XIII. Elementy rachunku wektorowego i geometrii analitycznej.
1. Wektory w układzie wpółrzędnych.
1.1. Pojęcia podstawowe.
−→
Niech −
→
a = AB będzie dowolnym wektorem o początku w punkcie A = (x1, y1) i końcu B = (x2, y2) na płaszczyźnie w danym układzie współrzędnych Oxy. Wektor −
→
a zapisujemy
−
→
a = [a1, a2],
gdzie liczby a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1 nazywamy współrzędnymi wektora −
→
a ,
lub w postaci
−
→
−
→
−
→
a = a1 i + a2 j ,
gdzie
−
→
−
→
i = [1, 0],
j = [0, 1],
są wektorami jednostkowymi zwanymi wersorami odpowiednio osi 0x i 0y.
Analogicznie w przestrzeni R3 oznaczamy
−
→
−
→
−
→
i = [1, 0, 0],
j = [0, 1, 0],
k = [0, 0, 1],
wersory odpowiednio osi 0x, 0y i 0z i wektor −
→
a ∈ R3 zapisujemy
−
→
−
→
−
→
−
→
a = [a1, a2, a3] = a1 i + a2 j + a3 k .
−→
Niech P = (x, y, z) dany punkt. Wektor −
→
r = OP = [x, y, z], gdzie
O = (0, 0, 0), nazywamy wektorem wodzącym punktu P .
Definicja 1.1. (działania na wektorach)
Niech −
→
u = [x1, y1, z1], −
→
v = [x2, y2, z2] - wektory w R3, α ∈ R.
• −
→
u + −
→
v := [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2] - suma wektorów,
• −
→
u − −
→
v := [x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2] - różnica wektorów,
• α −
→
u := [α x1, α y1, α z1] - iloczyn wektora przez liczbę.
1
Fakt 1.2. (własności działań na wektorach) Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w - dowolne wektory, α, β ∈ R.
(i) −
→
u + −
→
v = −
→
v + −
→
u ,
(ii) −
→
u + (−
→
v + −
→
w ) = (−
→
u + −
→
v ) + −
→
w ,
(iii) −
→
u + −
→
0 = −
→
u ,
−
→
(iv) −
→
u + (−−
→
u ) = 0 ,
(v) 1 · −
→
u = −
→
u ,
(vi) (α β) −
→
u = α(β −
→
u ),
(vii) (α + β) −
→
u = α −
→
u + β −
→
u ,
(viii) α (−
→
u + −
→
v ) = α −
→
u + α −
→
v .
Definicja 1.3. (długość wektora)
Długość wektora −
→
u = [x, y, z] wyraża się wzorem
|−
→
u | := px2 + y2 + z2,
czyli długość wektora |−
→
u | wektora −
→
u jest równa odległości punktu P =
(x, y, z) od początku układu współrzędnych.
2
Definicja 1.4.
Niech −
→
u , −
→
v - wektory w R3. Iloczyn skalarny wektorów −
→
u i −
→
v oznaczamy
−
→
u ◦ −
→
v i definiujemy następująco
−
→
u ◦ −
→
v := |−
→
u | |−
→
v | cos ∠(−
→
u , −
→
v ),
gdzie ∠(−
→
u , −
→
v ) oznacza kąt pomiędzy wektorami −
→
u i −
→
v .
Fakt 1.5. (wzór na ◦)
Niech −
→
u = [x1, y1, z1] i −
→
v = [x2, y2, z2]. Wtedy
−
→
u ◦ −
→
v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2.
Fakt 1.6. (własności ◦)
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w - dowolne wektory i niech α ∈ R. Wtedy
(i) −
→
u ◦ −
→
v = −
→
v ◦ −
→
u ,
(ii) (α −
→
u ) ◦ −
→
v = α (−
→
u ◦ −
→
v ),
(iii) −
→
u ◦ −
→
u = |−
→
u |2,
(iv) (−
→
u + −
→
v ) ◦ −
→
w = −
→
u ◦ −
→
w + −
→
v ◦ −
→
w ,
(v) |−
→
u ◦ −
→
v | ≤ |−
→
u | · |−
→
v |,
(vi) −
→
u ⊥−
→
v
⇔
−
→
u ◦ −
→
v = 0.
