jest polu obszaru D.

2

Przykład 1.26. Niech funkcja f (x, y) ­ 0 be,dzie cia,gła w obszarze regularnym

D. Całka podwójna

R R

D

f (x, y)dσ równa jest obje,tości bryły

V = {(x, y, z) ∈ R

3

| (x, y) ∈ D, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} o podstawie D, ograni-

czonej powierzchnia, be,da,ca, wykresem funkcji z = f(x, y) oraz powierzchnia,

walcowa,, utworzona, z prostych równoległych do osi OZ i przechodza,cych

przez brzeg obszaru D.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

9

Przykład 1.27. Niech funkcja f (x, y) be,dzie ge,stościa, powierzchniowa, masy

obszaru regularnego D.

• Całka podwójna

Z Z

D

f (x, y)dσ

wyraża mase, obszaru D.

• Całki

M

x

:=

Z Z

D

yf (x, y)dσ oraz M

y

:=

Z Z

D

xf (x, y)dσ

przedstawiaja, momenty statyczne M

x

(wzgle,dem osi OX) oraz M

y

(wzgle,dem osi OY ) obszaru D.

• Całki

B

x

:=

Z Z

D

y

2

f (x, y)dσ,

B

y

:=

Z Z

D

x

2

f (x, y)dσ

wyrażaja, momenty bezwładności B

x

(wzgle,dem osi OX) oraz B

y

(wzgle,-

dem osi OY ) obszaru D.

• Całka

M

O

:=

Z Z

D

(x

2

+ y

2

)f (x, y)dσ

wyraża moment bezwładności obszaru D wzgle,dem środka O = (0, 0)

układu współrze,dnych.

• Współrze,dne środka masy obszaru D wyrażaja, sie, wzorami:

x

C

:=

B

y

R R

D

f (x, y)dσ

,

y

C

:=

B

x

R R

D

f (x, y)dσ

.

2

Przykład 1.28. Moment bezwładności wzgle,dem osi OX jednorodnego trój-

ka,ta o masie m i wierzchołkach w punktach: p

1

= (0, 0), p

2

= (a, 0) i p

3

=

(a, a), wynosi:

B

x

=

Z Z

D

2m

a

2

y

2

dσ,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

10

gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

| 0 ¬ x ¬ a, 0 ¬ y ¬ x}. Sta,d

B

x

=

2m

a

2

a

Z

0

(

x

Z

0

y

2

dy)dx =

1
6

ma

2

.

2

Przykład 1.29. Niech V be,dzie bryła, ograniczona, powierzchniami:

z = x

2

+ y, z = 0, xy = 4 oraz x + y = 5. Ponieważ z = x

2

+ y > 0 dla

punktów (x, y) ∈ D należa,cych do obszaru ograniczonego krzywymi xy = 4

oraz x + y = 5, zatem obje,tość bryły V dana jest wzorem:

| V |=

Z Z

D

(x

2

+ y)dxdy.

Obszar D jest normalny wzgle,dem obu osi. Jako normalny wzgle,dem osi OX

można go określić jako D = {(x, y) ∈ R

2

| 1 ¬ x ¬ 4,

4

x

¬ y ¬ 5 − x}. Sta,d

| V |=

4

Z

1

(

5−x

Z

4
x

(x

2

+ y)dy)dx =

63

4

.

2

Przykład 1.30. Obje,tość bryły ograniczonej powierzchniami dwóch walców:

x

2

+ y

2

= r

2

oraz y

2

+ z

2

= r

2

równa jest, z uwagi na symetrie, tej bryły,

ośmiokrotnej obje,tości tej jej cze,ści, która leży w pierwszej ósemce przestrzeni.

Zatem

| V |= 8

Z Z

D

q

r

2

− y

2

dσ,

gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

| 0 ¬ x ¬

√

r

2

− y

2

, 0 ¬ y ¬ r}. Sta,d

| V |= 8

r

Z

0

(

√

r

2

−y

2

Z

0

q

r

2

− y

2

dx)dy =

16

3

r

3

.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

11

1.4

Zamiana zmiennych w całce podwójnej.

Twierdzenie 1.31. (O zamianie zmiennych w całce podwójnej.)
Niech funkcja f be,dzie określona, cia,gła i ograniczona w pewnym obszarze

regularnym D ⊂ R

2

i niech przekształcenie

Φ : ∆ → D, (u, v) 7→ (x = ϕ

1

(u, v), y = ϕ

2

(u, v))

odwzorowuje różnowartościowo wne,trze obszaru regularnego ∆ ⊂ R

2

na płasz-

czyźnie zmiennych u, v na wne,trze obszaru regularnego D (odwzorowanie

brzegów może nie być 1-1). Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ

1

i ϕ

2

sa, klasy

C

1

na pewnym zbiorze otwartym zawieraja,cym obszar ∆ oraz jakobian

∂(x,y)
∂(u,v)

jest różny od zera wewna,trz obszaru ∆.

Wówczas zachodzi naste,puja,cy wzór:

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

∆

f (ϕ

1

(u, v), ϕ

2

(u, v))











∂(x, y)
∂(u, v)











dudv.

Jeżeli f (x, y) = 1 to

|D| =

Z Z

D

dxdy =

Z Z

∆











∂(x, y)
∂(u, v)











dudv.

Odpowiedni wybór zmiennych całkowania może znacznie uprościć obliczenia

całki. Decyduja,c sie, na zamiane, zmiennych staramy sie, tak dobierać przekształcenie

Φ : ∆ → D, żeby obszar ∆ był jak najprostszy (najlepiej, aby był normalny
wzgle,dem osi, gdyż wówczas można całke, po obszarze ∆ zamienić na całke,

iterowana,). Należy przy tym zwrócić uwage,, żeby funkcja podcałkowa nie

uległa na skutek tej zamiany zbytniemu skomplikowaniu.

Przykład 1.32. (Przesunie,cie równolegle.)

Niech a, b ∈ R. Przekształcenie

(u, v) 7→ (x = u + a, y = v + b)

odwzorowuje różnowartościowo obszar ∆ = R

2

na obszar D = R

2

. Ponadto

∂(x, y)
∂(u, v)

= det

"

1 0
0 1

#

= 1.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

12

Sta,d

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

∆

f (u + a, v + b)dudv.

2

Przykład 1.33. (Przekształcenie podobieństwa.)
Niech a, b ∈ R oraz ab 6= 0. Przekształcenie

(u, v) 7→ (x = au, y = bv)

odwzorowuje różnowartościowo obszar ∆ = R

2

na obszar D = R

2

\ {(0, 0)}.

Ponadto

∂(x, y)
∂(u, v)

= det

"

a 0
0 b

#

= ab.

Sta,d

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

∆

f (au, bv) |ab| dudv.

2

Przykład 1.34. (Przekształcenie biegunowe.)
Położenie punktu p na płaszczyźnie można opisać para, liczb (ϕ, r), gdzie ϕ

oznacza miare, ka,ta mie,dzy dodatnia, cze,ścia, osi OX a promieniem wodza,cym

punktu p natomiast r oznacza odległość punktu p od pocza,tku układu współ-

rze,dnych. Pare, liczb (ϕ, r) nazywamy współrze,dnymi biegunowymi punktu

płaszczyzny.

Przekształcenie

(u, v) 7→ (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ)

przeprowadza prostoka,t domknie,ty ∆ = {(ϕ, r)|0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ r ¬ R} na

koło D = {(x, y)|x

2

+ y

2

¬ R

2

}. Ponadto

∂(x, y)
∂(u, v)

= det

"

−r sin ϕ cos ϕ

r cos ϕ

sin ϕ

#

= −r sin

2

ϕ − r cos

2

ϕ = −r.

Jakobian

∂(x,y)
∂(u,v)

jest różny od zera wewna,trz obszaru ∆, sta,d

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr =

2π

Z

0

(

R

Z

0

f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr)dϕ.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

13

Przykład 1.35. Całke, podwójna, z funkcji f(x, y) = xy

2

po obszarze D =

{(x, y) ∈ R

2

|x

2

+ y

2

¬ 4, x ­ 0} można obliczyć wprowadzaja,c współrze,dne

biegunowe. Obszar D jest wówczas obrazem obszaru ∆ = {(ϕ, r) ∈ R

2

|

−π

2

¬

ϕ ¬

π

2

, 0 ¬ r ¬ 2}. Sta,d

Z Z

D

xy

2

dxdy =

Z Z

∆

(r cos ϕ)(r sin ϕ)

2

rdϕdr =

π

2

Z

−

π

2

dϕ

2

Z

0

r

4

sin

2

ϕ cos ϕdr =

64
15

.

