Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

Agata Pilitowska

2007

1

Przestrzeń R

n

.

Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, N zbiór liczb naturalnych i niech
n ∈ N.

Rozważmy zbiór R

n

wszystkich uporza,dkowanych cia,gów n-wyrazowych

liczb rzeczywistych.

Cia,gi x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

n

nazywamy punktami (elementami,

wektorami) n-wymiarowej przestrzeni R

n

, zaś liczby x

1

, x

2

, . . . , x

n

∈ R współ-

rze,dnymi tych punktów.

Dwa elementy x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

), y = (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) ∈ R

n

uważamy za

równe, jeżeli maja, wszystkie współrze,dne równe, tzn. dla każdego 1 ¬ i ¬ n,

x

i

= y

i

. Zapis x 6= y oznacza, że warunek równości nie jest spełniony, czyli

dla co najmniej jednego 1 ¬ i ¬ n, x

i

6= y

i

.

Definicja 1.1. Odległość d(x, y) dwóch punktów x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) i y =

(y

1

, y

2

, . . . , y

n

) w przestrzeni R

n

określamy wzorem:

d(x, y) :=

q

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

+ · · · + (x

n

− y

n

)

2

.

Przykład 1.2. Zbiór R liczb rzeczywistych z odległościa, mie,dzy punktami

x = (x

1

) i y = (y

1

) określona, wzorem d(x, y) =| x

1

− y

1

| jest przestrzenia,

R

1

. Interpretacja, geometryczna, tej przestrzeni jest prosta.

2

Przykład 1.3. Zbiór par uporza,dkowanych liczb rzeczywistych z odległościa,

mie,dzy punktami x = (x

1

, x

2

) i y = (y

1

, y

2

) określona, wzorem d(x, y) =

q

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

jest przestrzenia, R

2

. Interpretacja, geometryczna, tej

przestrzeni jest płaszczyzna.

2

1

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

2

Przykład 1.4. Zbiór trójek uporza,dkowanych liczb rzeczywistych z odleg-

łościa, mie,dzy punktami x = (x

1

, x

2

, x

3

) i y = (y

1

, y

2

, y

3

) określona, wzorem

d(x, y) =

q

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

+ (x

3

− y

3

)

2

jest przestrzenia, R

3

. Inter-

pretacja, geometryczna, tej przestrzeni jest przestrzeń trójwymiarowa.

2

Z definicji wynika, że odległość dwóch punktów w przestrzeni R

n

zawsze

jest liczba, rzeczywista,, nieujemna,. Ponadto spełnia naste,puja,ce warunki:

• d(x, y) = 0 ⇔ x = y

• d(x, y) = d(y, x) (prawo symetrii)

• d(x, y) + d(y, z) ­ d(x, z) (nierówność trójka,ta)

1.1

Zbiory w przestrzeni R

n

.

Otoczenie i sa,siedztwo.

Definicja 1.5. Otoczeniem O(p; r) punktu p = (p

1

, . . . , p

n

) o promieniu

r ∈ R

+

nazywamy zbiór O(p; r) = {x = (x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

| d(p, x) < r}.

Definicja 1.6. Sa,siedztwem S(p; r) punktu p = (p

1

, . . . , p

n

) o promieniu

r ∈ R

+

nazywamy zbiór S(p; r) = {x = (x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

| 0 < d(p, x) < r}.

Przykład 1.7. W przestrzeni R

1

otoczenie punktu p = (p

1

) o promieniu

r ∈ R

+

jest przedziałem otwartym O(p; r) = (p

1

− r, p

1

+ r).

2

Przykład 1.8. W przestrzeni R

2

otoczenie punktu p = (p

1

, p

2

) o promieniu

r ∈ R

+

jest wne,trzem koła O(p; r) = {(x

1

, x

2

) | (x

1

−p

1

)

2

+(x

2

−p

2

)

2

< r

2

} o

środku w punkcie p = (p

1

, p

2

) i promieniu r. Sa,siedztwo S(p; r) jest wne,trzem

tego koła bez punktu p.

2

Przykład 1.9. W przestrzeni R

3

otoczenie punktu p = (p

1

, p

2

, p

3

) o promieniu

r ∈ R

+

jest wne,trzem kuli O(p; r) = {(x

1

, x

2

, x

3

) | (x

1

− p

1

)

2

+ (x

2

− p

2

)

2

+

(x

3

− p

3

)

2

< r

2

} o środku w punkcie p = (p

1

, p

2

, p

3

) i promieniu r, natomiast

sa,siedztwo S(p; r) jest wne,trzem tej kuli bez punktu p.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

3

Zbiory otwarte i domknie,te.

Definicja 1.10. Punkt x ∈ R

n

jest punktem wewne,trznym zbioru A ⊆

R

n

, jeżeli zbiór A zawiera pewne otoczenie punktu x. Zbiór wszystkich punktów

wewne,trznych zbioru A nazywamy jego wne,trzem i oznaczamy IntA.

Punkt x ∈ R

n

jest punktem zewne,trznym zbioru A ⊆ R

n

, jeżeli istnieje

otoczenie punktu x, które nie zawiera sie, w zbiorze A.

Punkt x ∈ R

n

jest punktem brzegowym zbioru A ⊆ R

n

, jeżeli nie jest

ani punktem wewne,trznym, ani punktem zewne,trznym tego zbioru. Brzegiem

zbioru A jest zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru.

Punkt x ∈ R

n

jest zatem punktem brzegowym zbioru A, jeśli w każdym

otoczeniu tego punktu znajduje sie, zarówno punkt należa,cy do zbioru A jak

i punkt, który do tego zbioru nie należy.

Przykład 1.11. Niech A := {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

> 0}. Każdy punkt

zbioru A jest jego punktem wewne,trznym. Każdy punkt należa,cy do zbioru

{(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

< 0} jest punktem zewne,trznym zbioru A.

2

Przykład 1.12. Niech A := {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| 0 < x

1

¬ 1, 0 < x

2

< 1}. Punkt

(1,

1
2

) jest punktem brzegowym zbioru A i należy do tego zbioru. Punkt (1, 1)

jest także punktem brzegowym tego zbioru, ale do niego nie należy.

2

Przykład 1.13. Brzegiem koła {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

2

1

+ x

2

2

¬ 1} jest okra,g

{(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

2

1

+ x

2

2

= 1}.

2

Definicja 1.14. Zbiór A ⊂ R

n

jest ograniczony, jeżeli istnieje punkt p ∈

R

n

i taka liczba rzeczywista r > 0, że A ⊂ O(p; r). Zbiór A ⊂ R

n

jest

nieograniczony, gdy takie otoczenie O(p; r) nie istnieje.

Przykład 1.15. W przestrzeni R

2

zbiór jest ograniczony wtedy i tylko

wtedy, gdy jest podzbiorem wne,trza koła o środku w pocza,tku układu współ-

rze,dnych i określonym promieniu r. Jeżeli koło takie nie istnieje, to zbiór jest

nieograniczony.

2

Definicja 1.16. Zbiór A ⊂ R

n

jest skończony , jeżeli należy do niego

dokładnie n ∈ N punktów. Zbiór A jest nieskończony, jeżeli nie jest on ani
pusty ani skończony.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

4

Przykład 1.17. Zbiór {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

= 1} ∩ {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

|

x

2

1

+ x

2

2

= 4} jest skończony i należa, do niego dwa punkty.

Zbiór {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

= 1} jest nieskończony.

2

Zbiór ograniczony może być skończony albo nieskończony. Każdy zbiór

skończony jest ograniczony.

Definicja 1.18. Zbiór A ⊆ R

n

jest zbiorem otwartym, jeżeli każdy jego

punkt jest punktem wewne,trznym zbioru A.
Przykład 1.19. Zbiory A = {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

> 0} oraz B =

{(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

| x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

< 1} sa, zbiorami otwartymi.

2

Definicja 1.20. Punkt x ∈ R

n

jest punktem skupienia zbioru A ⊂ R

n

,

jeśli każde sa,siedztwo S(x, r) tego punktu zawiera punkt ze zbioru A.

Punkty wewne,trzne i brzegowe zbioru otwartego sa, jego punktami sku-

pienia.

Przykład 1.21. Niech A := {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

2

1

+ x

2

2

< 4}. Punkt (0, 0)

należy do zbioru A i jest jego punktem skupienia. Punkt (2, 0) nie należy
do zbioru A, ale także jest jego punktem skupienia, ponieważ w każdym
sa,siedztwie S((2, 0), r) znajduja, sie, punkty zbioru A.

2

Przykład 1.22. Niech A ⊂ R

3

oznacza zbiór be,da,cy suma, płaszczyzny

OXY oraz zbioru jedno-elementowego {(0, 0, 2)}. Punkt (0, 0, 2) należy do
zbioru A, ale nie jest jego punktem skupienia, ponieważ istnieje sa,siedztwo

S((0, 0, 2), 1) nie zawieraja,ce żadnego punktu ze zbioru A.