3
Układ współrzędnych prawoskrętny i lewoskrętny (rysunki).
Definicja 1.7. (orientacji trójki wektorów)
Niech −
→
u = [x1, y1, z1], −
→
v = [x2, y2, z2], −
→
w = [x3, y3, z3]- wektory w R3 i niech
x
1
y1 z1
W =
x2
y2 z2
x3
y3 z3
Mówimy, że wektory −
→
u , −
→
v , −
→
w tworzą układ o orienatcji zgodnej (przeciwnej) z orientacją układu współrzędnych, jeżeli W > 0
(W < 0).
Definicja 1.8.
Iloczynem wektorowym dwóch niewspółliniowych wektorów −
→
u i −
→
v z R3 nazywamy
wektor −
→
w = −
→
u × −
→
v spełniający warunki:
(i) −
→
w jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez −
→
u i −
→
v , tj. −
→
w ⊥−
→
u i
−
→
w ⊥−
→
v ,
(ii) |−
→
w | = |−
→
u | · |−
→
v | · sin ∠(−
→
u , −
→
v ), tj. długość wektora −
→
w jest równa polu
równoległoboku rozpiętego na −
→
u i −
→
v ,
(iii) orientacja trójki wektorów −
→
u , −
→
v i −
→
w jest zgodna z orientacją układu
współrzędnych 0xyz.
−
→
−
→
−
→
Jeżeli −
→
u = 0 lub −
→
v = 0 lub −
→
u i −
→
v są współliniowe, to −
→
u × −
→
v = 0 .
4
Niech −
→
u = [x1, y1, z1] i −
→
v = [x2, y2, z2]. Wtedy
−
→ −
→ −
→
i
j
k
−
→
u × −
→
v =
x
.
1
y1 z1
x2
y2 z2
Fakt 1.10. (własności ×)
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w - dowolne wektory z R3 i niech α ∈ R. Wtedy
(i) −
→
u × −
→
v = −(−
→
v × −
→
u ),
(ii) (α −
→
u ) × −
→
v = −
→
u × (α −
→
v ) = α (−
→
u × −
→
v ),
(iii) (−
→
u + −
→
v ) × −
→
w = −
→
u × −
→
w + −
→
v × −
→
w ,
(iv) −
→
u × (−
→
v + −
→
w ) = −
→
u × −
→
v + −
→
u × −
→
w ,
(v) |−
→
u × −
→
v | ≤ |−
→
u | · |−
→
v |,
−
→
(vii) −
→
u ||−
→
v
⇔
−
→
u × −
→
v = 0 .
5
Definicja 1.11.
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w z R3 nazywamy liczbę
określoną następująco
(−
→
u , −
→
v , −
→
w ) := (−
→
u × −
→
v ) ◦ −
→
w .
Geometrycznie iloczyn mieszany jest równy (z dokładnością do znaku) objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach −
→
u , −
→
v , −
→
w , tj.
|V | = (−
→
u , −
→
v , −
→
w ).
Fakt 1.12. (wzór na iloczyn mieszany)
Niech −
→
u = [x1, y1, z1], −
→
v = [x2, y2, z2] i −
→
w = [x3, y3, z3]. Wtedy
x
1
y1 z1
(−
→
u , −
→
v , −
→
w ) =
x2
y2 z2 .
x3
y3 z3
Fakt 1.13. (własności iloczynu mieszanego)
Niech −
→
u , −
→
v , −
→
w , −
→
r - dowolne wektory z R3 i niech α ∈ R. Wtedy
(i) (−
→
u , −
→
v , −
→
w ) = (−
→
v , −
→
w , −
→
u ),
(ii) (−
→
u , −
→
v , −
→
w ) = −(−
→
v , −
→
u , −
→
w ),
(iii) (−
→
u + −
→
r , −
→
v , −
→
w ) = (−
→
u , −
→
v , −
→
w ) + (−
→
r , −
→
v , −
→
w ),
(iv) (α −
→
u , −
→
v , −
→
w ) = α (−
→
u , −
→
v , −
→
w ),
(v) wektory −
→
u , −
→
v , −
→
w są współpłaszczyznowe
⇔
(−
→
u , −
→
v , −
→
w ) = 0.