2

Przykład 1.36. Z interpretacji geometrycznej całki podwójnej wynika, że
obje,tość bryły ograniczonej powierzchniami z = x

2

+y

2

(paraboloida obrotowa),

z = 0 oraz x

2

+ y

2

= 1 (walec obrotowy) określona jest wzorem:

Z Z

D

(x

2

+ y

2

)dxdy,

gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

|x

2

+ y

2

¬ 1}. Dokonuja,c w rozważanej całce zamiany

zmiennych na współrze,dne biegunowe otrzymujemy

Z Z

D

(x

2

+ y

2

)dxdy =

Z Z

∆

(r

2

cos

2

ϕ + r

2

sin

2

ϕ)rdϕdr =

1

Z

0

r

3

dr

2π

Z

0

dϕ =

π

2

.

2

2

Całka potrójna

2.1

Całka potrójna na prostopadłościanie

Niech f be,dzie funkcja, trzech zmiennych określona, i ograniczona, w prosto-

padłościanie domknie,tym V = {(x, y, z) ∈ R

3

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬

z ¬ q}. Podzielmy prostopadłościan V na n dowolnych prostopadłościanów
domknie,tych V

k

, k = 1, 2, . . . , n, o rozła,cznych wne,trzach, których długości

przeka,tnych sa, odpowiednio równe d

k

a obje,tości ∆V

k

. Podział ten oznaczmy

symbolem ∆

n

. Liczbe, δ

n

:= max d

k

nazwiemy średnica, podziału ∆

n

.

Cia,g (∆

n

) podziałów prostopadłościanu nazywamy cia,giem normalnym

podziałów, jeżeli odpowiadaja,cy mu cia,g średnic (δ

n

) da,ży do zera.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

14

Dla danego podziału ∆

n

z wne,trza każdego prostopadłościanu V

k

wybieramy

dowolnie punkt p

k

= (x

k

, y

k

, z

k

). Sume,

S

n

:=

n

X

k=1

f (p

k

)∆V

k

nazywamy suma, całkowa, funkcji f w prostopadłościanie V .

(Dla danego podziału ∆

n

, wybieraja,c na dwa różne sposoby punkty p

k

∈ V

k

możemy otrzymać dwie różne sumy całkowe.)

Definicja 2.1. Jeżeli dla każdego normalnego cia,gu podziałów (∆

n

) prosto-

padłościanu V , każdy (niezależnie od wyboru punktów p

k

) cia,g sum całkowych

(S

n

) jest zbieżny zawsze do tej samej granicy właściwej, to granice, te, nazywamy

całka, potrójna, funkcji f w prostopadłościanie V i oznaczamy symbolem

R R

V

R

f (x, y)dV . Zatem

Z Z

V

Z

f (x, y, z)dV

df

= lim

δ

n

→0

n

X

k=1

f (p

k

)∆V

k

.

Definicja 2.2. Jeżeli całka

R R

V

R

f (x, y, z)dV istnieje, to mówimy, że funkcja

f jest całkowalna (w sensie Riemanna) w prostopadłościanie V .

Twierdzenie 2.3. Funkcja cia,gła w prostopadłościanie domknie,tym jest w

tym prostopadłościanie całkowalna.

Podobnie jak dla całek podwójnych dowodzi sie, ogólniejszego twierdzenia.

Twierdzenie 2.4. Jeżeli funkcja f jest ograniczona na prostopadłościanie
domknie,tym oraz jest na tym prostopadłościanie cia,gła z wyja,tkiem zbioru

punktów tego prostopadłościanu, którego obje,tość jest równa zero, to funkcja

f jest całkowalna w tym prostopadłościanie.

W szczególnym przypadku zbiór punktów niecia,głości funkcji f może być

suma, skończonej liczby powierzchni określonych równaniami z = ϕ(x, y),

y = ψ(x, z) lub x = χ(y, z), gdzie funkcje ϕ, ψ, χ sa, cia,głe w odpowiednich

obszarach płaskich płaszczyzn OXY , OXZ i OY Z.

Analogicznie jak dla funkcji dwóch zmiennych, dla funkcji trzech zmiennych

prawdziwe sa, twierdzenia o liniowości całki oraz o addytywności całki wzgle,dem

obszaru całkowania a także twierdzenie całkowe o wartości średniej.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

15

Twierdzenie 2.5. (Twierdzenie całkowe o wartości średniej.)
Jeżeli funkcja f jest cia,gła w prostopadłościanie V , to istnieje taki punkt

c ∈ V , że

Z Z

V

Z

f (x, y, z)dV = f (c) | V |,

gdzie | V | oznacza obje,tość prostopadłościanu V .

Liczbe,

R R

V

R

f (x,y,z)dV

|V |

nazywamy wartościa, średnia, funkcji f(x, y, z) w pros-

topadłościanie V .

Twierdzenie 2.6. (O zamianie całki potrójnej na całke, iterowana,.) Jeżeli

funkcja f jest cia,gła w prostopadłościanie domknie,tym V = {(x, y, z) ∈ R

3

|

a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q}, to

Z Z

V

Z

f (x, y, z)dV =

b

Z

a

(

d

Z

c

(

q

Z

p

f (x, y, z)dz)dy)dx.

Zauważmy, że przy założeniu cia,głości funkcji f wartość całki

R R

V

R

f (x, y, z)dV

nie zależy od kolejności całkowania. Zatem powyższy wzór można zapisać
w sześciu postaciach uwzgle,dniaja,c różne kolejności całkowania. (W wielu

przypadkach wybór odpowiedniej kolejności całkowania pozwala znacznie
uprościć obliczenie całki potrójnej.)

Symbol dV be,dziemy cze,sto zaste,pować oznaczeniem dxdydz.

Przykład 2.7. Całka potrójna z funkcji f (x, y, z) = x + y + 2z w prosto-
padłościanie V = {(x, y, z) ∈ R

3

| 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2, 1 ¬ z ¬ 2} jest

równa:

Z Z

V

Z

(x + y + 2z)dxdydz =

1

Z

0

(

2

Z

0

(

2

Z

1

(x + y + 2z)dx)dy)dz = 9.

2

Przykład 2.8. Bezpośrednio z definicji całki potrójnej wynika, że

Z Z

V

Z

1dV = |V |,

gdzie |V | oznacza obje,tość prostopadłościanu V .

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

16

Przykład 2.9. Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ge,stościa, obje,tościowa, masy

prostopadłościanu V , to całka potrójna

Z Z

V

Z

f (x, y, z)dV

wyraża mase, tego prostopadłościanu.

2

Przykład 2.10. Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ge,stościa, obje,tościowa, ładunku

elektrycznego rozłożonego w prostopadłościanie V , to całka potrójna

Z Z

V

Z

f (x, y, z)dV

wyraża całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w tym prostopadłościanie.
2

2.2

Całka potrójna w obszarze normalnym.

Niech f be,dzie funkcja, określona, i ograniczona, w obszarze ograniczonym

A ⊂ R

3

oraz niech V = {(x, y, z) ∈ R

3

| a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q}

be,dzie dowolnym prostopadłościanem domknie,tym zawieraja,cym obszar A.

Rozważmy funkcje, f

∗

określona, w prostopadłościanie V naste,puja,co:

f

∗

(x, y, z) :=







f (x, y, z), gdy (x, y, z) ∈ A
0,

gdy (x, y, z) ∈ V \ A.

Całke, potrójna, funkcji f w obszarze A określamy w naste,puja,cy sposób:

Z Z

A

Z

f (x, y, z)dV

df

=

Z Z

V

Z

f

∗

(x, y, z)dV,

(2.1)

o ile całka

R R

V

R

f

∗

(x, y, z)dV istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest cał-

kowalna w obszarze A. Całka

R R

V

R

f

∗

(x, y, z)dV nie zależy od wyboru pros-

topadłościanu V .

Definicja 2.11. Obszar domknie,ty A ⊂ R

3

nazywamy obszarem normal-

nym wzgle,dem płaszczyzny OXY , jeżeli istnieja, funkcje ϕ

1

i ψ

1

zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

17

x i y, cia,głe w pewnym obszarze regularnym D

xy

na płaszczyźnie OXY takie,

że

A = {(x, y, z) ∈ R

3

| (x, y) ∈ D

xy

, ϕ

1

(x, y) ¬ z ¬ ψ

1

(x, y)}

oraz ϕ

1

(x, y) < ψ

1

(x, y) dla wszystkich (x, y) należa,cych do wne,trza obszaru

D

xy

.