2

Każde otoczenie punktu skupienia zbioru A ⊆ R

n

musi zawierać nie-

skończenie wiele punktów z tego zbioru. Zatem żaden skończony podzbiór
przestrzeni R

n

nie ma punktów skupienia.

Definicja 1.23. Zbiór A ⊆ R

n

jest zbiorem domknie,tym, jeśli zawiera

wszystkie swoje punkty skupienia. Domknie,ciem A zbioru A nazywamy naj-

mniejszy zbiór domknie,ty zawieraja,cy A.

Z definicji wynika, że dla każdego zbioru domknie,tego A mamy A = A.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

5

Przykład 1.24. Zbiorami domknie,tymi sa,: koło {(x

1

, x

2

∈ R

2

| x

2

1

+x

2

2

¬ 1}

na płaszczyźnie, zbiór {(x

1

, 0) | x

1

∈ R}, cała płaszczyzna.

2

Cała przestrzeń R

n

i zbiór pusty ∅ sa, jednocześnie zbiorami otwartymi i

domknie,tymi.
Przykład 1.25. Rozważmy zbiór A := {(x

1

, x

2

) | 0 < x

1

¬ 1, 0 < x

2

<

1} ⊆ R

2

. Zbiór A nie jest zbiorem otwartym, ponieważ zawiera punkt (1,

1
2

),

który nie jest jego punktem wewne,trznym. Nie jest to także zbiór domknie,ty,

ponieważ nie zawiera punktu (1, 1), który jest jego punktem skupienia. Zatem
zbiór A nie jest ani otwarty ani domknie,ty.

2

Definicja 1.26. Punkt x ∈ A ⊆ R

n

, który nie jest punktem skupienia zbioru

A jest punktem odosobnionym tego zbioru.

Przykład 1.27. Punkt (1, 2) jest punktem odosobnionym zbioru
A = {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| x

1

+ x

2

= 1} ∪ {(1, 2)}.

2

Prawdziwe sa, naste,puja,ce fakty:
• Suma zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

• Przecie,cie zbiorów domknie,tych jest zbiorem domknie,tym.
• Dla każdego zbioru A ⊆ R

n

, A ⊆ A.

• Jeżeli zbiór A ⊆ R

n

jest zbiorem otwartym, to zbiór R

n

\A jest zbiorem

domknie,tym.

• Jeżeli zbiór A ⊆ R

n

jest zbiorem domknie,tym, to zbiór R

n

\ A jest

zbiorem otwartym.

• Suma zbioru i jego brzegu jest zbiorem domknie,tym.

Definicja 1.28. Zbiór A ⊆ R

n

jest spójny , jeżeli przy każdym rozkładzie

na dwa niepuste, rozła,czne zbiory A

1

i A

2

, przynajmniej jeden ze zbiorów A

1

,

A

2

ma punkt skupienia należa,cy do drugiego zbioru.
Zbiór A ⊆ R

n

jest spójny, jeżeli przy każdym rozkładzie na dwa niepuste,

rozła,czne zbiory A

1

i A

2

, zbiory A

1

∩ A

2

i A

1

∩ A

2

nie sa, jednocześnie puste.

Cała przestrzeń R

n

jest zbiorem spójnym. Zbiór spójny może być zarówno

ograniczony jak i nieograniczony.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

6

Przykład 1.29. Każdy odcinek prostej jest zbiorem spójnym. Gdy odrzucimy
z niego dowolny punkt wewne,trzny przestanie być zbiorem spójnym.

2

Przykład 1.30. Okra,g jest zbiorem spójnym i pozostanie spójny, gdy od-

rzucimy z niego jeden punkt. Gdy odrzucimy z niego dwa różne punkty
przestanie być zbiorem spójnym.

2

Definicja 1.31. Zbiór otwarty i spójny nazywamy obszarem.
Domknie,cie obszaru nazywamy obszarem domknie,tym.

1.2

Krzywe w przestrzeni R

n

.

Definicja 1.32. Niech x

1

(t), x

2

(t), . . . , x

n

(t) be,da, funkcjami cia,głymi w prze-

dziale domknie,tym [α, β] o wartościach rzeczywistych. Dla przekształcenia

ϕ : [α, β] → R

n

; ϕ(t) := (x

1

(t), x

2

(t), . . . , x

n

(t))

zbiór {ϕ(t) | t ∈ [α, β]} nazywamy krzywa, o przedstawieniu parametrycznym

x

1

(t), x

2

(t), . . . , x

n

(t) a zmienna, t - parametrem.

Punkt A = (x

1

(α), x

2

(α), . . . , x

n

(α)) nazywamy pocza,tkiem krzywej, natomiast

punkt B = (x

1

(β), x

2

(β), . . . , x

n

(β)) - końcem krzywej.

Jeśli A 6= B, to krzywa, nazywamy otwarta,, jeśli A = B to krzywa, nazywamy

zamknie,ta,.

Jeżeli przekształcenie ϕ jest różnowartościowe dla t ∈ (α, β), to krzywa,

{ϕ(t) | t ∈ [α, β]} nazywamy łukiem (zwykłym) w przestrzeni R

n

.

Łuk zwykły nie ma punktów wielokrotnych (jest krzywa, nie przecinaja,ca,

sie, ze soba,).
Przykład 1.33. Linia śrubowa jest krzywa, w przestrzeni R

3

o naste,puja,cym

przedstawieniu parametrycznym:

x

1

(t) = r cos t

x

2

(t) = r sin t

x

3

(t) =

t,

dla t ∈ [0, 2π].

Pocza,tkiem krzywej jest punkt A = (r, 0, 0) natomiast końcem punkt B =

(r, 0, 2π).

2

Krzywa może być określona różnymi równaniami parametrycznymi.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

7

Przykład 1.34. Górny półokra,g okre,gu x

2

+ y

2

= r

2

ma dwa różne przed-

stawienia parametryczne:

x

1

(t) = r cos t

x

2

(t) = r sin t dla t ∈ [0, π]

oraz

x

1

(t) = r cos 2t

x

2

(t) = r sin 2t dla t ∈ [0,

π

2

].

2

Definicja 1.35. Krzywa, {ϕ(t) = (x

1

(t), x

2

(t), . . . , x

n

(t)) | t ∈ [α, β]} nazywamy

łukiem gładkim, jeśli jest łukiem zwykłym oraz wszystkie funkcje
x

1

(t), x

2

(t), . . . , x

n

(t) maja, na przedziale [α, β] cia,głe pierwsze pochodne i

spełniaja, warunek:

n

X

i=1

(

dx

i

dt

)

2

> 0.

(1.1)

Łuk gładki ma w każdym punkcie (wewne,trznym i końcowym) styczna,

zmieniaja,ca, sie, w sposób cia,gły.
Przykład 1.36. Linia śrubowa jest łukiem gładkim.

2

Definicja 1.37. Krzywa, nazywamy krzywa, kawałkami gładka,, jeżeli daje

sie, podzielić na skończona, ilość łuków gładkich.

Krzywa kawałkami gładka może mieć skończona, liczbe, punktów, w których

nie da sie, poprowadzić stycznej. Sa, to tzw. ostrza krzywej.
Przykład 1.38. Asteroida - krzywa określona równaniami:

x

1

= r cos

3

t

x

2

= r sin

3

t dla t ∈ [0, 2π]

jest krzywa, kawałkami gładka,, gdyż można ja, przedstawić jako sume, czterech

łuków regularnych. Asteroida ma cztery ostrza.

2

Definicja 1.39. Obszarem łukowo spójnym nazywamy zbiór otwarty,
którego każde dwa punkty można poła,czyć łukiem całkowicie w nim zawartym.

Każdy obszar łukowo spójny jest spójny.

Definicja 1.40. Krzywa Jordana jest to krzywa zamknie,ta bez punktów

wielokrotnych.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

8

Przykład 1.41. Krzywymi Jordana w przestrzeni R

2

sa,: okra,g, elipsa, ła-

mana be,da,ca brzegiem wieloka,ta wypukłego.

2

Płaska krzywa Jordana dzieli płaszczyzne, na dwa obszary. Jeden z tych

obszarów jest ograniczony i nazywamy go wne,trzem krzywej Jordana. Drugi

z nich jest nieograniczony i zwany jest zewne,trzem krzywej.
Definicja 1.42. Obszar w przestrzeni R

2

nazywamy jednospójnym, jeśli jest

ograniczony jedna, krzywa, Jordana.
Przykład 1.43. Obszarem jednospójnym sa,: prostoka,t bez brzegu, koło bez

brzegu, cała płaszczyzna.

2

Obszary jednospójne, jeśli zawieraja, pewna, krzywa, Jordana, to zawieraja,

całe jej wne,trze.
Definicja 1.44. Obszar w przestrzeni R

2

ograniczony p krzywymi Jordana

nieprzecinaja,cymi sie, nazywamy p-jednospójnym.
Przykład 1.45. Obszarem 2-spójnym jest pierścień {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

| r

2

1

<

x

2

1

+ x

2

2

< r

2

2

}, dla 0 < r

1

< r

2

.

