CAŁKI PODWÓJNE 

 

Definicja 

Podziałem prostokąta 

 





d

y

c

b

x

a

y

x

R











,

:

,

 nazywamy zbiór 





n

R

R

R

P

,...,

,

2

1



 

złożony z prostokątów, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza. 
 

Definicja 

Niech funkcja 

f

 będzie ograniczona na prostokącie 

R

 (o wymiarach 

y

x







) oraz niech 

P

 

będzie  podziałem  tego  prostokąta,  a 



 

 







*

*

*
2

*
2

*

1

*

1

,

,...,

,

,

,

n

n

y

x

y

x

y

x





  zbiorem  punktów 

pośrednich. Sumą całkową funkcji 

f

 odpowiadającą podziałowi 

P

 oraz punktom pośrednim 



 nazywamy liczbę 





  

k

n

k

k

k

k

y

x

y

x

f









1

*

*

,

 

 

Definicja 

Niech  funkcja 

f

  będzie  ograniczona  na  prostokącie 

R

.  Całkę  podwójną  z  funkcji 

f

  po 

prostokącie 

R

 definiujemy wzorem: 

 

 





  

k

n

k

k

k

k

P

def

R

y

x

y

x

f

dxdy

y

x

f















1

*

*

0

,

lim

,



 

o  ile  granica  po  prawej  stronie  znaku  równości  jest  właściwa  i  nie  zależy  od  sposobów 
podziału 

P

 prostokąta 

R

, ani od sposobów wyboru punktów pośrednich 



. Mówimy wtedy, 

że funkcja 

f

 jest całkowalna na prostokącie 

R

. 

 

Twierdzenie (o liniowości całki) 

Jeżeli funkcje 

f

 i 

g

 są całkowalne na prostokącie 

R

, to: 

 

   





 

 













R

R

R

dP

y

x

g

dP

y

x

f

dP

y

x

g

y

x

f

,

,

,

,

 

 

   





 

 













R

R

R

dP

y

x

g

dP

y

x

f

dP

y

x

g

y

x

f

,

,

,

,

 

 

 





 











R

R

dP

y

x

f

c

dP

y

x

f

c

,

,

, gdzie 

c  jest liczbą rzeczywistą 

 

Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania) 

Jeżeli  funkcja 

f

  jest  całkowalna  na  prostokącie 

R

,  to  dla  dowolnego  podziału  tego 

prostokąta na prostokąty 

1

R , 

2

R  o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość 

 

 

 











2

1

,

,

,

R

R

R

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

 

 

Twierdzenie (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) 

Jeżeli funkcja 

f

 jest ciągła na prostokącie 

   

d

c

b

a

,

,



, to 

 

   

 

 

dy

dx

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dP

y

x

f

d

c

b

a

b

a

d

c

d

c

b

a

 

 

































,

,

,

,

,

 

 
 

Definicja 

Niech 

f

  będzie  funkcją  określoną  i  ograniczoną  na  obszarze  ograniczonym 

2

R



D

  oraz 

niech 

R

 będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar 

D

. Ponadto niech funkcja 

*

f

 

będzie rozszerzeniem funkcji 

f

 na 

R

 określonym wzorem: 

 

 

 

 













D

R

y

x

D

y

x

y

x

f

y

x

f

\

,

dla

0

,

dla

,

,

*

 

Całkę podwójną funkcji 

f

 po obszarze 

D

 definiujemy wzorem: 

 

 







R

def

D

dP

y

x

f

dP

y

x

f

,

,

*

 

o  ile  całka  po  prawej  stronie  znaku  równości  istnieje.  Mówimy  wtedy,  że  funkcja  f   jest 
całkowalna na obszarze 

D

. 

 

Definicja 

Obszar  domknięty  D   nazywamy  obszarem  normalnym  względem  osi  Ox ,  jeżeli  można 
zapisać go w postaci:  

 

 

 





x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D











,

:

,

 

gdzie funkcje 

g

 i 

h  są ciągłe na 

 

b

a,

 oraz 

   

x

h

x

g



 dla każdego 

 

b

a

x

,



. 

Obszar  domknięty 

D

  nazywamy  obszarem  normalnym  względem  osi 

Oy

,  jeżeli  można 

zapisać go w postaci:  

 

 

 





y

q

x

y

p

d

y

c

y

x

D











,

:

,

 

gdzie funkcje  p  i  q  są ciągłe na 

 

d

c,

 oraz 

   

y

q

y

p



 dla każdego 

 

d

c

y

,



. 