Geometrycznie normalność obszaru A wzgle,dem płaszczyzny OXY oznacza,

że każda prosta prostopadła do płaszczyzny OXY wystawiona z obszaru D

xy

przecina brzeg obszaru A dokładnie w dwóch punktach należa,cych odpowiednio

do powierzchni o równaniach z = ϕ

1

(x, y) i z = ψ

1

(x, y). Jeżeli A jest

obszarem normalnym wzgle,dem płaszczyzny OXY , to D

xy

jest rzutem tego

obszaru na płaszczyzne, OXY .

Analogicznie określamy obszar normalny wzgle,dem płaszczyzny OY Z

jako zbiór

A = {(x, y, z) ∈ R

3

| (y, z) ∈ D

yz

, ϕ

2

(y, z) ¬ x ¬ ψ

2

(y, z)},

gdzie ϕ

2

(y, z) < ψ

2

(y, z) dla wszystkich (y, z) należa,cych do wne,trza obszaru

D

yz

, oraz obszar normalny wzgle,dem płaszczyzny OXZ jako zbiór

A = {(x, y, z) ∈ R

3

| (x, z) ∈ D

xz

, ϕ

3

(x, z) ¬ y ¬ ψ

3

(x, z)},

gdzie ϕ

3

(x, z) < ψ

3

(x, z) dla wszystkich (x, z) należa,cych do wne,trza obszaru

D

xz

.

Przykład 2.12. Kula domknie,ta i ostrosłup wraz z ograniczaja,ca, go po-

wierzchnia, sa, przykładami obszarów normalnych wzgle,dem każdej z płaszczyzn

układu OXY Z.

2

Twierdzenie 2.13. Niech A = {(x, y, z) ∈ R

3

| (x, y) ∈ D

xy

, ϕ

1

(x, y) ¬ z ¬

ψ

1

(x, y)} be,dzie obszarem normalnym wzgle,dem płaszczyzny OXY i niech f

be,dzie funkcja, cia,gła, w obszarze A. Wówczas

Z Z

A

Z

f (x, y, z)dV =

Z Z

D

xy

(

ψ

1

(x,y)

Z

ϕ

1

(x,y)

f (x, y, z)dz)dxdy.

Prawdziwe sa, także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach

normalnych wzgle,dem pozostałych płaszczyzn układu.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

18

Przykład 2.14. Obszar V ograniczony płaszczyznami: x = 0, y = 0, z = 0
oraz 2x+y+z = 2 jest obszarem normalnym wzgle,dem wszystkich płaszczyzn

układu współrze,dnych. Traktuja,c go jako obszar normalny wzgle,dem płasz-

czyzny OXY możemy V opisać naste,puja,co

V = {(x, y, z) ∈ R

3

|(x, y) ∈ D

xy

, 0 ¬ z ¬ −2x − y + 2},

gdzie obszar D

xy

= {(x, y) ∈ R

2

|0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2 − 2x} jest normalny

wzgle,dem osi OX.

Sta,d całka potrójna z funkcji f(x, y, z) = x

2

+ 6yz na obszarze V wynosi

Z Z

V

Z

(x

2

+ 6yz)dxdydz =

Z Z

D

xy

dxdy

2−2x−y

Z

0

(x

2

+ 6yz)dz =

1

Z

0

dx

2−2x

Z

0

dy

2−2x−y

Z

0

(x

2

+ 6yz)dz =

13
15

.

2

Przykład 2.15. Jeżeli f (x, y, z) = 1 w obszarze normalnym A ⊂ R

3

, to

całka potrójna

Z Z

A

Z

1dxdydz

przedstawia obje,tość obszaru A.

2

Definicja 2.16. Sume, skończonej liczby obszarów normalnych (wzgle,dem

przynajmniej jednej z płaszczyzn układu współrze,dnych) o parami rozła,cznych

wne,trzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.
Twierdzenie 2.17. Niech obszar A regularny w przestrzeni be,dzie suma,

obszarów normalnych A

1

, A

2

, . . . , A

m

o parami rozła,cznych wne,trzach i niech

funkcja f be,dzie całkowalna w tym obszarze. Wówczas funkcja f jest także

całkowalna w każdym obszarze normalnym A

i

, i = 1, 2, . . . , m oraz

Z Z

A

Z

f (x, y, z)dV =

Z Z

A

1

Z

f (x, y, z)dV + . . . +

Z Z

A

m

Z

f (x, y, z)dV.

Całki potrójne po obszarach regularnych maja, te same własności co całki

potrójne po prostopadłościanie.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

19

2.3

Zamiana zmiennych w całce potrójnej.

Twierdzenie 2.18. (O zamianie zmiennych w całce potrójnej.)
Niech funkcja f be,dzie określona, cia,gła i ograniczona w pewnym obszarze

regularnym U ⊂ R

3

i niech przekształcenie

Φ : Ω → U, (u, v, w) 7→ (x = ϕ

1

(u, v, w), y = ϕ

2

(u, v, w), z = ϕ

3

(u, v, w))

odwzorowuje różnowartościowo wne,trze obszaru regularnego Ω ⊂ R

3

na wne,trze

obszaru regularnego U. Załóżmy ponadto, że funkcje ϕ

1

, ϕ

2

i ϕ

3

sa, klasy C

1

na pewnym zbiorze otwartym zawieraja,cym obszar Ω oraz jakobian

∂(x,y,z)

∂(u,v,w)

jest różny od zera wewna,trz obszaru Ω.

Wówczas zachodzi naste,puja,cy wzór:

Z Z

U

Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

Ω

Z

f (ϕ

1

(u, v, w), ϕ

2

(u, v, w), ϕ

3

(u, v, w))











∂(x, y, z)

∂(u, v, w)











dudvdw.

Przykład 2.19. (Przesunie,cie równolegle.)

Niech a, b, c ∈ R. Przekształcenie

(u, v, w) 7→ (x = u + a, y = v + b, z = w + c)

odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R

3

na obszar U = R

3

. Ponadto

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

= det







1 0 0
0 1 0
0 0 1







= 1.

Sta,d

Z Z

U

Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

Ω

Z

f (u + a, v + b, w + c)dudvdw.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

20

Przykład 2.20. (Przekształcenie podobieństwa.)
Niech a, b, c ∈ R oraz abc 6= 0. Przekształcenie

(u, v, w) 7→ (x = au, y = bv, z = cw)

odwzorowuje różnowartościowo obszar Ω = R

3

na obszar U = R

3

\{(0, 0, 0)}.

Ponadto

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

= det







a 0 0
0 b 0
0 0 c







= abc.

Sta,d

Z Z

U

Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z

Ω

Z

f (au, bv, cw) |abc| dudvdw.

2

Przykład 2.21. Niech a, b, c ∈ R

+

. Bryła ograniczona powierzchnia, o równaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1 opisana jest jako obszar V = {(x, y, z) ∈ R

3

|

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

¬ 1}.

Zgodnie z interpretacja, geometryczna, obje,tość tej bryły wynosi

Z Z

V

Z

1dxdydz.

Przekształcenie podobieństwa

(u, v, w) 7→ (x = au, y = bv, z = cw)

odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wne,trze kuli U = {(u, v, w) ∈ R

3

|u

2

+

v

2

+ w

2

< 1} na wne,trze rozpatrywanej bryły V . Sta,d

Z Z

V

Z

1dxdydz =

Z Z

U

Z

abcdudvdw =

4
3

abcπ.

2

Przykład 2.22. (Przekształcenie walcowe.)
Położenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka, liczb (ϕ, r, z), gdzie

ϕ oznacza miare, ka,ta mie,dzy rzutem promienia wodza,cego punktu p na

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

21

płaszczyzne, OXY a dodatnia, cze,ścia, osi OX, r oznacza odległość rzutu

punktu p na płaszczyzne, OXY od pocza,tku układu współrze,dnych oraz

z oznacza odległość punktu p od płaszczyzny OXY . Trójke, liczb (ϕ, r, z)

nazywamy współrze,dnymi walcowymi punktu przestrzeni.

Przekształcenie

(ϕ, r, z) 7→ (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z)

nazywamy przekształceniem walcowym. Ponadto

∂(x, y, z)
∂(ϕ, r, z)

= det







−r sin ϕ r cos ϕ 0

cos ϕ

sin ϕ

0

0

0

1







= −r.

2

Przykład 2.23. Obszar U = {(x, y, z) ∈ R

3

|

√

x

2

+ y

2

¬ z ¬ 1} we współ-

rze,dnych walcowych określony jest jako obszar Ω = {(ϕ, r, z) ∈ R

3

|0 ¬ ϕ ¬

2π, 0 ¬ r ¬ 1, r ¬ z ¬ 1}. Sta,d

Z Z

U

Z

(x

2

+ y

2

)dxdydz =

Z Z

Ω

Z

(r

2

cos

2

ϕ + r

2

sin

2

ϕ)











∂(x, y, z)
∂(ϕ, r, z)











dϕdrdz =

2π

Z

0

dϕ

1

Z

0

dr

1

Z

r

r

3

dz =

π

10

.