2

Uwaga 1.46. Cała przestrzeń jest zbiorem otwartym i spójnym, a wie,c jest

obszarem. Jest to obszar nieograniczony pozbawiony brzegu. Zaliczamy go
do obszarów jednospójnych.

Definicja 1.47. Obszar D w przestrzeni R

3

nazywamy powierzchniowo

jednospójnym, jeśli od każdej krzywej kawałkami gładkiej zawartej w tym
obszarze i ła,cza,cej dwa dowolne ustalone punkty tego obszaru można ”przejść”

w sposób cia,gły (bez odrywania) do każdej innej krzywej ła,cza,cej te punkty i

należa,cej do tego obszaru.
Przykład 1.48. Obszarami powierzchniowo jednospójnymi sa, wne,trze kuli,

wne,trze stożka, wne,trze walca, wne,trze graniastosłupu, cała przestrzeń R

3

.

Natomiast kula bez średnicy nie jest obszarem powierzchniowo jednospójnym.
2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

9

2

Rachunek różniczkowy funkcji wielu
zmiennych.

Funkcje n-zmiennych rzeczywistych.

Niech A ⊆ R

n

. Jeżeli każdemu elementowi x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ A przypo-

rza,dkujemy dokładnie jedna, liczbe, w ∈ R, to powiemy że w zbiorze A ⊆ R

n

została określona funkcja f : A → R n-zmiennych x

1

, x

2

, . . . , x

n

.

Zmienne x

1

, x

2

, . . . , x

n

∈ A nazywamy zmiennymi niezależnymi. Liczbe,

w ∈ R przyporza,dkowana, elementowi x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) nazywamy wartościa,

funkcji f w punkcie x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

). Piszemy wówczas w = f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

lub krótko w = f (x).

Zbiór A nazywamy dziedzina, funkcji f, zaś zbiór f(A) = {w = f(x) ∈

R | x ∈ A} wartości funkcji nazywamy przeciwdziedzina, tej funkcji.

Jeżeli f jest funkcja, określona, pewnym wzorem i nie ma przy tym dodatkowych

założeń, to przez dziedzine, funkcji n-zmiennych niezależnych

x

1

, x

2

, . . . , x

n

rozumieć be,dziemy zbiór tych wszystkich punktów

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

), dla których wzór określaja,cy funkcje, f ma sens.

Przykład 2.1.

1. f : R

2

→ R; w = f (x

1

, x

2

) :=







0,

x

2

¬ x

1

1

√

2

| x

1

− x

2

|, x

2

> x

1

2. f : R

2

→ R; w = f (x

1

, x

2

) :=















1, x

1

, x

2

∈ Q

0, x

1

, x

2

/

∈ Q

1, x

1

∈ Q, x

2

/

∈ Q lub x

1

/

∈ Q, x

2

∈ Q

3. f : R

2

→ R; w = f (x

1

, x

2

) := x

2

1

+ x

2

2

.

4. f : R

2

→ R; w = f (x

1

, x

2

) :=

q

1 − x

2

1

− x

2

2

.

Dziedzina, funkcji f jest zbiór A = {(x

1

, x

2

) | x

2

1

+ x

2

2

¬ 1} ⊆ R

2

.

5. f : R

3

→ R; w = f (x

1

, x

2

, x

3

) := x

2

1

+ x

2

2

+

√

x

3

.

Dziedzina, funkcji f jest zbiór A = {(x

1

, x

2

, x

3

) | x

3

­ 0} ⊆ R

3

.

6. f : R

n

→ R; w = f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) :=

q

x

2

1

+ x

2

2

+ · · · + x

2

n

.

Funkcja f określa odległość dowolnego punktu x ∈ R

n

od pocza,tku

układu współrze,dnych.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

10

Funkcje, f : A → R, A ⊆ R

2

dwóch zmiennych można interpretować

geometrycznie. Niech OXY Z be,dzie prostoka,tnym układem współrze,dnych.

Każdemu punktowi (x

1

, x

2

) ∈ A przyporza,dkowany jest dokładnie jeden

punkt (x

1

, x

2

, w) ∈ R

3

, przy czym w = f (x

1

, x

2

).

Definicja 2.2. Zbiór S := {(x

1

, x

2

, f (x

1

, x

2

)) | (x

1

, x

2

) ∈ A} nazywamy

wykresem funkcji f : A → R dwóch zmiennych.

Jeżeli w każdym punkcie x = (x

1

, x

2

) ∈ A odłożymy na prostopadłej do

płaszczyzny OXY , wystawionej z punktu x, wartość f (x

1

, x

2

), to zbiór S

wszystkich punktów (x

1

, x

2

, f (x

1

, x

2

)) tworzy na ogół pewna, powierzchnie,.

Równanie x

3

= f (x

1

, x

2

), (x

1

, x

2

) ∈ A jest wówczas równaniem tej powierzchni.

Sporza,dzenie wykresu funkcji dwóch zmiennych jest cze,sto dość trudne.

Przykład 2.3. Wykresem funkcji dwóch zmiennych f : R

2

→ R, f (x

1

, x

2

) =

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

jest paraboloida eliptyczna o równaniu x

3

=

x

2

1

a

2

+

x

2

2

b

2

.

2

Definicja 2.4. Funkcje, f : A → R nazywamy funkcja, ograniczona, w

zbiorze A, jeżeli istnieje taka liczba m ∈ R, że dla każdego x ∈ A, | f (x) |¬ m.

Przykład 2.5. Funkcja f (x

1

, x

2

) = sin(x

1

− x

2

) jest ograniczona na całej

płaszczyźnie (dla m = 1).
Funkcja f (x

1

, x

2

) = ln(x

2

1

+ x

2

2

) nie jest ograniczona w sa,siedztwie pocza,tku

układu współrze,dnych. Jest natomiast ograniczona w pierścieniu {(x

1

, x

2

) ∈

R

2

| 1 < x

2

1

+ x

2

2

< e

2

} (dla m = 2).

2

W przypadku, gdy wymiar przestrzeni n jest niewielki (n = 1, 2, 3), cze,sto

zamiast indeksów be,dziemy używać różnych liter do wyróżnienia kolejnych

współrze,dnych.

2.1

Granica i cia,głość funkcji n-zmiennych rzeczywistych.

Definicja 2.6. Cia,giem punktów w przestrzeni R

n

nazywamy przyporza,d-

kowanie każdej liczbie naturalnej punktu przestrzeni R

n

. Wartość tego przy-

porza,dkowania dla liczby naturalnej k nazywamy k-tym wyrazem cia,gu. Cia,g

oznaczamy (x

k

).

Rozważmy cia,g punktów (x

k

) przestrzeni R

n

i niech x

k

= (x

1k

, x

2k

, . . . , x

nk

)

dla k ∈ N.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

11

Definicja 2.7. Cia,g punktów (x

k

) jest zbieżny do punktu p

0

∈ R

n

, co

zapisujemy lim

k→∞

x

k

= p

0

lub x

k

→ p

0

gdy k → ∞, jeżeli w dowolnym

otoczeniu tego punktu znajduja, sie, prawie wszystkie wyrazy cia,gu.

Cia,g (x

k

) jest zbieżny do punktu p

0

, jeżeli odległości d(x

k

, p

0

) punktów

x

k

od punktu p

0

da,ża, do zera, gdy k → ∞, czyli gdy lim

k→∞

d(x

k

, p

0

) = 0.

Twierdzenie 2.8. Cia,g (x

k

) jest zbieżny do punktu p

0

= (p

10

, p

20

, . . . , p

n0

) ∈

R

n

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 1 ¬ i ¬ n,

lim

k→∞

x

ik

= p

i0

.

Przykład 2.9. Cia,g punktów (x

k

) = (

1
k

,

2−k

2k+1

,

k

k+1

) w przestrzeni R

3

jest

zbieżny do punktu p

0

= (0, −

1
2

, 1).

2

Granica wielokrotna.

Niech f : A → R be,dzie funkcja, n-zmiennych określona, w zbiorze A i niech

p

0

be,dzie punktem skupienia tego zbioru.

Definicja 2.10. (Definicja Heinego

1

granicy funkcji.)

Liczbe, g ∈ R nazywamy granica, funkcji f : A → R w punkcie p

0

, jeżeli

dla każdego cia,gu punktów (x

k

) o wyrazach należa,cych do zbioru A, różnych

od punktu p

0

i zbieżnego do p

0

, cia,g (f(x

k

)) jest zbieżny do g.

Jeżeli liczba g ∈ R jest granica, funkcji f : A → R w punkcie p

0

, to

zapisujemy

lim

x→p

0

f (x) = g,

lub

f (x) → g, gdy x → p

0

.

Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej możemy podać również definicje,

Cauchy’ego granicy funkcji wielu zmiennych.

