1

PODSTAWY TEORII SJŁM cd.

KLASYFIKACJA STANÓW SJŁM



Stan j jest osiągalny ze stanu i, (i→j) jeśli można przejść z i do j w skończonej liczbie

kroków (WSLK)



Stany i, j komunikują się, jeśli i→j oraz j→i



Stan i jest istotny (powracający), jeżeli po opuszczeniu tego stanu możliwy jest powrót do

niego WSLK



Stan i jest nieistotny (chwilowy), jeżeli istnieje inny stan j, do którego można dojść ze

stanu i WSLK, ale z którego powrót do i WSLK jest niemożliwy



Stan i jest pochłaniający, jeżeli

1



ii

p



Klasą stanów nazywa się największy podzbiór przestrzeni S, którego dowolne dwa stany
komunikują się (czyli w danej klasie wszystkie stany są istotne)



Stan istotny i jest okresowy o okresie d>1, jeżeli ponowna wizyta w tym stanie jest możliwa

tylko w liczbie kroków będącej wielokrotnością d



Okresowość jest cechą całej klasy stanów tzn. jeśli w danej klasie jest stan okresowy o

okresie d, to wszystkie pozostałe też są okresowe o okresie d



Stan i jest ergodyczny, jeżeli jest istotny i nieokresowy



SJŁM o jednej klasie istotnych nieokresowych (ewentualnie mogą być stany nieistotne) jest
ergodyczny



SJŁM o jednej klasie stanów istotnych i bez stanów nieistotnych jest nieprzywiedlny
(irreducible), a w przeciwnym razie – przywiedlny (reducible).

Przykład

1 2 3 4























0

0

0

1

25

0

25

0

25

0

25

0

0

25

0

5

0

25

0

1

0

0

0

.

.

.

.

.

.

.

4

3

2

1

P

WŁASNOŚCI MACIERZY STOCHASTYCZNYCH



Każda macierz stochastyczna ma wartość własną

1

1



λ

, a wszystkie jej wartości własne

spełniają nierówność

1



i

λ

, i = 1,2,...,t (t - liczba różnych wartości własnych,

i

α -

krotność

i

λ )



Klasyfikacja macierzy stochastycznych:

1.

1

1



α

nierozkładalna

1

1



α

rozkładalna

2.

1

3

2







i

λ

t

,...,

,

i

niecykliczna

1

3

2







i

λ

t

,...,

,

i

cykliczna



1

1



λ

,

1

1



α

- macierz regularna

2

Przykład 1 cd.

D K P

P =

]

p

[

ij

=

D
K
P















0

5

0

5

0

25

0

5

0

25

0

5

0

5

0

0

,

,

,

,

,

,

,

Wielomian charakterystyczny:







)

I

λ

P

(

det

)

λ

(

w

…