13

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Definicja

Przestrzeń

3

R

– zbiór wszystkich uporządkowanych trójek





, ,

x y z liczb rzeczywistych, tj.:









R

z

y

x

z

y

x





,

,

:

,

,

3

R

.

Definicja (działania na wektorach)

Niech













1

1

1

2

2

2

,

x, y,z

x , y ,z

x , y ,z

u =

w =

,v =

oraz niech

R





.

1. Suma wektorów:





1

2

1

2

1

2

,

,

+

x

x y

y z

z







w v =

2. Różnica wektorów:





1

2

1

2

1

2

,

,

-

x

x y

y z

z







w v =

3. Iloczyn wektora

u

przez liczbę rzeczywistą



:





,

,

x

y

z



  

u =

W

ŁASNOŚCI DZIAŁAŃ NA WEKTORACH

Niech

,

u v,w

będą dowolnymi wektorami w

3

R oraz niech

R







,

. Wtedy:

1.



u v = v + u

2.



 



+





u

v

w = u + v

w

3.

 

0

u

u

4.

 

+ -



0

u

u

5.

1



u = u

6.

 

 



 

u =

u

7.





 









u = u

u

8.















u v = u

v

Definicja

Wektory













1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

0, 0,1







i

j

k

nazywamy wersorami odpowiednio na osiach

0 , 0 , 0

x

y

z

.

Definicja

Długość wektora





= x, y,z

u

jest określona wzorem:

2

2

2

=

x + y + z

u

Długość wektora





= x, y,z

u

jest równa odległości punktu





, ,

P

x y z



od początku układu

współrzędnych.
Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.

W

ŁASNOŚCI DŁUGOŚCI WEKTORA

Niech

,

u v

będą wektorami w

3

R oraz niech

R





. Wtedy:

1.

0



u

, przy czym

0

  

0

u

u

2.









u

u

3.

+





u v

u

v

4.

-

 

u

v

u v

14

Definicja

Niech

,

u v

będą dowolnymi wektorami w

3

R

. Iloczyn skalarny wektorów

u

i

v

określamy

wzorem:

cos



  

u v

u v

gdzie



jest miarą kąta pomiędzy wektorami

u

i

v

.

W

ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU SKALARNEGO

Niech









1

1

1

2

2

2

x , y ,z

x , y ,z

u =

,v =

będą wektorami w

3

R

. Wtedy:

1 2

1

2

1 2

x x

y y

z z







u v

W

ŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO

Niech ,

u v,w będą dowolnymi wektorami w

3

R

oraz niech

R





. Wtedy:

1.

u v = v u

2.

 









u

v =

u v

3.

2



u u

u

4.









u v

w = u w v w

5.

 

u v

u v

6. wektory

u

i

v

są prostopadłe

0



u v =

Definicja

Niech

u

i

v

będą niewspółliniowymi i niezerowymi wektorami w

3

R

. Iloczynem

wektorowym uporządkowanej pary wektorów

u

i

v

nazywamy wektor

w

, który spełnia

warunki:
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

u

i

v

,

2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach

u

i

v

, tj. równa:

sin



 

u v

gdzie



jest kątem między wektorami

u

i

v

,

3. orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych

0xyz

.

Iloczyn wektorowy pary wektorów

u

i

v

oznaczamy przez



u v

.

Jeżeli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe, to
przyjmujemy, że



0

u v = .

W

ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU WEKTOROWEGO

Niech









1

1

1

2

2

2

x , y ,z

x , y ,z

u =

,v =

będą wektorami w

3

R

. Wtedy:

1

1

1

2

2

2

x

y

z

x

y

z

 

i

j

k

u v

,

gdzie

i, j, k

oznaczają wersory odpowiednio na osiach

0 , 0 , 0

x

y

z

.

z

0

u

x

y

v





w = u v

15

W

ŁASNOŚCI ILOCZYNU WEKTOROWEGO

Niech

,

u v,w

będą dowolnymi wektorami w

3

R

oraz niech

R





. Wtedy:

1.





-





u v =

v u

2.

 

 

















u

v = u

v =

u v

3.





 

  

u v

w = u w v w

4.





+



  

u

v

w = u v

u w

5.