Definicja 2.11. (Definicja Cauchy’ego

2

granicy funkcji.)

Liczbe, g ∈ R nazywamy granica, funkcji f : A → R w punkcie p

0

, jeżeli

∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(x ∈ A)(0 < d(x, p

0

) < δ) ⇒ (| f (x) − g |< ε).

1

Eduard Heinrich Heine (1821-1881) - matematyk niemiecki

2

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematyk i fizyk francuski

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

12

Powyższy warunek oznacza, że wartość funkcji f (x) różni sie, od liczby g

dowolnie mało, jeżeli punkt x jest położony dostatecznie blisko punktu p

0

.

Zauważmy, że funkcja f może wcale nie być określona w punkcie f (p

0

).

Granice, funkcji n-zmiennych nazywamy także granica, n-krotna,. W

przypadku funkcji dwóch zmiennych granica, podwójna,. Granice, funkcji dwóch

zmiennych f (x, y) w punkcie (x

0

, y

0

) zwykle oznaczamy:

lim

(x,y)→(x

0

,y

0

)

f (x, y) lub lim

x→x0

y→y0

f (x, y).

Definicje Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji dwóch zmiennych sa, rów-

noważne. W niektórych zagadnieniach wygodniej jest posłużyć sie, definicja,

Heinego, w innych zaś definicja, Cauchy’ego. Z praktycznego punktu widzenia

definicja Heinego zawiera wie,cej elementów konstrukcyjnych. Cze,sto korzys-

tamy z niej chca,c wykazać, że pewna granica nie istnieje. Wystarczy wówczas

pokazać, że istnieja, takie dwa cia,gi (x

1

k

) i (x

2

k

) punktów dziedziny rozważanej

funkcji zbieżne do punktu p

0

, ale od niego różne, dla których odpowiednie

cia,gi wartości funkcji f(x

1

k

) i f (x

2

k

) nie sa, zbieżne do tej samej granicy g.

Przykład 2.12. Dla x 6= y

lim

x→0
y→0

x

3

− y

3

x − y

= 0.

2

Przykład 2.13. Granica podwójna

lim

x→0
y→0

xy

x

2

+ y

2

nie istnieje.

2

Definicja 2.14. Jeżeli dla każdego cia,gu punktów (x

k

) o wyrazach należa,cych

do zbioru A, różnych od punktu p

0

i zbieżnego do p

0

, odpowiadaja,cy mu cia,g

wartości funkcji f (x

k

) jest rozbieżny do +∞ (−∞), to mówimy, że rozważana

funkcja ma w punkcie p

0

granice, niewłaściwa, +∞ (−∞) i zapisujemy:

lim

x→p

0

f (x) = +∞ (−∞).

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

13

Twierdzenie 2.15. Jeżeli funkcje f, h : A → R maja, w punkcie p

0

odpowiednio

granice g

1

i g

2

, to

lim

x→p

0

(f (x) ± h(x)) = g

1

± g

2

,

lim

x→p

0

(f (x) · h(x)) = g

1

· g

2

,

lim

x→p

0

f (x)
h(x)

=

g

1

g

2

, gdy g

2

6= 0 oraz ∀(x ∈ A)h(x) 6= 0.

Granice iterowane.

Niech A := X × Y ⊆ R

2

.

Definicja 2.16. Załóżmy, że przy ustalonym y ∈ Y istnieje granica funkcji
f przy x → x

0

. Granica lim

x→x

0

f (x, y) = ϕ(y) zależy od ustalonego y ∈ Y .

Jeżeli przy y → y

0

istnieje granica

lim

y→y

0

ϕ(y) = lim

y→y

0

( lim

x→x

0

f (x, y)),

to nazywamy ja, granica, iterowana, funkcji f(x, y) w punkcie (x

0

, y

0

), gdy

najpierw x → x

0

a naste,pnie y → y

0

.

Załóżmy, teraz że przy ustalonym x ∈ X istnieje granica funkcji f przy
y → y

0

. Granica lim

y→y

0

f (x, y) = φ(x) zależy od ustalonego x ∈ X. Jeżeli przy

x → x

0

istnieje granica

lim

x→x

0

φ(y) = lim

x→x

0

( lim

y→y

0

f (x, y)),

to nazywamy ja, granica, iterowana,

3

funkcji f (x, y) w punkcie (x

0

, y

0

), gdy

najpierw y → y

0

a naste,pnie x → x

0

.

Funkcja f dwu zmiennych niezależnych x i y może mieć dwie granice

iterowane, które różnia, sie, kolejnościa, przejścia do granicy.

Istnienie granicy funkcji w punkcie (x

0

, y

0

) jest niezależne od istnienia granic

iterowanych. Granica podwójna funkcji f (x, y) może nie istnieć, natomiast
granice iterowane istnieja, i na odwrót.
Twierdzenie 2.17. Jeżeli istnieje granica podwójna i co najmniej jedna z
granic iterowanych, to granica podwójna jest równa tej granicy iterowanej.

3

Termin granica iterowana pochodzi od łacińskiego słowa iterare - powtarzać.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

14

Przykład 2.18. Granice iterowane w punkcie (0, 0) funkcji

f (x, y) =

2x − y + x

2

+ y

2

x + y

, dla x + y 6= 0

istnieja,, ale sa, różne. Zatem funkcja f(x, y) nie posiada w punkcie (0, 0)

granicy podwójnej.

2

Przykład 2.19. W punkcie (0, 0) istnieje tylko jedna z granic iterowanych
funkcji

f (x, y) = x sin(

1
y

), dla y 6= 0.

Ale funkcja ta ma w punkcie (0, 0) granice, podwójna, równa, 0.

2

Cia,głość funkcji n-zmiennych.

Niech A ⊆ R

n

.

Definicja 2.20. Funkcja f : A → R jest cia,gła w punkcie p

0

∈ A, jeżeli

dla każdego cia,gu (x

k

) punktów zbioru A zbieżnego do punktu p

0

,

lim

k→∞

f (x

k

) = f (p

0

).

Cia,głość funkcji f w punkcie p

0

oznacza, że

lim

x→p

0

f (x) = f (p

0

).

Funkcja jest cia,gła w pewnym zbiorze, jeżeli jest cia,gła w każdym punkcie

tego zbioru.

Przykład 2.21. Funkcja f (x, y) =

x

x

2

+y

2

jest cia,gła w punkcie x

0

= (1, 1),

ponieważ f (1, 1) =

1
2

oraz lim

x→1
y→1

x

x

2

+y

2

=

1
2

.

2

Przykład 2.22. Funkcja f (x, y) = x

2

+xy+y

3

jest cia,gła na całej płaszczyźnie

R

2

.

Funkcja f (x, y) = ln(x + y) jest cia,gła w każdym punkcie dziedziny.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

15

Jeżeli funkcja f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) n-zmiennych określona w pewnym otoczeniu

punktu p

0

= (p

10

, p

20

, . . . , p

n0

) jest w tym punkcie cia,gła, to dla każdego

1 ¬ i ¬ n, funkcja f (p

10

, p

20

, . . . , p

(i−1)0

, x

i

, p

(i+1)0

, . . . , p

n0

) jednej zmiennej

x

i

jest cia,gła w punkcie p

0

. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przykład 2.23. Funkcja dwóch zmiennych

f (x, y) :=







xy

x

2

+y

2

, x

2

+ y

2

> 0

0,

x

2

+ y

2

= 0

nie jest cia,gła w punkcie (0, 0), ponieważ granica podwójna funkcji f nie

istnieje w tym punkcie.
Natomiast funkcja f (x, 0) ≡ 0 jest cia,gła w punkcie x = 0 oraz funkcja

f (0, y) ≡ 0 jest cia,gła w punkcie y = 0.

2

Twierdzenie 2.24. Jeżeli funkcje f i h sa, cia,głe w punkcie p

0

, to suma,

różnica i iloczyn tych funkcji sa, funkcjami cia,głymi w tym punkcie. Iloraz

jest funkcja, cia,gła, przy dodatkowym założeniu, że dzielenie jest wykonalne.
Twierdzenie 2.25. (Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku.)
Jeżeli funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu p

0

, jest w tym punkcie

cia,gła i f(p

0

) > 0 (albo f (p

0

) < 0), to istnieje takie sa,siedztwo S punktu

p

0

, że dla każdego punktu x ∈ S jest spełniona nierówność f (x) > 0 (albo

f (x) < 0).

Twierdzenie 2.26. (Twierdzenie o ograniczoności funkcji.)
Jeżeli funkcja f jest cia,gła w obszarze domknie,tym i ograniczonym, to jest w

tym obszarze ograniczona.

Jeżeli funkcja f jest cia,gła w obszarze domknie,tym i nieograniczonym

albo w obszarze ograniczonym, to może być nieograniczona w tym obszarze.