2

Przykład 2.24. (Przekształcenie sferyczne.)
Położenie punktu p w przestrzeni można opisać trójka, liczb (ϕ, ψ, r), gdzie

ϕ oznacza miare, ka,ta mie,dzy rzutem promienia wodza,cego punktu p na

płaszczyzne, OXY a dodatnia, cze,ścia, osi OX, ψ oznacza miare, ka,ta mie,dzy

promieniem wodza,cym punktu p a płaszczyzna, OXY oraz r oznacza odległość

punktu p od pocza,tku układu współrze,dnych. Trójke, liczb (ϕ, ψ, r) nazywamy

współrze,dnymi sferycznymi punktu przestrzeni.

Przekształcenie

(ϕ, ψ, r) 7→ (x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ)

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

22

nazywamy przekształceniem sferycznym. Ponadto











∂(x, y, z)

∂(ϕ, ψ, r)











=















det







−r sin ϕ cos ψ

r cos ϕ cos ψ

0

−r cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ r cos ψ

cos ϕ cos ψ

sin ϕ cos ψ

sin ψ





















= r

2

cos ψ.

2

Przykład 2.25. Obszar U = {(x, y, z) ∈ R

3

|x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 1, 0 ¬ x, 0 ¬

y, 0 ¬ z} we współrze,dnych sferycznych określony jest jako obszar Ω =

{(ϕ, ψ, r) ∈ R

3

|0 ¬ ϕ ¬

π

2

, 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ψ ¬

π

2

}. Sta,d

Z Z

U

Z

(x+2z)dxdydz =

Z Z

Ω

Z

(r cos ϕ cos ψ+2r sin ψ)











∂(x, y, z)

∂(ϕ, ψ, r)











dϕdψdr =

1

Z

0

dr

π

2

Z

0

dϕ

π

2

Z

0

(r cos ϕ cos ψ + 2r sin ψ)r

2

cos ψdψ =

3

16

π.

2

3

Całka krzywoliniowa

3.1

Całka krzywoliniowa niezorientowana

Niech K = {(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈ [α, β]} be,dzie łukiem gładkim na płaszczyźnie

i niech be,dzie określona funkcja f : K → R. Podzielmy przedział [α, β]

punktami α = t

0

< t

1

< . . . < t

n

= β na n łuków cze,ściowych k

1

, k

2

, . . . , k

n

.

Oznaczmy długości tych łuków odpowiednio przez ∆k

1

, ∆k

2

, . . . , ∆k

n

i niech

δ

n

:= max

1¬i¬n

∆k

i

. Z każdego z łuków cze,ściowych k

i

, i = 1, . . . , n, wybierzmy

dowolny punkt p

i

i utwórzmy naste,puja,ca, sume,

S

n

:=

n

X

i=1

f (p

i

)∆k

i

.

Definicja 3.1. Jeżeli istnieje granica skończona lim

n→∞

S

n

cia,gu sum (S

n

),

gdy δ

n

→ 0 i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów podziału t

i

oraz

wyboru punktów p

i

na łukach cze,ściowych, to granice, te, nazywamy całka,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

23

krzywoliniowa, niezorientowana, funkcji f(x, y) po krzywej K i oznaczamy

symbolem

Z

K

f (x, y)ds.

Przykład 3.2. Jeżeli f (x, y) = 1 dla każdego punktu (x, y) ∈ K, to całka

R

K

f (x, y)ds równa jest długości łuku krzywej K.

2

Przykład 3.3. Jeżeli f (x, y) ­ 0 dla każdego punktu (x, y) ∈ K, to całka

R

K

f (x, y)ds równa jest polu cze,ści walcowej, której kierownica, jest K a tworza,ce

sa, równoległe do osi OZ.

2

Twierdzenie 3.4. Jeżeli istnieja, całki krzywoliniowe z funkcji f(x, y) i g(x, y)

po krzywej K to dla dowolnych a, b ∈ R

Z

K

(af (x, y) + bg(x, y))ds = a

Z

K

f (x, y)ds + b

Z

K

g(x, y)ds.

Twierdzenie 3.5. Jeżeli punkt p dzieli krzywa, K na dwie krzywe K

1

i K

2

to

Z

K

f (x, y)ds =

Z

K

1

f (x, y)ds +

Z

K

2

f (x, y)ds.

Całke, krzywoliniowa, niezorientowana, można wyrazić przez całke, oznaczona,.

Twierdzenie 3.6. Jeżeli funkcja f (x, y) jest cia,gła na łuku gładkim K =

{(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈ [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana

R

K

f (x, y)ds

istnieje i równa jest całce oznaczonej

Z

K

f (x, y)ds =

β

Z

α

f (x

1

(t), x

2

(t))

q

(x

0

1

(t))

2

+ (x

0

2

(t))

2

dt.

Przykład 3.7. Jeżeli K = {(t, y(t)) | t ∈ [α, β]} oraz funkcja y(t) ma cia,gła,

pochodna, na przedziale [α, β], to

Z

K

f (x, y)ds =

β

Z

α

f (t, y(t))

q

(1 + (y

0

(t))

2

dt.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

24

Przykład 3.8. Niech K = {(r cos t, r sin t) | t ∈ [0,

π

2

]} be,dzie łukiem

okre,gu. Wówczas

Z

K

xyds =

π

2

Z

0

r

3

cos t sin tdt =

r

3

2

.

2

Całke, krzywoliniowa, niezorientowana, funkcji f(x, y, z) po krzywej K =

{(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)) | t ∈ [α, β]} w przestrzeni definiujemy analogicznie jak

w przypadku całki na płaszczyźnie i oznaczamy

R

K

f (x, y, z)ds. Twierdzenia

dotycza,ce własności całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyźnie

pozostaja, prawdziwe dla całki w przestrzeni. W szczególności zachodzi twier-

dzenie o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całke, oznaczona,.
Twierdzenie 3.9. Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest cia,gła na łuku gładkim K =

{(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)) | t ∈ [α, β]}, to całka krzywoliniowa niezorientowana

R

K

f (x, y, z)ds istnieje i równa jest całce oznaczonej

Z

K

f (x, y, z)ds =

β

Z

α

f (x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t))

q

(x

0

1

(t))

2

+ (x

0

2

(t))

2

+ (x

0

3

(t))

2

dt.

Przykład 3.10. Niech K = {(a cos t, a sin t, bt) | t ∈ [0, 2π]}. Całka krzy-
woliniowa niezorientowana z funkcji f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

po krzywej K

równa jest

Z

K

(x

2

+ y

2

+ z

2

)ds =

2π

Z

0

(a

2

cos

2

t + a

2

sin

2

t + b

2

t

2

)

√

a

2

+ b

2

dt =

√

a

2

+ b

2

(2a

2

+

8
3

b

2

π

2

)π.

2

3.2

Całka krzywoliniowa zorientowana

Każdemu łukowi K = {(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈ [α, β]} na płaszczyźnie można

nadać kierunek, przyjmuja,c punkt A = (x

1

(α), x

2

(α)) za pocza,tek łuku a

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

25

punkt B = (x

1

(β), x

2

(β)) za koniec lub na odwrót, punkt B = (x

1

(β), x

2

(β))

za pocza,tek łuku a punkt A = (x

1

(α), x

2

(α)) za jego koniec. Te dwie orientacje

krzywej nazywamy przeciwnymi. W pierwszym przypadku kierunek łuku jest
zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. Mówimy wówczas, że przedsta-
wienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa, zgodne. W drugim

przypadku kierunek łuku jest niezgodny z kierunkiem wzrostu parametru
t. Mówimy wówczas, że przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu
kierunek sa, niezgodne.

Niech parametrom t

1

i t

2

odpowiadaja, punkty A

1

= (x

1

(t

1

), x

2

(t

1

)) i A

2

=

(x

1

(t

2

), x

2

(t

2

)) łuku K. Jeżeli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu

parametru to dla t

1

< t

2

punkt A

1

poprzedza punkt A

2

. W przeciwnym

przypadku punkt A

2

poprzedza punkt A

1

.

Jeżeli przedstawienie parametryczne {(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈ [α, β]} łuku

jest niezgodne z nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie parametrycz-
ne {(x

1

(−t), x

2

(−t)) | t ∈ [−β, −α]} be,dzie już z tym kierunkiem zgodne.