  

u v

u v

6. wektory

u

i

v

są równoległe

 

0

u v =

Definicja

Niech

,

u v, w będą wektorami w

3

R

. Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów

,

u v, w określamy wzorem:



 



,





u v, w

u v

w

Geometrycznie: Iloczyn mieszany wektorów

,

u v, w

jest równy (z dokładnością do znaku)

objętości równoległościanu

V

rozpiętego na wektorach

,

u v, w

:





,

V



u v, w

W

ZÓR DO OBLICZANIA ILOCZYNU MIESZANEGO

Niech













1

1

1

2

2

2

3

3

3

,

x , y ,z

x , y ,z

x , y ,z

u =

,v =

w =

będą wektorami w

3

R

. Wtedy:





1

1

1

2

2

2

3

3

3

x

y

z

x

y

z

x

y

z



u,v, w

W

ŁASNOŚCI ILOCZYNU MIESZANEGO

Niech

,

u v,w, r

będą wektorami w

3

R

oraz niech

R





. Wtedy:

1.



 



,



u v, w

v, w, u

2.









,

 

u v, w

v, u, w

3.









,

,







u v, w

u v, w

4.



 

 



,

,

,

+





u r v, w

u v, w

r v, w

5.





,

  

u v,w

u v

w

6. wektory

,

u v,w

leżą w jednej płaszczyźnie





,

0





u v,w

R

ÓWNANIE NORMALNE PŁASZCZYZNY

Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P

x y z



i prostopadłej do

wektora





, ,

A B C





0

n

ma postać:













0

0

0

:

0

H A x

x

B y

y

C z

z













n

0

z

x

y



0

P

H

u

v

w

V

16

R

ÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY

Każde równanie postaci:

:

0

H Ax

By Cz

D





 

gdzie

0

A

B

C







, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny





, ,

A B C



n

i przecina oś

0z

w punkcie

D

z

C

 

, o ile

0

C



.

R

ÓWNANIE PARAMETRYCZNE PŁASZCZYZNY

Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P

x y z



oraz rozpiętej na

niewspółliniowych wektorach





1

1

1

, ,

a b c



u

i





2

2

2

,

,

a b c



v

ma postać:

0

1

2

0

1

2

0

1

2

:

x

x

sa

ta

H

y

y

sb

tb

z

z

sc

tc









   



   



, gdzie

R



t

s,

.

R

ÓWNANIE PŁASZCZYZNY PRZECHODZĄCEJ PRZEZ TRZY PUNKTY

Równanie płaszczyzny H przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty





. ,

i

i

i

i

P

x y z



,

gdzie

1

3

i

 

, ma postać:

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

1

:

0

1

1

x

y

z

x

y

z

H

x

y

z

x

y

z



0

z

x

y

H



0

P

u

v

0

z

x

y

H



1

P



3

P



2

P

0

n

0

z

x

y

H



D

C



17

R

ÓWNANIE ODCINKOWE PŁASZCZYZNY

Równanie płaszczyzny H odcinającej na osiach

0 , 0 , 0

x

y

z

układu współrzędnych

odpowiednio odcinki (zorientowane)

, ,

0

a b c



ma postać:

:

1

x

y

z

H

a

b

c

  

.

R

ÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ

Równanie prostej

l

przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P

x y z



i wyznaczonej przez

niezerowy wektor kierunkowy





, ,

a b c



u

ma postać:

0

0

0

:

x

x

at

l

y

y

bt

z

z

ct







  



  



, gdzie

R



t

.

R

ÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ

Równanie prostej

l

przechodzącej przez punkt





0

0

0

0

,

,

P

x y z



i wyznaczonej przez

niezerowy wektor kierunkowy





, ,

a b c



u

ma postać:

0

0

0

:

x

x

y

y

z

z

l

a

b

c











.

0

z

x

y

l



0

P

u

0

z

x

y

l



0

P

u

z

x

y

b

c

a

0

H

18

R

ÓWNANIE KRAWĘDZIOWE PROSTEJ

Prostą

l

,

która

jest

częścią

wspólną

dwóch

nierównoległych

płaszczyzn

1

1

1

1

1

:

0

H A x

B y C z

D









,

2

2

2

2

2

:

0

H

A x

B y C z

D









można zapisać w postaci:

1

1

1

1

2

2

2

2

0

:

0

A x

B y C z

D

l

A x

B y C z

D























.

W

EKTOR KIERUNKOWY PROSTEJ W POSTACI KRAWĘDZIOWEJ

Wektor kierunkowy prostej

1

1

1

1

2

2

2

2

0

:

0

A x

B y C z

D

l

A x

B y C z

D























ma postać:



 



1

1

1

2

2

2

,

,

,

,

A B C

A B C





u

Literatura

1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania.

0

z

x

y

l

1

H

2

H