Przykład 2.27. Funkcja f (x, y) = x +

√

y jest cia,gła w półpłaszczyźnie

domknie,tej {(x, y) ∈ R

2

| y ­ 0}, czyli w obszarze domknie,tym i nieograni-

czonym, i jest w tym obszarze nieograniczona.

2

Przykład 2.28. Funkcja f (x, y) =

1

1−x

2

−y

2

jest cia,gła w obszarze ograniczo-

nym {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

< 1}, ale nie jest w tym obszarze ograniczona.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

16

Funkcja cia,gła w obszarze domknie,tym i ograniczonym ma te, własność,

że osia,ga w pewnych punktach tego obszaru kres górny i kres dolny zbioru

wartości, jakie w tym obszarze przyjmuje.

Twierdzenie 2.29. (Weierstrassa

4

o osia,ganiu kresów.)

Jeżeli funkcja f jest cia,gła w obszarze domknie,tym i ograniczonym D ⊆ R

n

,

to istnieja, takie punkty x

1

, x

2

∈ D, że

f (x

1

) = sup

x∈D

f (x) oraz f (x

2

) = inf

x∈D

f (x).

Jeżeli funkcja jest cia,gła w obszarze ograniczonym lub nieograniczonym,

to kresy te moga, być nieskończone lub funkcja może ich w tym obszarze nie

osia,gać.
Przykład 2.30. Funkcja f (x, y) =

1

1−x

2

−y

2

rozważana w zbiorze {(x, y) ∈

R

2

| x

2

+ y

2

< 1}, ma nieskończony kres górny zbioru wartości.

2

Przykład 2.31. Funkcja f (x, y) = x

2

+ y

2

rozważana w tym samym zbiorze

{(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

< 1}, nie osia,ga w żadnym jego punkcie kresu górnego,

który w tym przypadku wynosi 1.

2

Twierdzenie 2.32. (Darboux

5

o przyjmowaniu wartości pośrednich.)

Jeżeli funkcja f jest cia,gła w obszarze domknie,tym i ograniczonym D ⊆ R

n

,

oraz

inf

x∈D

f (x) ¬ m ¬ sup

x∈D

f (x)

to istnieje taki punkt x

0

∈ D, że f (x

0

) = m.

Twierdzenie 2.33. (Cantora

6

o cia,głości jednostajnej.)

Jeżeli funkcja f jest cia,gła w obszarze domknie,tym i ograniczonym D ⊆ R

n

,

to jest w tym obszarze jednostajnie cia,gła, tzn.

∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(x

1

, x

2

∈ A)(d(x

1

, x

2

) < δ) ⇒ (| f (x

1

) − f (x

2

) |< ε).

4

Karl Weierstrass (1815-1897) - matematyk niemiecki

5

Jean Darboux (1842-1917) - matematyk francuski

6

Georg Cantor (1845-1918) - matematyk niemiecki

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

17

2.2

Pochodne funkcji n-zmiennych.

Pochodne cza,stkowe.

Niech f be,dzie funkcja, n zmiennych określona, w pewnym otoczeniu O(p

0

; r)

punktu p

0

= (p

10

, p

20

, . . . , p

n0

). Dla każdego 1 ¬ i ¬ n oznaczmy symbolem

∆

x

i

różny od zera przyrost zmiennej i taki, żeby punkt x

∆

xi

= (p

10

, p

20

, . . . , p

i0

+

∆

x

i

, . . . , p

n0

) ∈ O(p

0

; r).

Definicja 2.34. Granice, właściwa, (o ile istnieje)

lim

∆

xi

→0

f (x

∆

xi

) − f (p

0

)

∆

x

i

nazywamy pochodna, cza,stkowa, rze,du pierwszego funkcji f wzgle,dem

zmiennej x

i

w punkcie p

0

i oznaczamy symbolem

∂f

∂x

i

(p

0

) lub f

x

i

(p

0

).

Dla funkcji f (x, y) dwóch zmiennych definicje pochodnych cza,stkowych

rze,du pierwszego wzgle,dem zmiennych x i y w punkcie p

0

= (x

0

, y

0

) sa,

naste,puja,ce:

∂f
∂x

(p

0

) = lim

h→0

f (x

0

+ h, y

0

) − f (x

0

, y

0

)

h

,

gdzie h oznacza przyrost zmiennej x. Zatem

∂f
∂x

(p

0

) jest zwykła, pochodna,

funkcji f (x, y) wzgle,dem zmiennej x w punkcie p

0

przy założeniu, że zmienna

y ma stała, wartość.

Analogicznie pochodna

∂f
∂y

(p

0

) jest zwykła, pochodna, funkcji f(x, y) wzgle,dem

zmiennej y w punkcie p

0

przy założeniu, że zmienna x ma stała, wartość, czyli

∂f

∂y

(p

0

) = lim

k→0

f (x

0

, y

0

+ k) − f (x

0

, y

0

)

k

,

gdzie k oznacza przyrost zmiennej y.

Przykład 2.35. Pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego funkcji f(x, y) =

x sin xy w punkcie p

0

= (π, 1) wynosza, odpowiednio:

∂f
∂x

(π, 1) = lim

h→0

f (π + h, 1) − f (π, 1)

h

=

= lim

h→0

(π + h) sin(π + h) − π sin π

h

= lim

h→0

(π + h)(− sin h)

h

= −π,

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

18

∂f

∂y

(π, 1) = lim

k→0

f (π, 1 + k) − f (π, 1)

h

= lim

k→0

π sin(π(1 + k)) − π sin π

k

=

= lim

k→0

−π sin(πk)

k

= −π

2

lim

k→0

sin(πk)

πk

= −π

2

.

2

Interpretacja geometryczna pochodnych cza,stkowych. Pochodna

cza,stkowa

∂f
∂x

(p

0

) funkcji f (x, y) w punkcie p

0

= (x

0

, y

0

) wyraża tangens ka,ta

α, jaki tworzy z osia, OX styczna w punkcie (x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)) do linii, wzdłuż

której płaszczyzna y = y

0

przecina powierzchnie, o równaniu z = f(x, y).

Pochodna cza,stkowa wzgle,dem x jest miara, szybkości, z jaka, zmienia sie,

wartość funkcji f (x, y), gdy zmienia sie, wartość zmiennej niezależnej x, przy

ustalonej wartości zmiennej y.

Przy obliczaniu pochodnych cza,stkowych należy poste,pować tak, jak przy

obliczaniu pochodnej funkcji jednej zmiennej x

i

, traktuja,c pozostałe zmienne

jako ustalone parametry.

Przykład 2.36.

1. f (x, y) = 2x − 3y + 5;

∂f
∂x

= 2 oraz

∂f
∂y

= −3.

2. f (x, y) = x

2

y − xy + 10;

∂f
∂x

= 2xy − y oraz

∂f
∂y

= x

2

− x.

3. f (x, y) = x

y

;

∂f
∂x

= yx

y−1

oraz

∂f
∂y

= x

y

ln x.

2

Przykład 2.37. Pochodne cza,stkowe pierwszego rze,du funkcji f(x, y) =

x

x+y

w punkcie p

0

= (2, −3):

∂f
∂x

=

(x + y) − x

(x + y)

2

=

y

(x + y)

2

⇒

∂f
∂x

(2, −3) =

−3

(−1)

2

= −3,

∂f

∂y

=

0 · (x + y) − x

(x + y)

2

=

−x

(x + y)

2

⇒

∂f

∂y

(2, −3) =

−2

(−1)

2

= −2.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

19

Jeżeli funkcja f (x) ma pochodna, cza,stkowa, rze,du pierwszego wzgle,dem

zmiennej x

i

w każdym punkcie zbioru otwartego A ⊆ R

n

, to powiemy, że

funkcja ta ma pochodna, cza,stkowa, pierwszego rze,du wzgle,dem zmiennej x

i

w tym zbiorze. W zbiorze A jest wówczas określona nowa funkcja, która
każdemu punktowi x ∈ A przyporza,dkowuje liczbe,

∂f

∂x

i

(x). Funkcje, te, nazy-

wamy pochodna, cza,stkowa, pierwszego rze,du funkcji f wzgle,dem zmiennej x

i

i oznaczamy

∂f

∂x

i

lub

∂

∂x

i

f lub f

x

i

.

Jeżeli funkcja f ma pochodne cza,stkowe pierwszego rze,du w każdym

punkcie pewnego obszaru D ⊆ R

n

, to można je dalej różniczkować wzgle,dem

zmiennych x

j

.

Definicja 2.38. Pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego pochodnych cza,stko-

wych

∂f

∂x

i

, dla 1 ¬ i ¬ n, nazywamy pochodnymi cza,stkowymi rze,du drugiego

funkcji f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

).

Funkcja n zmiennych może mieć n

2

różnych pochodnych cza,stkowych

rze,du drugiego.
Przykład 2.39. Funkcja f (x, y) dwóch zmiennych może mieć 4 różne po-
chodne rze,du drugiego:

∂

∂x

(

∂f
∂x

),

∂

∂y

(

∂f
∂x

),

∂

∂x

(

∂f

∂y

),

∂

∂y

(

∂f

∂y

).