 

Twierdzenie (całki iterowane po obszarach normalnych) 

  Jeżeli funkcja  f  jest ciągła na obszarze domkniętym 

 

 

 





x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D











,

:

,

 

normalnym względem osi 

Ox , to 

 

 

 

 

dx

dy

y

x

f

dP

y

x

f

b

a

x

h

x

g

D

 



















,

,

 

  Jeżeli funkcja  f  jest ciągła na obszarze domkniętym 

 

 

 





y

q

x

y

p

d

y

c

y

x

D











,

:

,

 

normalnym względem osi 

Oy

, to 

 

 

 

 

dy

dx

y

x

f

dP

y

x

f

d

c

y

q

y

p

D

 



















,

,

 

 

Definicja 

Sumę  skończonej  liczby  obszarów  normalnych  (względem  osi  Ox   lub 

Oy

)  o  parami 

rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie 
 
Niech  obszar  regularny 

D

  będzie  sumą  obszarów  normalnych 

n

D

D

D

,...,

,

2

1

  o  parami 

rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja 

f

 będzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy 

 

 

 

 

















n

D

D

D

D

dP

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

,

...

,

,

,

2

1

 

 

Definicja 

Niech 



 i 

D

 będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach 

Ouv  i 

Oxy

. Przekształceniem 

obszaru 



 w obszar 

D

 nazywamy funkcję 

D

T





:

 określoną wzorem: 

   

   





v

u

v

u

v

u

T

y

x

,

,

,

,

,









, gdzie 

 





v

u,

 

Obrazem zbioru 



 przy przekształceniu 

T

 nazywamy zbiór 

   

 

   

















v

u

v

u

y

v

u

x

y

x

T

def

,

,

,

,

,

:

,





 

Przekształcenie 

T

 nazywamy: 

  ciągłym, jeżeli funkcje 



 i 



 są ciągłe na obszarze , 

  wzajemnie  jednoznacznym,  jeżeli  różnym  punktom  obszaru 



  odpowiadają  różne 

punkty jego obrazu 

D

 

 
Definicja 

Jakobianem przekształcenia 

 

   





v

u

v

u

v

u

T

,

,

,

,







 nazywamy funkcję określoną wzorem: 

 

 

 

 

 







































v

u

v

v

u

u

v

u

v

v

u

u

v

u

J

def

T

,

,

,

,

det

,









 

 

Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce podwójnej) 

Niech 

  odwzorowanie 

 

 











v

u

y

v

u

x

T

,

,

:





  przekształca  wzajemnie  jednoznacznie  wnętrze  obszaru 

regularnego 



 na wnętrze obszaru regularnego 

D

, 

  funkcje 



, 



  mają  ciągłe  pochodne  cząstkowe  na  pewnym  zbiorze  otwartym 

zawierającym obszar 



, 

  funkcja 

f

 jest ciągła na obszarze 

D

, 

  jakobian 

T

J

 

jest różny od zera wewnątrz obszaru 



. 

Wtedy 

 

   



  

dudv

v

u

J

v

u

v

u

f

dxdy

y

x

f

T

D

,

,

,

,

,















 

 
 

Definicja 

Położenie punktu 

P

 na płaszczyźnie można opisać parą liczb 

 



,

r

, gdzie: 



 - oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi 

Ox  a promieniem wodzącym punktu 

P

, 

       





2

0





 albo 













 

r

 - oznacza odległość punktu 

P

 od początku układu współrzędnych, 







r

0

 

Parę liczb 

 



,

r

 nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. 

 
 

Twierdzenie (współrzędne biegunowe w całce podwójnej) 

Niech 

  obszar 



 we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym 

  funkcja 

f

  będzie  ciągła  na  obszarze 

D

,  który  jest  obrazem  obszaru 



  przy 

przekształceniu biegunowym; 

 





B

D

 

Wtedy  

 











drd

r

r

r

f

dxdy

y

x

f

D











sin

,

cos

,

 

P

OLE OBSZARU

 

Pole obszaru regularnego 

2

R



D

 wyraża się wzorem: 





D

dP

D

 

 

O

BJĘTOŚĆ BRYŁY

 

Objętość bryły V  położonej nad obszarem regularnym 

2

R



D

 i ograniczonej z dołu i z góry 

odpowiednio wykresami funkcji ciągłych 

 

y

x

d

z

,



 i 

 

y

x

g

z

,



 

wyraża się wzorem: 

   





dP

y

x

d

y

x

g

V

D







,

,

 

 

P

OLE PŁATA

 

Pole płata 



, który jest wykresem funkcji 

 

y

x

f

z

,



, gdzie 

 

D

y

x



,

 wyraża się wzorem: 

dP

x

f

x

f

D











































2

2

1

 

Zakładamy,  że  funkcja  f   ma  ciągłe  pochodne  cząstkowe  pierwszego  rzędu  na  obszarze 
regularnym 

D

 

 
 
 
Literatura 

1.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory 
2.  M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania 
3.  W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II