6
Równanie ogólne prostej l na płaszczyźnie ma postać (2.1)
l :
A x + B y + C = 0,
gdzie A2 + B2 > 0. Wektor −
→
n = [A, B], zwany wektorem normalnym prostej
l, jest wektorem prostopadłym do prostej l. Jeżeli prosta l przechodzi przez punkt P0 = (x0, y0), to z równania (2.1) wynika, że C = −A x0 − B y0.
Zatem równanie ogólne prostej l prostopadłej do danego wektora −
→
n = [A, B]
i przechodzącej przez zadany punkt P0 = (x0, y0) ma postać A (x − x0) + B (y − y0) = 0.
Przykład.
Napisać równanie prostej prostopadłej do wektora −
→
n = [1, 2] i przechodzącej
przez punkt P0 = (5, −2).
Dane są dwie proste
l :
A1 x + B1 y + C1 = 0,
k :
A2 x + B2 y + C2 = 0.
l || k
⇔
−
→
n1 = [A1, B1] || −
→
n2 = [A2, B2]
l ⊥ k
⇔
−
→
n1 = [A1, B1] ⊥ −
→
n2 = [A2, B2]
Odległość punktu M = (x0, y0) od prostej A x + B y + C = 0 wyraża się wzorem
|A x0 + B y0 + C|
d =
√
.
A2 + B2
7
Jeżeli w równaniu A, B, C 6= 0, to można je zapisać w postaci odcinkowej x
y
(2.2)
+
= 1,
a
b
gdzie a = −C , b = −C określają względne miary, jakie prosta odcina na A
B
osiach układu współrzędnych.
Równanie prostej równoległej do wektora −
→
v = [v1, v2] i przechodzącej przez
punkt P0 = (x0, y0) ma postać
x − x0
y − y0
(2.3) l :
=
.
v1
v2
Wektor −
→
v = [v1, v2] nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.
Równanie parametryczne prostej ma postać
(2.4) l :
x = x0 + v1 t,
y = y0 + v2 t, t ∈ R,
gdzie P0 = (x0, y0) i −
→
v = [v1, v2] jak wyżej.
Przykład.
Napisać równanie prostej k równoległej do prostej l : 2x − y + 2 = 0 i przechodzącej przez punkt P0 = (1, 1).
Równanie kierunkowe prostej ma postać
(2.5) l :
y = m x + k,
gdzie m = tg α i α jest kątem, jaki z dodatnim kierunkiem osi Ox tworzy prosta l. Liczbę m nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l.
8
Równanie ogólne płaszczyzny ma postać
(3.1)
π :
A x + B y + C z + D = 0,
gdzie A2 + B2 + C2 > 0. Wektor −
→
n = [A, B, C], zwany wektorem normalnym,
jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny π. Jeżeli płaszczyzna π przechodzi przez punkt P0 = (x0, y0, z0), to z równania (2.1) wynika, że D = −A x0 − B y0 − C z0.
Zatem równanie ogólne płaszczyzny π prostopadłej do danego wektora
−
→
n = [A, B, C] i przechodzącej przez zadany punkt P0 = (x0, y0, z0) ma postać π :
A (x − x0) + B (y − y0) + C (z − z0) = 0.
Przykład.
Napisać równanie płaszczyzny π prostopadłej do wektora [1, −2, 1] i przechodzącej przez punkt P0 = (1, 1, 0).
Wektor normalny płaszczyzny równoległej do dwóch niewspółliniowych wektorów
−
→
u = [u1, u2, u3] i −
→
v = [v1, v2, v3] wyraża się wzorem
(3.2)
−
→
n = −
→
u × −
→
v .
Przykład.
Napisać równanie płaszczyzny π równoległej do wektorów [1, −2, 1] i [3, 1, −5]
oraz przechodzącej przez punkt P0 = (−1, 0, 2).