2

Pochodna,

∂

∂x

j

(

∂f

∂x

i

) dla 1 ¬ i, j, ¬ n, oznaczamy symbolami:

∂

2

∂x

j

∂x

i

lub f

x

i

x

j

.

Pochodne cza,stkowe rze,du drugiego f

x

i

x

j

oraz f

x

j

x

i

, dla i 6= j, różnia,ce sie,

tylko kolejnościa, różniczkowania, nazywamy pochodnymi mieszanymi rze,du

drugiego.
Jeżeli i = j, to zamiast

∂

2

∂x

i

∂x

i

, be,dziemy pisać

∂

2

∂x

2

i

lub f

x

i

x

i

.

Przykład 2.40.

f (x, y) = sin(x

2

+ y

2

)

∂f
∂x

= 2x · cos(x

2

+ y

2

),

∂f

∂y

= 2y · cos(x

2

+ y

2

),

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

20

∂

2

f

∂x

2

= 2 cos(x

2

+y

2

)−4x

2

sin(x

2

+y

2

),

∂

2

f

∂y

2

= 2 cos(x

2

+y

2

)−4y

2

sin(x

2

+y

2

),

∂

2

f

∂x∂y

= −4xy sin(x

2

+ y

2

),

∂

2

f

∂y∂x

= −4xy sin(x

2

+ y

2

).

2

Twierdzenie 2.41. (Schwarz’a

7

)

Jeżeli funkcja f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ma w pewnym obszarze D ⊆ R

n

cia,głe pochodne

cza,stkowe mieszane drugiego rze,du

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

oraz

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

to w każdym punkcie

tego obszaru

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

=

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

.

Założenie cia,głości pochodnych mieszanych jest istotne. Jeżeli pochodne

mieszane istnieja, w pewnym punkcie obszaru swej określoności, ale nie sa, w

tym punkcie cia,głe, to ich równość może sie, okazać fałszywa.
Przykład 2.42. Pochodne mieszane funkcji

f (x, y) =







xy sin(x

2

−y

2

)

x

2

+y

2

, x

2

+ y

2

> 0

0,

x

2

+ y

2

= 0

nie sa, równe w punkcie (0, 0). Sa, natomiast równe w każdym punkcie różnym

od punktu (0, 0). Pochodne mieszane funkcji f nie sa, cia,głe w punkcie (0, 0),

gdyż żadna z nich nie ma w tym punkcie granicy podwójnej.

2

Definicja 2.43. Pochodna, cza,stkowa, rze,du m + 1 nazywamy pochodna,

cza,stkowa, rze,du pierwszego pochodnej cza,stkowej rze,du m.

Pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego pochodnych cza,stkowych rze,du

drugiego nazywamy pochodnymi cza,stkowymi rze,du trzeciego, itd.

Symbole do oznaczenia pochodnych cza,stkowych wyższych rze,dów stanowia,

naturalne rozwinie,cie symboli stosowanych dla pochodnych cza,stkowych rze,du

pierwszego i drugiego.

7

Karol Schwarz (1843-1921) - matematyk niemiecki

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

21

Przykład 2.44. Dla funkcji f (x, y) dwóch zmiennych:

∂

∂x

(

∂

2

f

∂x

2

) =

∂

3

f

∂x

3

= f

xxx

,

∂

∂y

(

∂

2

f

∂x

2

) =

∂

3

f

∂y∂x

2

= f

xxy

,

∂

∂y

(

∂

2

f

∂y∂x

) =

∂

3

f

∂y

2

∂x

= f

xyy

,

∂

∂x

(

∂

3

f

∂y

2

∂x

) =

∂

4

f

∂x∂y

2

∂x

= f

xyyx

, itd.

2

Pochodna cza,stkowa rze,du m, określona za pomoca, różniczkowań wzgle,dem

co najmniej dwóch różnych zmiennych, nazywa sie, pochodna, cza,stkowa,

mieszana, rze,du m. Podobnie jak dla pochodnych rze,du drugiego, jeżeli

funkcja f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ma pochodne cza,stkowe mieszane różnia,ce sie, tylko

kolejnościa, różniczkowania wzgle,dem zmiennych (przy tej samej liczbie róż-

niczkowań wzgle,dem każdej z tych zmiennych) i jeżeli te pochodne sa, cia,głe

w obszarze D ⊆ R

n

to sa, w tym obszarze równe.

Przykład 2.45. Pochodne cza,stkowe rze,du trzeciego funkcji f(x, y) = x

3

y +

2xy

2

+ 5:

f

x

= 3x

2

y + 2y

2

; f

xx

= 6xy; f

xxx

= 6y,

f

y

= x

3

+ 4xy; f

yy

= 4x; f

yyy

= 0,

f

xy

= f

yx

= 3x

2

+ 4y,

f

xxy

= f

xyx

= f

yxx

= 6x,

f

xyy

= f

yxy

= f

yyx

= 4.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

22

Funkcje klasy C

m

.

Funkcja f może mieć w punkcie p

0

pochodne cza,stkowe pierwszego rze,du i

może nie być cia,gła w tym punkcie.
Przykład 2.46. Granica podwójna funkcji

f (x, y) =







1, xy = 0
0, xy 6= 0

w punkcie (0, 0) nie istnieje, zatem funkcja ta nie jest cia,gła w tym punkcie.

Natomiast

lim

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

h

= lim

h→0

1 − 1

h

= 0,

lim

k→0

f (0, k) − f (0, 0)

k

= lim

h→0

1 − 1

k

= 0,

sta,d pochodne cza,stkowe funkcji f w punkcie (0, 0) istnieja, i wynosza, odpo-

wiednio: f

x

(0, 0) = 0 i f

y

(0, 0) = 0.

2

Twierdzenie 2.47. Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu
p

0

pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego, które sa, cia,głe w tym punkcie, to

jest cia,gła w punkcie p

0

.

Twierdzenie 2.48. Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu
p

0

ograniczone pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego, to jest cia,gła w punkcie

p

0

.

Definicja 2.49. Funkcja f jest funkcja, klasy C

m

w pewnym obszarze D ⊆

R

n

, jeżeli ma ona w tym obszarze wszystkie pochodne cza,stkowe rze,du m

cia,głe.

Jeśli funkcja f jest klasy C

m+1

to jest również funkcja, klasy C

m

.

Przykład 2.50. Jak wynika z przykładu 2.42, funkcja

f (x, y) =







xy sin(x

2

−y

2

)

x

2

+y

2

, x

2

+ y

2

> 0

0,

x

2

+ y

2

= 0

jest klasy C

1

na całej płaszczyźnie R

2

, ponieważ jej pochodne cza,stkowe

pierwszego rze,du istnieja, i sa, funkcjami cia,głymi na całej płaszczyźnie.

Funkcja ta nie jest natomiast klasy C

2

na całej płaszczyźnie, gdyż jej pochodne

cza,stkowe mieszane rze,du drugiego nie sa, w punkcie (0, 0) cia,głe.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

23

Pochodne cza,stkowe funkcji złożonej.

Niech funkcja

z = f (u

1

, u

2

, . . . , u

m

), m ­ 2,

be,dzie określona na pewnym obszarze G ⊆ R

m

i niech ponadto funkcje

u

i

= α

i

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), 1 ¬ i ¬ m, n ­ 2,

be,da, określone na pewnym wspólnym obszarze D ⊆ R

n

.

Definicja 2.51. Jeżeli dla każdego (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ D,

(α

1

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), α

2

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), . . . , α

m

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

)) ∈ G, to funkcje,

z = f (α

1

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), α

2

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), . . . , α

m

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

))

nazywamy funkcja, złożona, n zmiennych x

1

, x

2

, . . . , x

n

w obszarze D.

W przypadku, gdy n = m = 2, funkcja

z = f (u

1

, u

2

) = f (α

1

(x, y), α

2

(x, y)),

dla (u

1

, u

2

) ∈ G ⊆ R

2

, gdzie u

1

= α

1

(x, y), u

2

= α

2

(x, y) jest funkcja, złożona,

dwóch zmiennych x i y w obszarze D ⊆ R

2

.

Twierdzenie 2.52. (O pochodnych cza,stkowych funkcji złożonej.)

Jeżeli funkcja z = f (u

1

, u

2

, . . . , u

m

), m ­ 2, jest klasy C

1

(tzn. funkcja f

ma cia,głe pochodne cza,stkowe f

u

i

) w obszarze G ⊆ R

m

, a ponadto funkcje

α

i

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), 1 ¬ i ¬ m, n ­ 2, maja, pochodne cza,stkowe rze,du

pierwszego w obszarze D ⊆ R

n

, to funkcja złożona

z = f (α

1

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), α

2

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

), . . . , α

m

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

))

ma pochodne cza,stkowe rze,du pierwszego w każdym punkcie obszaru D, przy

czym

∂z

∂x

j

=

m

X

i=1

∂f

∂u

i

·

∂α

i

∂x

j

, 1 ¬ j ¬ n.