Definicja 3.11. Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skie-
rowanym (lub zorientowanym).

Łuk skierowany od punktu A do punktu B oznaczamy ˘

AB. Aby podkreślić,

że łuki ˘

AB i ˘

BA różnia, sie, tylko kierunkiem piszemy ˘

AB = − ˘

BA.

Niech dana be,dzie krzywa zorientowana płaska K = {(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈

[α, β]} i niech na krzywej K be,da, określone dwie funkcje P(x, y) i Q(x, y).

Podzielmy przedział [α, β] punktami α = t

0

< t

1

< . . . < t

n

= β na n

cze,ści. Wybierzmy z każdego przedziału punkt t

θ

i

∈ [t

i−1

, t

i

]. Niech p

i

=

(x

1

(t

θ

i

), x

2

(t

θ

i

)) i d

n

be,dzie długościa, najdłuższego z przedziałów [t

i−1

, t

i

].

Utwórzmy sume,

S

n

:=

n

X

i=1

P (p

i

)(x

1

(t

i

) − x

1

(t

i−1

)) + Q(p

i

)(x

2

(t

i

) − x

2

(t

i−1

)).

Definicja 3.12. Jeżeli istnieje granica skończona lim

n→∞

S

n

cia,gu sum (S

n

)

przy d

n

→ ∞ i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów t

i

oraz p

i

to granice, te, nazywamy całka, krzywoliniowa, skierowana, pary funkcji

P (x, y) i Q(x, y) po drodze K i oznaczamy

Z

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

26

Analogicznie maja,c krzywa, przestrzenna, K = {(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)) | t ∈

[α, β]} i trzy funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) definiujemy całke, krzy-

woliniowa, zorientowana, trójki funkcji po krzywej K

Z

K

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.

Przykład 3.13. Jeżeli punkt materialny o masie 1 porusza sie, po krzywej K

pod wpływem siły F o składowych P (x, y) i Q(x, y) (np. w polu grawitacyjnym
lub elektrostatycznym) to prace, wykonywana, przez te, siłe, wzdłuż drogi K

wyraża całka

R

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

2

Twierdzenie 3.14. Jeżeli istnieje całka krzywoliniowa skierowana z funkcji
P (x, y) i Q(x, y) po krzywej K, to istnieje też całka po krzywej −K, przy
czym

Z

−K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −

Z

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Twierdzenie 3.15. Jeżeli krzywa, K podzielimy na dwa łuki K

1

i K

2

, to całka

krzywoliniowa skierowana z funkcji P (x, y) i Q(x, y) po krzywej K istnieje
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja, całki po krzywych K

1

i K

2

oraz

Z

K

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

Z

K

1

P (x, y)dx+Q(x, y)dy+

Z

K

2

P (x, y)dx+Q(x, y)dy.

Twierdzenie 3.16. Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) sa, cia,głe na zorientowa-

nym łuku gładkim K = {(x

1

(t), x

2

(t)) | t ∈ [α, β]}, przy czym orientacja jest

zgodna z kierunkiem wzrostaja,cego parametru (tzn. jest zgodna z kierunkiem

tego łuku) to całka krzywoliniowa skierowana z funkcji P (x, y) i Q(x, y) po
krzywej K istnieje oraz

Z

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

β

Z

α

(P (x

1

(t), x

2

(t))x

0

1

(t) + Q(x

1

(t), x

2

(t))x

0

2

(t))dt.

Przykład 3.17. Jeżeli K = {(t, y(t)) | t ∈ [α, β]} to

Z

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

β

Z

α

(P (t, y(t)) + Q(t, y(t))y

0

(t))dt.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

27

Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) sa, cia,głe na krzywej kawałkami gładkiej,

to całka

R

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy również istnieje i równa jest sumie całek na

poszczególnych łukach gładkich krzywej.

Przykład 3.18. Niech K = {(t, t

2

) | t ∈ [−1, 1]} be,dzie łukiem paraboli od

punktu A = (−1, 1) do punktu B = (1, 1). Całka krzywoliniowa zorientowana
z funkcji P (x, y) = y

2

+ 2xy i Q(x, y) = x

2

− 2xy na krzywej K wynosi

Z

K

(y

2

+ 2xy)dx + (x

2

− 2xy)dy =

1

Z

−1

((t

4

+ 2t

3

) + (t

2

− 2t

3

)2t)dt = −

6
5

.

2

W przypadku trójwymiarowym całke, krzywoliniowa, zorientowana, z funkcji

P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) na łuku gładkim K = {(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)) |

t ∈ [α, β]} zorientowanym zgodnie z kierunkiem wzrastaja,cego parametru

możemy zamienić na całke, oznaczona, według naste,puja,cego wzoru

Z

K

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

β

Z

α

(P (x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t))x

0

1

(t)+Q(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t))x

0

2

(t)+R(x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t))x

0

3

(t))dt.

Przykład 3.19. Praca wykonana przez siłe, F = [x

2

, y

2

, z

2

] wzdłuż drogi

K = {(r cos t, r sin t, bt) | t ∈ [0, 2π]} równa jest

Z

K

x

2

dx+y

2

dy+z

2

dz =

2π

Z

0

((r

2

cos

2

t(−r sin t)+r

2

sin

2

tr cos t+b

2

t

2

b)dt =

8
3

b

3

π

3

.

2

Niech D be,dzie obszarem płaskim ograniczonym krzywa, Jordana K. Po-

wiemy, że krzywa Jordana K be,da,ca brzegiem obszaru D jest zorientowana

dodatnio wzgle,dem tego obszaru, jeśli w czasie obiegu po krzywej K w danym

kierunku mamy obszar D po lewej stronie.

Całke, krzywoliniowa, zorientowana, po krzywej zamknie,tej płaskiej można

w pewnych sytuacjach zamienić na całke, podwójna,.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

28

Twierdzenie 3.20. (Twierdzenie Green’a

1

)

Jeżeli funkcje P (x, y) i Q(x, y) sa, cia,głe wraz z pochodnymi cza,stkowymi

∂P

∂y

i

∂Q

∂x

na obszarze domknie,tym D normalnym wzgle,dem obu osi układu

współrze,dnych oraz brzeg K obszaru D jest krzywa, Jordana zorientowana,

dodatnio wzgle,dem D, to prawdziwy jest naste,puja,cy wzór Green’a:

Z

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z Z

D

(

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

)dxdy.

Twierdzenie Green’a pozostaje prawdziwe dla obszarów jednospójnych

i wielospójnych daja,cych sie, podzielić łukami na skończona, ilość obszarów

normalnych wzgle,dem obu osi.
Przykład 3.21. Niech K be,dzie brzegiem prostoka,ta D = {(x, y) ∈ R

2

|

0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2} zorientowanym dodatnio i niech P (x, y) = y(x

2

+ 1)

oraz Q(x, y) = x(y

2

− 1). Stosuja,c twierdzenie Green’a całka krzywoliniowa

zorientowana

R

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy wynosi

Z

K

y(x

2

+ 1)dx + x(y

2

− 1)dy =

Z Z

D

(y

2

− x

2

− 2)dxdy = −2.

2

Przykład 3.22. Niech K be,dzie okre,giem o równaniu x

2

+ y

2

− 2x = 0

zorientowanym dodatnio i niech P (x, y) = y

2

+ 2x oraz Q(x, y) = x

2

+ 2y.

Stosuja,c twierdzenie Green’a całka krzywoliniowa zorientowana

R

K

P (x, y)dx+

Q(x, y)dy wynosi

Z

K

y

2

+ 2xdx + x

2

+ 2ydy =

Z Z

D

2(x − y)dxdy = 2π,

gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

− 2x ¬ 0}.

2

Przykład 3.23. Niech K be,dzie dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru

ograniczonego D. Wówczas całka krzywoliniowa zorientowana po tej krzywej

1

George Green (1793-1841) - matematyk i fizyk angielski

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

29

z funkcji P (x, y) = −

1
2

y i Q(x, y) =

1
2

x określa pole obszaru D, gdyż

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= 1 oraz

| D |=

Z Z

D

1dxdy =

Z Z

D

(

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

)dxdy =

1
2

Z

K

xdy − ydx.

2

Przykład 3.24. Pole obszaru D ograniczonego elipsa, K = {(a cos t, b sin t) |

t ∈ [0, 2π]} wynosi

| D |=

1
2

Z

K

−ydx + xdy =

1
2

2π

Z

0

(ab sin

2

t + ab cos

2

t)dt = πab.

