www.etrapez.pl 

Strona 1 

 

 
 

 

 
 

KURS 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

Lekcja 2 

Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych 

 
 

ZADANIE DOMOWE 

 

 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 2 

 

Częśd 1: TEST 

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). 

Pytanie 1 

Wykres funkcji dwóch zmiennych to… 

a)  Trójwymiarowa powierzchnia 
b)  Dwuwymiarowy obszar 
c)  Czterowymiarowa powierzchnia 
d)  Trzy osie układów współrzędnych: x, y i z 

Pytanie 2 

Ekstremum funkcji wielu zmiennych można wykorzystad do: 

a)  Obliczenia optymalnego wykresu funkcji wartości 
b)  Obliczenia wyznacznika z pochodnych drugiego rzędu z funkcji dwóch zmiennych 
c)  Obliczenia średniej wartości funkcji 
d)  Obliczenia optymalnego połączenia zasobów 

 

Pytania tylko do części 1 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia 
hesjanów) 

Pytanie 3 

Jak opisad można dwia zasadnicze części schematu na obliczanie ekstremum funkcji dwóch 
zmiennych? 

a)  Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w części I i sprawdzanie, czy 

faktycznie są w nich ekstrema w części II 

b)  Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w  części I i obliczanie pochodnych 

cząstkowych II rzędu w  w części II 

c)  Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w  części I i obliczanie 

pochodnych cząstkowych II rzędu w  w części II 

d)  Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w części I i sprawdzanie, czy są w nich 

ekstrema  w części II 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 3 

 

Pytanie 4 

 

2

2

,

2

7

2

2

2

2

f x y

x

xy

y

f

x

y

x

f

y

x

y

























 

Mając obliczone pochodne cząstkowe I rzędu jak wyżej co należy zrobid w tym momencie 
zadania? 

a)  Obliczyd z nich pochodne cząstkowe II rzędu 
b)  Odczytad z tych pochodnych współrzędne punktów stacjonarnych 
c)  Przyrównad pochodne do zera, tworząc układ równao 
d)  Utworzyd z pochodnych wyznacznik 

Pytanie 5 

Obliczając ekstrema lokalne według schematu obliczyliśmy jej pochodne cząstkowe I rzędu, 
punkty stacjonarne i pochodne cząstkowe II rzędu. Co należy zrobid w tym momencie 
zadania? 

a)  Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i odczytad z niego, czy 

funkcja osiąga ekstrema 

b)  Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i podstawid do funkcji w nim 

po kolei współrzędne poszczególnych punktów stacjonarnych 

c)  Obliczyd wartości funkcji wyjsciowej w punktach stacjonarnych 
d)  Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i obliczyd go 

Pytanie 6 

 

2

4

1

2

2

1

4

1

1

2

e

W P

e

e







 

Wyznacznik w punkcie 

1

P

 

wyszedł jak wyżej. Oznacza to, że… 

a)  Funkcja nie osiąga ekstremum w punkcie 

1

P

 

b)  Funkcja osiąga maksimum w punkcie 

1

P

 

c)  Nie można określid z tych danych, czy funkcja osiąga ekstremum w 

1

P

 

d)  Funkcja osiąga minimum w punkcie 

1

P

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 4 

 

Pytania tylko do części 2 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami) 

Pytanie 7 

Co robimy z pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu? 

a)  Tworzymy z nich macierz, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów 

stacjonarnych  i liczymy odpowiednie jej podwyznaczniki kolejnych stopni 

b)  Tworzymy z niej wyznacznik, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów 

stacjonarnych  i obliczamy go 

c)  Przyrównujemy je do zera i rozwiązujemy otrzymany układ równao 
d)  Obliczamy z nich pochodne kolejnego rzędu (aż otrzymamy rząd równy liczbie 

zmiennych) i tworzymy z nich macierz 

Pytanie 8 

Jakiego stopnia byłby hesjan z funkcji czterech zmiennych? 

a)  To zależy od liczby punktów stacjonarnych 
b)  Trzeciego 
c)  Czwartego 
d)  To zależy od ułożeo znaku w podwyznacznikach 

Pytanie 9 

 

 

 

 

1

1

1

2

1

3

1

1

3

0

1

3

2

0

11

0

0

3

33

H

P

H P

H

P

H

P

















 





















 

Powyższe ułożenie znaków w podwyznacznikach hesjanu w  punkcie 

1

P

oznacza, że… 

 

a)  W punkcie 

1

P

 funkcja osiąga maksimum lokalne 

b)  W punkcie 

1

P

 funkcja nie osiąga ekstremum 

c)  W punkcie 

1

P

 nie możemy roztrzygnąd, czy funkcja osiąga ekstremum 

d)  W punkcie 

1

P

 funkcja osiąga minimum lokalne 

Pytanie 10 

Czy używając hesjanów możemy liczyd także ekstrema funkcji dwóch zmiennych z części I 
Lekcji? 

a)  Nie 
b)  Tak 

 

www.etrapez.pl 

Strona 5 

 

Częśd 2: ZADANIA

 

Zadania do części 1 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia 
hesjanów) 

Zad. 1 

Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji: 

1) 





2

2

,

2

f x y

x

xy

y

x

y







  

 

2) 





2

2

,

f x y

x

xy

y







 

3) 

2

2

6

1

z

x

xy

y

x

  







 

4) 

2

2

2

6

1

z

x

y

x

y

  







 

5) 

2

2

2

3

2

1

z

x

xy

y

x

y









 

 

6) 





2

2

,

2

4

12

f x y

x

xy

y

x

y







 



 

7) 

 

3

3

,

2

3

6

1

f x y

x

y

x

y











 

8) 

 

2

3

1

,

6

3

6

2

f x y

x

xy

y

x

y













 

9) 

3

2

6

48

2

z

x

y

xy

x

 







 

10) 

 





2

2

,

1

x

f x y

e

x

y







 

11) 

 









2

2

2

2

,

2

x

y

f x y

e

x

y









 

 

Zadania tylko do części 2 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami) 

UWAGA: Rozwiąż także zadania od 1) do 11). Metoda Hesjanów jest uniwersalna. 

Zad. 2 

Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji: 

1) 





2

2

2

, ,

2

4

6

2

f x y z

x

y

z

x

y

z





 







 

2) 

2

2

2

2

2

4

4

u

x

y

z

xy x

z





 

 



 

3) 





2

3

2

, ,

2

2

f x y z

x

xy

xz

y

y

z



 

  

 

4) 





2

2

2

, ,

2

4

2

1

x

y

f x y z

x

z

y

z











 

 

www.etrapez.pl 

Strona 6 

 

5) 













2

2

2

, ,

2

x

y

z

f x y z

e

x

y

z



 



 

 

KONIEC