Przykład 2.53. Dla m = n = 2, jeśli funkcja z = f (u

1

, u

2

) ma w obszarze

G ⊆ R

2

cia,głe pochodne cza,stkowe f

u

1

i f

u

2

oraz funkcje α

1

(x, y) i α

2

(x, y)

maja, w obszarze D ⊆ R

2

pochodne cza,stkowe wzgle,dem zmiennych x i y, to

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

24

funkcja z ma w obszarze D pochodne cza,stkowe wzgle,dem zmiennych x i y

określone naste,puja,cymi wzorami:

∂z

∂x

=

∂f

∂u

1

·

∂α

1

∂x

+

∂f

∂u

2

·

∂α

2

∂x

(2.1)

∂z
∂y

=

∂f

∂u

1

·

∂α

1

∂y

+

∂f

∂u

2

·

∂α

2

∂y

(2.2)

2

Przykład 2.54. Niech z = f (u

1

, u

2

) = u

1

ln u

2

, gdzie u

1

= α

1

(x, y) = 3x − y

oraz u

2

= α

2

(x, y) = x

2

+ y

2

. Wówczas

∂z

∂x

= 3 ln(x

2

+ y

2

) + 2x

3x − y

x

2

+ y

2

,

∂z
∂y

= − ln(x

2

+ y

2

) + 2y

3x − y

x

2

+ y

2

.

2

Jeżeli funkcje u

1

i u

2

zależa, tylko od jednej zmiennej x, czyli u

1

= α

1

(x)

i u

2

= α

2

(x), to funkcja złożona z = f (u

1

, u

2

) = f (α

1

(x), α

2

(x)) zależy też

tylko od jednej zmiennej x. W tym przypadku pochodne cza,stkowe

∂z
∂x

,

∂α

1

∂x

i

∂α

2

∂x

sa, pochodnymi funkcji jednej zmiennej i wzory (2) i (3) redukuja, sie, do

jednego wzoru postaci:

∂z

∂x

=

∂f

∂u

1

· α

0

1

(x) +

∂f

∂u

2

· α

0

2

(x)

Przykład 2.55. Niech z = f (u

1

, u

2

) = e

u

1

ln u

2

, gdzie u

1

= α

1

(x) = 5 − 2x

oraz u

2

= α

2

(x) = x

2

+ 3. Wówczas

∂z

∂x

= −2e

(5−2x)

ln(x

2

+ 3) + 2x

e

(5−2x)

x

2

+ 3

.

2

Jeżeli natomiast funkcje α

1

(x) = x oraz α

2

(x) = y(x), to funkcja z =

f (x, y(x)) ma pochodna,

∂z

∂x

=

∂f
∂x

+

∂f

∂y

y

0

.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

25

W celu wyznaczenia pochodnych cza,stkowych drugiego rze,du różniczkujemy

przy odpowiednich założeniach wyrażenia (2) i (3) traktuja,c pochodne

∂f

∂u

1

i

∂f

∂u

2

jako funkcje złożone zmiennych x i y.

Wykorzystuja,c twierdzenie Schwarza (2.41) o pochodnych mieszanych otrzy-

mujemy:

∂

2

z

∂

2

x

=

∂

2

f

∂u

2

1

(

∂α

1

∂x

)

2

+ 2

∂

2

f

∂u

1

∂u

2

∂α

1

∂x

∂α

2

∂x

+

∂

2

f

∂

2

u

2

(

∂α

2

∂x

)

2

+

∂f

∂u

1

∂

2

α

1

∂x

2

+

∂f

∂u

2

∂

2

α

2

∂x

2

∂

2

z

∂

2

y

=

∂

2

f

∂u

2

1

(

∂α

1

∂y

)

2

+ 2

∂

2

f

∂u

1

∂u

2

∂α

1

∂y

∂α

2

∂y

+

∂

2

f

∂

2

u

2

(

∂α

2

∂y

)

2

+

∂f

∂u

1

∂

2

α

1

∂y

2

+

∂f

∂u

2

∂

2

α

2

∂y

2

∂

2

z

∂x∂y

=

∂

2

f

∂u

2

1

∂α

1

∂x

∂α

1

∂y

+

∂

2

f

∂u

1

∂u

2

(

∂α

1

∂x

∂α

2

∂y

+

∂α

1

∂y

∂α

2

∂x

)+

+

∂

2

f

∂

2

u

2

∂α

2

∂x

∂α

2

∂y

+

∂f

∂u

1

∂

2

α

1

∂x∂y

+

∂f

∂u

2

∂

2

α

2

∂x∂y

.

Pochodne kierunkowe.

Niech l be,dzie prosta, na płaszczyźnie OXY określona, równaniami:

x = x

0

+ tα

y = y

0

+ tβ,

dla α

2

+ β

2

= 1 i t ∈ R. (Prosta l jest równoległa do wektora −

→

v = [α, β] o

długości 1.)

Definicja 2.56. Pochodna, kierunkowa, funkcji f(x, y) w punkcie

p

0

= (x

0

, y

0

) w kierunku prostej l nazywamy granice,:

∂f

∂l

(p

0

) := lim

t→0

f (x

0

+ tα, y

0

+ tβ) − f (x

0

, y

0

)

t

.

Pochodna funkcji f w kierunku osi l określa szybkość wzrostu tej funkcji

w kierunku l.

Jeśli α = 1 i β = 0, czyli prosta l jest równoległa do osi OX, to

∂f

∂l

=

∂f
∂x

.

Podobnie, jeśli α = 0 i β = 1, czyli prosta l jest równoległa do osi OY , to

∂f

∂l

=

∂f
∂y

.

Funkcja może mieć w punkcie p

0

pochodne kierunkowe w każdym kierunku

i nie być cia,gła w tym punkcie.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

26

Przykład 2.57. Funkcja

f (x, y) =







xy

2

x

2

+y

4

, x

2

+ y

4

6= 0

0,

x

2

+ y

4

= 0

ma w punkcie p

0

= (0, 0) pochodna, w każdym kierunku, mimo to nie jest

cia,gła w tym punkcie.

2

Twierdzenie 2.58. Niech A ⊆ R

2

i niech funkcja f : A → R ma w otoczeniu

O(p

0

; r) ⊂ A punktu p

0

cia,głe pochodne cza,stkowe pierwszego rze,du. Wówczas,

pochodna kierunkowa w punkcie p

0

w każdym kierunku l k [α, β] istnieje i jest

określona wzorem:

∂f

∂l

(p

0

) = α

∂f
∂x

(p

0

) + β

∂f

∂y

(p

0

).

Definicje, pochodnej kierunkowej można uogólnić na przypadek dowolnej

funkcji f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) określonej w pewnym obszarze przestrzeni R

n

.

Różniczka zupełna.

Niech f be,dzie funkcja, dwóch zmiennych x i y określona, i maja,ca, pierwsze

pochodne cza,stkowe w pewnym otoczeniu O(p

0

; r) punktu p

0

= (x

0

, y

0

).

Ponadto, niech punkt x

∆

= (x

0

+ h, y

0

+ k), gdzie h i k sa, dowolnymi

przyrostami odpowiednio zmiennych x i y, również należy do otoczenia O(p

0

; r).

Przyrostem ∆f funkcji f mie,dzy punktami p

0

= (x

0

, y

0

) i x

∆

= (x

0

+

h, y

0

+ k) nazywamy różnice, określona, wzorem:

∆f = f (x

∆

) − f (p

0

).

Wprowadźmy naste,puja,ce oznaczenie:

df (p

0

) := hf

x

(p

0

) + kf

y

(p

0

), dla h

2

+ k

2

> 0.

Twierdzenie 2.59. Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu O(p

0

; r) punktu

p

0

cia,głe pochodne cza,stkowe f

x

i f

y

oraz punkt x

∆

= (x

0

+h, y

0

+k) ∈ O(p

0

; r)

to

lim

h→0
k→0

∆f − df (p

0

)

√

h

2

+ k

2

= 0.

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

27

W szczególności, dla małych przyrostów h i k zmiennych niezależnych x i

y, wyrażenie df (p

0

) daje przybliżenie przyrostu ∆f funkcji f . Oznacza to, że

przyrost ∆f wyraża sie, wzorem ∆f = df(p

0

) + ε(h, k)

√

h

2

+ k

2

, gdzie ε(h, k)

da,ży do zera, gdy

√

h

2

+ k

2

→ 0 (∆f ≈ df (p

0

)).

Praktyczne znaczenie tego wzoru polega na wykorzystaniu go do oceny

błe,dów i obliczeń przybliżonych wartości funkcji, gdyż dla małych przyrostów

h i k możemy przyja,ć, że:

f (x

0

+ h, y

0

+ k) ≈ f (x

0

, y

0

) + hf

x

(x

0

, y

0

) + kf

y

(x

0

, y

0

).