2

3.3

Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania

Niech P (x, y) i Q(x, y) be,da, funkcjami cia,głymi wraz z pochodnymi cza,stko-

wymi

∂P

∂y

i

∂Q

∂x

w obszarze płaskim jednospójnym D. Niech K be,dzie krzywa,

gładka, o pocza,tku w punkcie A i końcu w punkcie B, zawarta, w obszarze D.

Całka krzywoliniowa zorientowana

R

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy zależy na ogół od

wyboru krzywej K.

Przykład 3.25. Niech K = {(a cos t, b sin t) | t ∈ [0, π]}, dla a 6= b, be,dzie

półelipsa, o pocza,tku w punkcie A = (a, 0) i końcu w punkcie B = (−a, 0).

Wówczas

Z

K

(x − y)dx + (x + y)dy = abπ.

Jeżeli natomiast K = {(a cos t, a sin t) | t ∈ [0, π]} be,dzie półokre,giem o

pocza,tku w punkcie A = (a, 0) i końcu w punkcie B = (−a, 0) to

Z

K

(x − y)dx + (x + y)dy = a

2

π.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

30

Całke, krzywoliniowa, zorientowana,

R

K

P (x, y)dx + Q(x, y)dy nazywać be,-

dziemy niezależna, od drogi całkowania w obszarze jednospójnym D,

jeżeli dla dowolnych dwóch punktów A, B ∈ D wartość tej całki na każdej
krzywej gładkiej K ⊂ D o pocza,tku w punkcie A i końcu w punkcie B

jest taka sama. Ponieważ w tym przypadku wartość całki nie zależy od
wyboru krzywej K, lecz tylko od pocza,tku A i końca B, całke, krzywoliniowa,

zorientowana, oznaczamy symbolem

B

Z

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Twierdzenie 3.26. Niech P (x, y) i Q(x, y) be,da, funkcjami cia,głymi wraz

z pochodnymi cza,stkowymi

∂P

∂y

i

∂Q

∂x

w obszarze płaskim jednospójnym D i

niech A, B ∈ D. Warunkiem koniecznym i wystarczaja,cym na to, aby całka
krzywoliniowa zorientowana

B

R

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależała od drogi

całkowania jest, by dla każdego (x, y) ∈ D spełniony był warunek

∂P

∂y

=

∂Q

∂x

.

Zatem na mocy twierdzenia Green’a całka krzywoliniowa zorientowana

B

R

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy nie zależy od drogi całkowania wtedy i tylko wtedy,

gdy całka po każdej krzywej gładkiej zamknie,tej zawartej w obszarze D jest

równa 0.

Niech funkcje P (x, y) i Q(x, y) spełniaja, w obszarze płaskim jednospójnym

D założenia twierdzenia 3.26. Funkcje, F(x, y) taka,, że dla każdego (x, y) ∈ D

∂F

∂x

= P (x, y) oraz

∂F

∂y

= Q(x, y)

nazywamy funkcja, pierwotna, pary uporza,dkowanej funkcji P(x, y) i Q(x, y).
Twierdzenie 3.27. Niech P (x, y) i Q(x, y) be,da, funkcjami cia,głymi wraz z

pochodnymi cza,stkowymi

∂P

∂y

i

∂Q

∂x

w płaskim obszarze jednospójnym D. Wa-

runkiem koniecznym i wystarczaja,cym na to, aby funkcja F(x, y) była funkcja,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

31

pierwotna, funkcji P(x, y) i Q(x, y) jest, by dla każdego (x, y) ∈ D spełniony

był warunek

∂P

∂y

=

∂Q

∂x

.

Zatem warunkiem koniecznym i wystarczaja,cym na to, aby całka krzywoliniowa

skierowana

B

R

A

P (x, y)dx+Q(x, y)dy nie zależała od drogi całkowania w obszarze

D, jest by istniała funkcja pierwotna funkcji P (x, y) i Q(x, y). Wartość całki
jest wówczas określona wzorem

B

Z

A

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B) − F (A).

Jeżeli F (x, y) jest funkcja, pierwotna, pary funkcji P(x, y) i Q(x, y) to jest

nia, też funkcja F(x, y) + c, gdzie c ∈ R jest stała,. Ponadto, dwie funkcje

pierwotne F (x, y) i G(x, y) tej samej pary P (x, y) i Q(x, y) różnia, sie, co

najwyżej o stała,, tzn. G(x, y) = F(x, y) + c.
Przykład 3.28. Niech P (x, y) =

x

x

2

+y

2

i Q(x, y) =

y

x

2

+y

2

dla x

2

+ y

2

>

0. Ponieważ

∂P

∂y

=

−2xy

(x

2

+y

2

)

2

=

∂Q

∂x

, zatem całka krzywoliniowa zorientowana

(2,1)

R

(1,0)

xdx+ydy

x

2

+y

2

wzdłuż dowolnej krzywej przebiegaja,cej w górnej półpłaszczyźnie

y > 0 nie zależy od drogi całkowania.

Wyrażenie podcałkowe

x

x

2

+y

2

dx +

y

x

2

+y

2

dy jest różniczka, zupełna, funkcji

F (x, y) =

1
2

ln(x

2

+ y

2

) + c, gdzie c jest dowolna, stała,. Sta,d

(2,1)

Z

(1,0)

xdz + ydy

x

2

+ y

2

= F (2, 1) − F (1, 0) =

1
2

ln 5.

2

Niech funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be,da, cia,głe wraz z pochodnymi

cza,stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo jednospójnym.

Funkcje, F(x, y, z) taka,, że dla każdego (x, y, z) ∈ V

∂F

∂x

= P (x, y, z),

∂F

∂y

= Q(x, y, z),

∂F

∂z

= R(x, y, z)

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

32

nazywamy funkcja, pierwotna, trójki uporza,dkowanej funkcji P(x, y, z),

Q(x, y, z) i R(x, y, z).
Twierdzenie 3.29. Niech funkcje P (x, y, z), Q(x, y) i R(x, y, z) be,da, cia,głe

wraz z pochodnymi cza,stkowymi w obszarze przestrzennym V powierzchniowo

jednospójnym. Warunkiem koniecznym i wystarczaja,cym na to, aby całka
krzywoliniowa skierowana

B

R

A

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz nie za-

leżała od drogi całkowania w obszarze V , jest by istniała funkcja pierwotna
funkcji P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z), tzn. by dla każdego (x, y, z) ∈ V
spełnione były warunki:

∂R

∂y

=

∂Q

∂z

,

∂P

∂z

=

∂R

∂x

,

∂Q

∂x

=

∂P

∂y

.

Wartość całki jest wówczas określona wzorem

B

Z

A

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = F (B) − F (A).

Przykład 3.30. Niech P (x, y, z) = 2x−yz, Q(x, y, z) = 2y−xz i R(x, y, z) =
2z −xy. Ponieważ

∂R

∂y

= −x =

∂Q

∂z

,

∂P

∂z

= −y =

∂R

∂x

oraz

∂Q

∂x

= −z =

∂P

∂y

, zatem

całka krzywoliniowa zorientowana

(1,2,3)

R

(0,0,0)

(2x−yz)dx+(2y−xz)dy+(2z−xy)dz

nie zależy od drogi całkowania.

Wyrażenie podcałkowe (2x − yz)dx + (2y − xz)dy + (2z − xy)dz jest

różniczka, zupełna, funkcji F(x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

− xyz + c, gdzie c jest

dowolna, stała,. Sta,d

(1,2,3)

Z

(0,0,0)

(2x − yz)dx + (2y − xz)dy + (2z − xy)dz = F (1, 2, 3) − F (0, 0, 0) = 8.

2

4

Całka powierzchniowa.

4.1

Całka powierzchniowa niezorientowana.

Definicja 4.1. Niech D be,dzie obszarem płaskim regularnym ograniczonym

jedna, krzywa, K zamknie,ta,, kawałkami gładka, i niech f(x, y) be,dzie funkcja,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

33

określona, i cia,gła, w zbiorze D∪K, maja,ca, w obszarze D cia,głe i ograniczone

pochodne cza,stkowe. Gładkim płatem powierzchniowym (wzgle,dem płasz-

czyzny OXY ) nazywamy powierzchnie, S o równaniu:

z = f (x, y), (x, y) ∈ D.

W analogiczny sposób określamy gładki płat powierzchniowy wzgle,dem

płaszczyzny OXZ i OY Z.
Powierzchnia S ma w każdym swym punkcie płaszczyzne, styczna,.
Przykład 4.2. Wykres funkcji z = 2x − y + 2 rozważanej w obszarze D =
{(x, y) ∈ R

2

| 0 ¬ x ¬ 5, 0 ¬ y ¬ 2} jest gładkim płatem powierzchniowym.