Równanie parametryczne płaszczyzny równoległej do dwóch niewspółliniowych wektorów −
→
u = [u1, u2, u3] i −
→
v = [v1, v2, v3] oraz przechodzącej przez zadany
punkt P0 = (x0, y0, z0) ma postać
x = x0 + s u1 + t v1
y = y
(3.3)
π :
0 + s u2 + t v2
z = z0 + s u3 + t v3,
s, t ∈ R.
9
Napisać równanie parametryczne płaszczyzny π równoległej do wektorów
[1, −2, 1] i [3, 1, −5] oraz przechodzącej przez punkt P0 = (3, 4, −1).
Uwaga.
W celu napisania równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty Pi = (xi, yi, zi), i = 1, 2, 3, wystarczy zauważyć, że wektory
−−−→
−−−→
P1 P2,
P1 P3
są niewspółliniowe, a następnie przyjąć za wektory równoległe do π wektory
−
→
−−−→
−−−→
u = P1 P2,
−
→
v = P1 P3.
Wtedy wektor normalny płaszczyzny π wyraża się wzorem (3.2).
Przykład.
Napisać równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy punkty P1 = (0, 1, 2), P2 = (−1, −1, 0), P3 = (1, 2, −3).
Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach 0x, 0y, 0z układu współrzędnych odpowiednio odcinki a, b, c 6= 0 ma postać, tzw. postać odcinkową x
y
z
(3.4)
π :
+
+
= 1.
a
b
c
Dane są dwie płaszczyzny
π1 :
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
π1 || π2
⇔
−
→
n1 = [A1, B1, C1] || −
→
n2 = [A2, B2, C2]
π1 ⊥ π2
⇔
−
→
n1 = [A1, B1, C1] ⊥ −
→
n2 = [A2, B2, C2]
Odległość punktu M = (x0, y0, z0) od płaszczyzny π : A x+B y+C z +D = 0
wyraża się wzorem
|A x0 + B y0 + C z0 + D|
d =
√
.
A2 + B2 + C2
10
Równanie prostej l równoległej do niezerowego wektora −
→
u = [u1, u2, u3] i
przechodzącej przez dany punkt P0 = (x0, y0, z0) ma postać x − x0
y − y0
z − z0
(4.1)
l :
=
=
.
u1
u2
u3
Równanie (4.1) nazywamy równaniem kierunkowym prostej w przestrzeni, a wektor −
→
u = [u1, u2, u3] wektorem kierunkowym tej prostej.
Równanie parametryczne prostej równoległej do wektora −
→
u = [u1, u2, u3] i
przechodzącej przez zadany punkt P0 = (x0, y0, z0) ma postać
x = x0 + t u1
y = y
(4.2)
l :
0 + t u2
z = z0 + t u3,
t ∈ R.
W celu napisania równania prostej l przechodzącej przez dwa dane punkty P1 = (x1, y1, z1) i P2 = (x2, y2, z2) wystarczy zauważyć, że wektor
−
→
−−−→
u = [u1, u2, u3] = P1 P2 = [x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1]
jest wektorem kierunkowym tej prostej. Zatem wobec równania (4.1) otrzymujemy równanie prostej w postaci
x − x1
y − y1
z − z1
(4.3)
l :
=
=
.
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
11
π1 :
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
π2 :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Jeżeli ich wektory normalne, tj. −
→
n1 = [A1, B1, C1] i −
→
n2 = [A2, B2, C2] nie są
współliniowe, to płaszczyzny te wyznaczają pewną prostą l, której równanie możemy zapisać w tzw. postaci krawędziowej
A
(4.4)
l :
1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Wektor kierunkowy prostej l wyraża się wtedy wzorem
−
→
u = −
→
n1 × −
→
n2.
Przykład.
Napisać równanie prostej l równoległej do wektora −
→
u = [3, −2, 1] przechodzącej
przez punkt P0 = (0, 1, 2).
Przykład.
Napisać równanie prostej l przechodzącej przez dwa punkty P1 = (−1, 0, 2) i P2 = (2, 3, −2).
Przykład.
Napisać równanie parametryczne prostej l będącej przecięciem płaszczyzn π1 :
2 x − y + 3 z = 0,
π2 :
3 x + 2 y − z = 0.
i przechodzącej przez punkt P0 = (0, 0, 0).
12