Definicja 2.60. Funkcja f (x, y) jest różniczkowalna w punkcie p

0

=

(x

0

, y

0

), jeśli

• Funkcja f ma obie pochodne cza,stkowe f

x

(p

0

) i f

y

(p

0

),

• lim

h→0
k→0

∆f −df (p

0

)

√

h

2

+k

2

= 0.

Różniczkowalność funkcji f (x, y) w punkcie (x

0

, y

0

) oznacza, że istnieje

płaszczyzna styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)).

Twierdzenie 2.61. (Warunek wystarczaja,cy różniczkowalności.)

Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu p

0

pochodne cza,stkowe

rze,du pierwszego, które sa, cia,głe w tym punkcie, to jest w punkcie p

0

różnicz-

kowalna.

Wniosek 2.62. Funkcja różniczkowalna w punkcie p

0

ma w tym punkcie

pochodna, kierunkowa, w każdym kierunku.

Samo istnienie pochodnych f

x

(p

0

) i f

y

(p

0

) nie zapewnia różniczkowalności

funkcji f (x, y) w punkcie p

0

.

Przykład 2.63. Funkcja

f (x, y) =







x(y+1)

√

x

2

+(y+1)

2

, (x, y) 6= (0, −1)

0,

(x, y) = (0, −1)

posiada w punkcie (0, −1) obie pochodne cza,stkowe, ale nie jest w tym

punkcie różniczkowalna.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

28

Twierdzenie 2.64. (Warunek konieczny różniczkowalności.)
Jeżeli funkcja f (x, y) jest różniczkowalna w punkcie p

0

, to jest w tym punkcie

cia,gła.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przykład 2.65. Funkcja

f (x, y) =

q

x

2

+ y

2

jest cia,gła w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna, gdyż

nie istnieja, pochodne cza,stkowe f

x

(0, 0) oraz f

y

(0, 0).

2

Definicja 2.66. Jeżeli funkcja f (x, y) jest różniczkowalna, to wyrażenie

df (p

0

) := hf

x

(p

0

) + kf

y

(p

0

), h

2

+ k

2

> 0

nazywamy różniczka, zupełna, funkcji f w punkcie p

0

dla przyrostów h i k.

Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych.

Niech f (x, y) be,dzie funkcja, dwóch zmiennych klasy C

m

w pewnym obszarze

D zawieraja,cym punkty p

0

= (x

0

, y

0

) oraz x

∆

= (x

0

+h, y

0

+k) dla przyrostów

h, k ∈ R.
Dla s = 1, 2, . . . , m wprowadźmy oznaczenie:

d

s

f (p

0

) = (h

∂f
∂x

(p

0

) + k

∂f

∂y

(p

0

))

(s)

:=

s

X

i=0

 

s

i

!

h

s−i

k

i

∂

s

f

∂x

s−i

∂y

i

(p

0

).

Przykład 2.67. Dla s = 1,

df (p

0

) = h

∂f
∂x

(p

0

) + k

∂f

∂y

(p

0

)

jest różniczka, zupełna, funkcji f w punkcie p

0

dla przyrostów h i k.

2

Przykład 2.68. Dla s = 2,

d

2

f (p

0

) = h

2

∂

2

f

∂x

2

(p

0

) + 2hk

∂

2

f

∂x∂y

(p

0

) + k

2

∂

2

f

∂y

2

(p

0

)

nazywamy różniczka, zupełna, rze,du drugiego funkcji f w punkcie p

0

dla

przyrostów h i k.

2

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

29

Twierdzenie 2.69. Jeżeli funkcja f jest klasy C

m

w obszarze zawieraja,cym

cały odcinek p

0

x

∆

, to wewna,trz odcinka p

0

x

∆

znajduje sie, taki punkt x

θ

=

(x

0

+ hθ, y

0

+ kθ), gdzie 0 < θ < 1, że wartość funkcji f w punkcie x

∆

wyraża

sie, wzorem:

f (x

∆

) = f (p

0

) +

1

1!

df (p

0

) +

1

2!

d

2

f (p

0

) + . . . +

(2.3)

+

1

(m − 1)!

d

m−1

f (p

0

) + R

m

(x

θ

),

gdzie R

m

(x

θ

) =

1

m!

(h

∂f
∂x

(x

θ

) + k

∂f
∂y

(x

θ

))

(m)

= d

m

f (x

θ

).

Równość (4) nazywamy wzorem Taylora

8

dla funkcji dwóch zmiennych.

Dla m = 1, wzór przyjmuje postać:

Twierdzenie 2.70. (Twierdzenie o wartości średniej.)
Niech funkcja f (x, y) w obszarze zawieraja,cym odcinek p

0

x

∆

be,dzie klasy C

1

.

Wówczas

∆f = f (x

∆

) − f (p

0

) = hf

x

(x

θ

) + kf

y

(x

θ

) = df (x

θ

),

gdzie x

θ

= (x

0

+ hθ, y

0

+ kθ), dla 0 < θ < 1.

Twierdzenie 2.59 orzeka, że przyrost funkcji mie,dzy punktami x

∆

= (x

0

+

h, y

0

+ k) i p

0

= (x

0

, y

0

) jest w przybliżeniu równy różniczce zupełnej w

punkcie p

0

.

Z twierdzenia 2.70 wynika, ze przyrost ten jest dokładnie równy różniczce,

lecz w pewnym punkcie x

θ

= (x

0

+ hθ, y

0

+ kθ) położonym wewna,trz odcinka

p

0

x

∆

.

2.3

Ekstrema funkcji n-zmiennych.

Niech f (x) be,dzie funkcja, n zmiennych określona, w pewnym otoczeniu punktu

p

0

∈ R

n

.

Definicja 2.71. Funkcja f (x) ma w punkcie p

0

maksimum (minimum)

lokalne, jeżeli istnieje takie sa,siedztwo S(p

0

; r), że dla każdego x ∈ S(p

0

; r)

spełniona jest nierówność:

f (x) ¬ f (p

0

) (f (x) ­ f (p

0

)).

8

Brook Taylor (1685-1731) - matematyk angielski

Matematyka II IChiP- konspekt wykładu cz.I

30

Maksima i minima lokalne funkcji f nazywamy ekstremami lokalnymi

tej funkcji.
Jeżeli zamiast nierówności słabych sa, spełnione odpowiednio nierówności

mocne:

f (x) < f (p

0

) (f (x) > f (p

0

))

to ekstremum w punkcie p

0

nazywamy właściwym.

Ekstremum lokalne w punkcie p

0

jest poje,ciem odnosza,cym sie, do dosta-

tecznie małego otoczenia punktu p

0

, a nie do całej dziedziny funkcji. Jeżeli

odniesiemy sie, do całej dziedziny funkcji, to mamy ekstrema absolutne, czyli

po prostu odpowiednio najwie,ksza, albo najmniejsza, wartość funkcji w tym

zbiorze.

Nie każda funkcja ma ekstrema i nie każda funkcja przyjmuje wartość

najmniejsza, lub najwie,ksza,. Maksimum lokalne funkcji może być jednocześnie

najwie,ksza, jej wartościa, w rozpatrywanym zbiorze, a może nia, nie być.

Podobnie, dla minimum lokalnego funkcji i jej wartości najmniejszej.

Przykład 2.72. Funkcja f (x, y) = x

2

+ y

2

− 2x + 4y + 5, dla (x, y) ∈ R

2

ma jedno ekstremum - minimum właściwe w punkcie p

0

= (1, −2) (f

min

=

f (1, −2) = 0), które jest jednocześnie wartościa, najmniejsza, tej funkcji na

płaszczyźnie R

2

.

Ponieważ funkcja f jest nieograniczona, nie posiada wartości najwie,kszej. 2

Przykład 2.73. Funkcja f (x, y) =

√

1 − x

2

− y

2

+ 2, dla x

2

+ y

2

¬ 1

ma jedno ekstremum - maksimum właściwe w punkcie p

0

= (0, 0) (f

max

=

f (0, 0) = 3), które jest jednocześnie wartościa, najwie,ksza, tej funkcji w jej

dziedzinie.

Wartość najmniejsza,, równa, 2, funkcja f przyjmuje na brzegu swej dzie-

dziny, czyli na okre,gu {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

= 1}.

Natomiast w żadnym punkcie x tego okre,gu funkcja nie posiada minimum,

ponieważ nie istnieje sa,siedztwo punktu x, w którym funkcja ta jest określona.

2

Przykład 2.74. Funkcja f (x, y) = 1 − x − y, dla (x, y) ∈ A = {(x, y) ∈
R

2

| x ­ 0, y ­ 0, x + y ¬ 1} nie ma w zbiorze A ani maksimum ani

minimum. Funkcja ta przyjmuje natomiast wartość najwie,ksza,, równa, 1, na

brzegu trójka,ta A w punkcie p

0

= (0, 0).