2

Niech F (x, y, z) be,dzie funkcja, określona, w przestrzeni R

3

na gładkim

płacie powierzchniowym S o równaniu z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D. Podzielmy
obszar D na n obszarów regularnych D

1

, D

2

, . . . , D

n

o rozła,cznych wne,trzach

i oznaczmy przez S

1

, S

2

, . . . , S

n

cze,ści płata S odpowiadaja,ce podziałowi, o

polach równych odpowiednio ∆S

i

. Z każdego płata S

i

wybierzmy punkt p

i

i

utwórzmy sume,:

S

n

:=

n

X

i=1

F (p

i

)∆S

i

.

Definicja 4.3. Jeżeli istnieje granica lim

n→∞

S

n

, przy założeniu, że najwie,ksza

średnica obszarów cze,ściowych D

i

maleje do zera i granica ta nie zależy od

podziałów obszaru D ani od wyboru punktów p

i

, to granice, te, nazywamy

całka, powierzchniowa, niezorientowana, funkcji F(x, y, z) po płacie S i

oznaczamy

Z Z

S

F (x, y, z)ds.

W analogiczny sposób możemy określić całke, powierzchniowa, niezorien-

towana,, gdy S jest gładkim płatem powierzchniowym wzgle,dem płaszczyzny

OXZ lub OY Z.

Jeżeli S jest powierzchnia, dowolna,, daja,ca, sie, podzielić na skończona,

ilość płatów gładkich, to nazywamy ja, powierzchnia, kawałkami gładka,

i całka

R R

S

F (x, y, z)ds jest wówczas suma, całek po poszczególnych płatach.

Podstawowe własności całki powierzchniowej niezorientowanej sa, takie same

jak dla innych całek.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

34

Przykład 4.4. Niech w każdym punkcie powierzchni S funkcja F (x, y, z) =
1. Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie S określa pole powierzchni
S,

Z Z

S

ds =| S | .

2

Twierdzenie 4.5. (O zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na
całke, podwójna)

Jeżeli funkcja F (x, y, z) jest cia,gła na gładkim płacie powierzchniowym S o

równaniu z = f (x, y), (x, y) ∈ D, to całka powierzchniowa

R R

S

F (x, y, z)ds

istnieje i wyraża sie, wzorem:

Z Z

S

F (x, y, z)ds =

Z Z

D

F (x, y, f (x, y))

s

1 + (

∂f
∂x

(x, y))

2

+ (

∂f

∂y

(x, y))

2

dxdy.

W szczególności, dla F (x, y, z) = 1,

| S |=

Z Z

S

ds =

Z Z

D

s

1 + (

∂f
∂x

(x, y))

2

+ (

∂f

∂y

(x, y))

2

dxdy.

Przykład 4.6. Niech S be,dzie powierzchnia, o równaniu z =

√

x

2

+ y

2

,

której rzutem na płaszczyzne, OXY jest koło D = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+y

2

−2x ¬

0}. Wówczas

Z Z

S

(xy + yz + xz)ds =

Z Z

D

(xy + y

q

x

2

+ y

2

+ x

q

x

2

+ y

2

)

√

2dxdy =

32

3

√

2.

2

4.2

Całka powierzchniowa zorientowana.

Rozważmy gładki płat powierzchniowy S o równaniu z = f (x, y), (x, y) ∈ D.
Jest to powierzchnia dwustronna. Jeżeli wyróżnimy na tej powierzchni strone,

dodatnia, i strone, ujemna, to płat S nazwiemy płatem zorientowanym.

Wówczas −S oznaczać be,dzie płat różnia,cy sie, od S tylko orientacja,.

Niech na zorientowanym płacie S określone be,da, trzy funkcje cia,głe P(x, y, z),

Q(x, y, z) i R(x, y, z). Niech α, β i γ be,da, ka,tami, które oś normalna n do

powierzchni S, o zwrocie od strony ujemnej płata do jego strony dodatniej,
tworzy z osiami OX, OY i OZ układu współrze,dnych.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

35

Definicja 4.7. Całke, (o ile istnieje)

Z Z

S

(P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ)ds

nazywamy całka, powierzchniowa, zorientowana, i oznaczamy

Z Z

S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy.

(4.1)

Analogicznie określamy całke, powierzchniowa, zorientowana, po gładkim

płacie powierzchniowym wzgle,dem płaszczyzny OXZ lub OY Z.

Jeżeli zmienimy strone, dodatnia, płata S na ujemna,, to funkcje cos α,

cos β, cos γ zmienia, znaki i całka 4.1 zmieni znak. Sta,d

Z Z

−S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =

−

Z Z

S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy.

Przykład 4.8. Niech S be,dzie gładkim płatem powierzchniowym i niech

funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be,da, składowymi wektora pre,dkości

cieczy przepływaja,cej przez powierzchnie, S. Wówczas całka

R R

S

P (x, y, z)dydz+

Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy przedstawia obje,tość cieczy, jaka przepływa

w jednostce czasu przez powierzchnie, S ze strony ujemnej na dodatnia,. 2

W przypadku dowolnej powierzchni kawałkami gładkiej definicja kompli-

kuje sie,, ponieważ nie każda, taka, powierzchnie, można zorientować. Jest tak

np. gdy powierzchnia S jest jednostronna (np. wste,ga M¨obiusa).

Jeżeli natomiast powierzchnia S jest dwustronna, to orientuja,c każdy z

jej płatów określamy całke, powierzchniowa, zorientowana, po tej powierzchni

jako sume, całek po wszystkich płatach.
Twierdzenie 4.9. (O zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całke,

podwójna)
Jeżeli funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) sa, cia,głe na zorientowanym

gładkim płacie powierzchniowym S o równaniu z = f (x, y), (x, y) ∈ D,

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

36

to całka powierzchniowa zorientowana

R R

S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz +

R(x, y, z)dxdy istnieje i wyraża sie, wzorem:

Z Z

S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =

= ε

Z Z

D

(−P (x, y, f (x, y))

∂f
∂x

(x, y)−Q(x, y, f (x, y))

∂f

∂y

(x, y)+R(x, y, f (x, y)))dxdy,

gdzie ε = 1, gdy orientacja płata S jest tak dobrana, że cos γ > 0 oraz
ε = −1, gdy orientacja płata S jest tak dobrana, że cos γ < 0.

Analogicznie wzór jest prawdziwy dla całki powierzchniowej zorientowanej

po gładkim płacie powierzchniowym wzgle,dem płaszczyzny OXZ lub OY Z.
Przykład 4.10. Niech S be,dzie cze,ścia, płaszczyzny 2x + 3y + z − 6 = 0,

wycie,ta, płaszczyznami układu współrze,dnych i tak zorientowana,, że cos γ <

0. Równanie powierzchni S jest postaci:

z = 6 − 2x − 3y, (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R

2

| 0 ¬ x ¬ 3, 0 ¬ y ¬ 2 −

2
3

x}.

Sta,d

Z Z

S

xydydz + yzdxdz + xzdxdy =

= −

Z Z

D

(2xy + 3y(6 − 2x − 3y) + x(6 − 2x − 3y))dxdy = −

33

2

.

2

Przykład 4.11. Niech S be,dzie górna, półsfera, x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, z ­ 0,

zorientowana, tak, że cos γ < 0. Równanie powierzchni S jest postaci:

z =

q

R

2

− x

2

− y

2

, (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

¬ R

2

}.

Sta,d

Z Z

S

xz

2

dxdy =

Z Z

D

x(R

2

− x

2

− y

2

)dxdy = 0.

2

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

37

Twierdzenie 4.12. (Gaussa-Ostrogradskiego)

2

Niech V ⊂ R

3

be,dzie obszarem normalnym ze wzgle,du na wszystkie trzy

płaszczyzny układu współrze,dnych i niech brzeg S tego obszaru be,dzie po-

wierzchnia, odcinkami gładka, zorientowana, na zewna,trz obszaru V . Niech

funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be,da, cia,głe wraz z pochodnymi

∂P

∂x

,

∂Q

∂y

i

∂R

∂z

wewna,trz obszaru V i na jego brzegu S. Wówczas:

Z Z

V

Z

(

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

)dxdydz =

(4.2)

Z Z

S

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy.

Wzór (4.3) pozostaje prawdziwy dla obszarów przestrzennych V daja,cych

sie, podzielić na skończona, ilość obszarów normalnych.
Przykład 4.13. Niech S be,dzie zewne,trzna, strona, powierzchni sześcianu

V = {(x, y, z) ∈ R

3

| 0 ¬ x ¬ a, 0 ¬ y ¬ a, 0 ¬ z ¬ a}. Korzystaja,c z

twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Z Z

S

x

2

dydz + y

2

dxdz + z

2

dxdy =

Z Z

V

Z

2(x + y + z)dxdydz =

2

a

Z

0

dx

a

Z

0

dy

a

Z

0

(x + y + z)dz =

3
2

a

4

.

