WŁASNOŚCI GRANICZNE SJŁM 
 
Rozkładem stacjonarnym SJŁM o macierzy przejścia P nazywa się wektor  

 

taki, że 

   oraz   

, 

. 

Kiedy istnieje rozkład stacjonarny? Czy jest jeden czy więcej? 



 

Wiemy już, że dla dowolnej macierzy stochastycznej istnieje wartość własna równa 1, zatem lewy 
wektor własny z  nią związany spełnia warunek stacjonarności (po unormowaniu otrzymujemy 
rozkład stacjonarny)  =>  Dla każdego SJŁM istnieje co najmniej jeden rozkład stacjonarny. 

 
Przykład 1 cd.: dla bohatera błądzącego po wiosce rozwiązujemy układ równań 

 

 

Rozwiązaniem tego układu jest 

, czyli istnieje jeden wektor stacjonarny 

d = [0.25   0.5   0.25] 
 
Twierdzenie Dooba. Dla dowolnej macierzy stochastycznej P istnieje granica 

,  

przy czym PA=AP=A=A

2

  

Skoro AP = A, więc wiersze macierzy A są lewymi wektorami własnymi macierzy P związanymi z 
wartością własną 1  =>  Wiersze macierzy A są rozkładami stacjonarnymi łańcucha. 
 



  Tw.  Dla regularnej (czyli nierozkładalnej i niecyklicznej) macierzy P istnieje granica 

,  

gdzie E jest macierzą ergodyczną, tzn. macierzą stochastyczną o jednakowych wierszach 

 . 

Spełnione są przy tym równości  

PE=EP=E=E

2

 . 

Skoro EP = E, więc wiersz macierzy E jest rozkładem stacjonarnym łańcucha, co więcej – 
jedynym rozkładem stacjonarnym. 



  Tw.  Dla nierozkładalnej macierzy P istnieje granica (tzw. granica wg średniej) 

,  

przy czym PE=EP=E=E

2

 . 



  Tw. : Dla niecyklicznej macierzy P istnieje granica 

,  

przy czym PA=AP=A=A

2

 . 

SJŁM nazywa się ergodycznym, jeżeli  

E

P







n

n

lim

 

=> Łańcuch jest ergodyczny, jeśli macierz P jest regularna. 



 

Dla łańcucha ergodycznego 

e

E

d

P

d

P

d

d





















0

lim

0

0

lim

lim

n

n

n

n

n

n

 

=>   Rozkład graniczny e nie zależy od rozkładu początkowego, a skoro jest identyczny z wierszem  

macierzy E, to jest jedynym rozkładem stacjonarnym. 



  Tw. Macierz P jest regularna, jeżeli istnieje 

1



n

 takie, że macierz  n

P  ma przynajmniej jedną 

kolumnę dodatnią.  

 
SJŁM nazywa się ergodycznym w sensie Cesaro, jeżeli  

E

P











n

k

k

n

n

1

1

lim

 

=> Łańcuch jest ergodyczny w sensie Cesaro, jeśli macierz P jest nierozkładalna. 



  Dla łańcucha ergodycznego w sensie Cesaro 

e

E

d

P

d

d























0

1

0

1

1

lim

1

lim

n

k

k

n

n

k

k

n

n

n

 

=>   Rozkład graniczny e nie zależy od rozkładu początkowego, jest identyczny z wierszem  

macierzy E, jest jedynym rozkładem stacjonarnym. 

 
Przykład 1 cd. Macierz P jest regularna, więc łańcuch jest ergodyczny. 

















25

0

5

0

25

0

25

0

5

0

25

0

25

0

5

0

25

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

E

  

 

 
Niezależnie od miejsca, w którym bohater obudził się rano, po wielu godzinach (wieczorem) będzie w 
domu z prawdopodobieństwem ok. 0.25, w knajpie –  0.5 lub w pracy –  0.25. 
 
Wnioski końcowe:  



 

Łańcuch o regularnej (nierozkładalnej niecyklicznej) macierzy P jest ergodyczny. 



 

Łańcuch o nierozkładalnej cyklicznej macierzy P jest ergodyczny tylko w sensie Cesaro. 



  Regularna macierz P – jedna klasa stanów istotnych nieokresowych, jeżeli ponadto 

nieprzywiedlna – nie ma stanów chwilowych. 



  Nierozkładalna cykliczna macierz P – jedna klasa stanów istotnych okresowych; jeżeli 

nieprzywiedlna – nie ma stanów chwilowych. 



 

Łańcuch o rozkładalnej macierzy przejścia jest nieergodyczny (co najmniej dwie klasy stanów 
istotnych, więcej niż jeden rozkład stacjonarny, rozkład graniczny zależy od rozkładu 
początkowego)