2

Przykład 4.14. Niech S be,dzie zewne,trzna, strona, powierzchni stożka V

o równaniu z

2

= x

2

+ y

2

, 0 ¬ z ¬ 2. Korzystaja,c z twierdzenia Gaussa-

Ostrogradskiego

Z Z

S

(x − z)dydz + (y − z)dxdz + (z − y)dxdy = 3

Z Z

V

Z

dxdydz = 8π.

2

2

Carl Gauss (1777-1855) - matematyk niemiecki

Michaił Ostrogradski (1801-1861) - matematyk rosyjski

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

38

Twierdzenie 4.15. (Stokesa)

3

Niech krzywa K be,dzie brzegiem gładkiego płata powierzchniowego S zo-

rientowanego tak, aby orientacja powierzchni S była zgodna z orientacja,

krzywej K tzn. tak, że dodatni obieg na krzywej K dookoła osi normalnej do
powierzchni S był równoskre,tny z dodatnim obiegiem na płaszczyźnie OXY

dookoła osi OZ. Niech funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) be,da, cia,głe

wraz z pochodnymi cza,stkowymi w obszarze otaczaja,cym powierzchnie, S.

Wtedy

Z

K

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

Z Z

S

(

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

)dydz + (

∂P

∂z

−

∂R

∂x

)dxdz + (

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

)dxdy.

Przykład 4.16. Niech K be,dzie okre,giem o równaniach x = r cos t, y =

sin t, z = k dla t ∈ [0, 2π], i orientacji zgodnej z kierunkiem wzrastaja,cego

parametru. Korzystaja,c z twierdzenia Stokesa

Z

K

xzdx + y

2

dy + zdz =

Z Z

S

xdxdz,

gdzie S oznacza dowolna, powierzchnie, gładka, o równaniu z = f(x, y), (x, y) ∈

D, której brzegiem jest krzywa K, o orientacji tak dobranej, by cos γ > 0.
Możemy zatem przyja,ć, że S jest powierzchnia, koła {(x, y, z) ∈ R

3

| x

2

+y

2

¬

r

2

, z = f (x, y) = k}. Wówczas

Z Z

S

xdxdz =

Z Z

D

−x

∂f

∂y

dxdy = 0.

2

5

Podstawowe poje,cia pola wektorowego

Definicja 5.1. Niech dane be,da, trzy funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z)

określone w obszarze przestrzennym V ⊂ R

3

. Jeżeli w obszarze V określona

jest funkcja przyporza,dkowuja,ca każdemu punktowi (x, y, z) ∈ V wektor W(x, y, z) :=

3

George Stokes (1819-1903) - irlandzki matematyk i fizyk

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

39

[P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)], to mówimy, że na obszarze V określone jest
pole wektorowe W . Obszar V nazywamy obszarem istnienia pola a funkcje
P (x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) składowymi pola W (x, y, z).

Definicja 5.2. Pole wektorowe W = [P, Q, R] nazywamy cia,głym (róż-

niczkowalnym, klasy C

k

) na obszarze V , jeżeli funkcje P (x, y, z), Q(x, y, z)

i R(x, y, z) sa, odpowiednio cia,głe (różniczkowalne, klasy C

k

) w tym obszarze.

Definicja 5.3. Pole wektorowe nazywamy jednostajnym, jeżeli wszystkie
wektory tego pola sa, równe tzn. maja, ten sam zwrot, kierunek i długość.

Niech na pewnym obszarze przestrzennym V be,dzie określone cia,głe pole

wektorowe W = [P, Q, R]. Niech S oznacza zorientowany gładki płat po-
wierzchniowy oraz K zamknie,ta, krzywa, gładka,, zawarte w V .
Definicja 5.4. Całke, powierzchniowa, zorientowana,

R R

S

P (x, y, z)dydz+

Q(x, y, z)dxdz+R(x, y, z)dxdy nazywamy strumieniem pola W = [P, Q, R]
przez powierzchnie, S.
Definicja 5.5. Całke, krzywoliniowa, zorientowana,

R

K

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+

R(x, y, z)dz nazywamy cyrkulacja, pola W = [P, Q, R] wzdłuż krzywej K.
Definicja 5.6. Niech w obszarze V be,dzie określona funkcja różniczkowalna

F (x, y, z). Powiemy, że pole W = [P, Q, R] jest gradientem funkcji F (x, y, z),
jeśli W = [

∂F

∂x

,

∂F

∂y

,

∂F

∂z

], co zapisujemy

W = gradF.

Funkcje, F nazywamy potencjałem pola W.

Nie każde pole wektorowe ma potencjał. Na mocy twierdzenia 3.29 warunkiem

koniecznym i wystarczaja,cym istnienia potencjału pola W = [P, Q, R] jest,

aby:

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

= 0,

∂P

∂z

−

∂R

∂x

= 0,

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= 0.

Przykład 5.7. Pole W = [y

2

, z

2

, x

2

] nie ma potencjału.

2

Niech w obszarze V be,dzie określone pole wektorowe W = [P, Q, R] klasy

C

1

.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

40

Definicja 5.8. Dywergencja, (wydajnościa,) pola wektorowego W = [P, Q, R]

nazywamy funkcje,

divW :=

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

.

Pole, w którym divW = 0 nazywamy polem bezźródłowym.

Definicja 5.9. Rotacja, (wirem) pola wektorowego W = [P, Q, R] nazywamy

wektor

rotW := [

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

,

∂P

∂z

−

∂R

∂x

,

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

].

Pole, w którym rotW = [0, 0, 0] nazywamy polem bezwirowym.

Przykład 5.10. Obszarem istnienia pola wektorowego W = [y

2

, z

2

, xy] jest

cała przestrzeń R

3

.

divW = 0 + 0 + 0 = 0,

czyli pole W jest bezźródłowe.

rotW = [x − 2z, −y, −2y].

Pole W nie ma potencjału, gdyż

∂R

∂y

−

∂Q

∂z

= y − 2z 6= 0.

2

Wniosek 5.11. Pole wektorowe W klasy C

1

ma potencjał F (x, y, z) wtedy i

tylko wtedy, gdy jest polem bezwirowym.

Wniosek 5.12. W polu wektorowym W klasy C

2

divrotW = 0.

Definicja 5.13. Operatorem wektorowym nabla nazywamy operator

∇ := (

∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z

).

Operator nabla można stosować do każdej funkcji różniczkowalnej F (x, y, z)

zmiennych x, y, z. Wynik operacji jest wektorem ∇F = [

∂F

∂x

,

∂F

∂y

,

∂F

∂z

], czyli

gradF = ∇F.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych.

41

Definicja 5.14. Laplasjanem nazywamy operator wektorowy

∆ :=

∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

+

∂

2

∂z

2

.

Laplasjan można stosować do każdej funkcji F (x, y, z) dwukrotnie róż-

niczkowalnej trzech zmiennych x, y, z. Wynik operacji jest funkcja, tych zmien-

nych.

Twierdzenie 5.15. Jeżeli pole wektorowe W ma potencjał F (x, y, z) w pew-
nym obszarze V , to

div(gradF ) = div(∇F ) = ∆F.

Przy odpowiednich założeniach znane już twierdzenia w interpretacji wek-

torowej orzekaja,, że:

(Tw. Gaussa-Ostrogradskiego) Całka potrójna z dywergencji pola wekto-

rowego W w obszarze V o brzegu gładkim S (przy czym pole jest klasy C

1

w obszarze V ∪ S, a normalna do S jest skierowana na zewna,trz V ) równa

sie, strumieniowi wektora pola W przez brzeg obszaru V .

(Tw. Stokesa) Cyrkulacja wektora pola W wzdłuż zamknie,tej krzywej

gładkiej K równa sie, strumieniowi rotacji wektora W przez zorientowana,

powierzchnie, S, której brzegiem jest krzywa K.

(Tw. o niezależności od drogi całkowania) Całka krzywoliniowa w polu

wektorowym W klasy C

1

nie zależy od drogi całkowania wtedy i tylko wtedy,

gdy rotW = [0, 0, 0].

Literatura

[1] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1979.

[2] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław, 2005.

[3] I. Dziubiński, L. Siewierski, Matematyka dla wyższych szkół technicznych,

tom 1, PWN, Warszawa, 1984.

[4] I. Dziubiński, L. Siewierski, Matematyka dla wyższych szkół technicznych,

tom 2, PWN, Warszawa, 1985.