www.etrapez.pl 

Strona 1 

 

 
 

 

 
 

KURS 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

Lekcja 4 

Pochodne funkcji złożonej 

 
 

ZADANIE DOMOWE 

 

 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 2 

 

Częśd 1: TEST 

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). 

Pytanie 1 

Czym różni się obliczanie pochodnych złożonych przedstawione w Lekcji 4 od obliczania 
pochodnych złożonych z Lekcji 1? 

a)  Wynikiem 
b)  Elementarnymi wzorami na pochodne 
c)  Koniecznością obliczenia ekstremum 
d)  Metodą obliczania i sposobem zapisu danych 

Pytanie 2 





2

2

2

3

1

cos

t

y

x

ts

t

s

s

y

 















 

Funkcja x jest funkcją… 

a)  Dwóch zmiennych t i s 
b)  Jednej zmiennej y 
c)  Trzech zmiennych t, s i x 
d)  Trzech zmiennych t, s i y 

Pytanie 3 

dy

dx

 

Co oznacza powyższy zapis? 

a)  Pochodną z funkcji y jednej zmiennej liczoną po x 
b)  Pochodną cząstkową z funkcji dwóch zmiennych y liczoną po x 
c)  Pochodną cząstkową funkcji liczoną po y 

d)  Pochodną cząstkową z funkcji y niewiadomej ilości zmiennych liczoną po x 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 3 

 

Pytanie 4 

2

2

3

2

cos

sin

x

s

t

x y

u

y

s

t

x

y







  





 

Z powyższej funkcji można policzyd… 

a)  Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennych s i t 
b)  Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y 
c)  Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennej s i dwie pochodne cząstkowe 

względem zmiennej t 

d)  Dwie pochodne cząstkowe względem zmiennej x i dwie pochodne cząstkowe 

względem zmiennej y 

Pytanie 5 

2

2

2

2

2

3

5

4

1

3

1

x

t

t

z

x

y

xy

x y

xy

x

y

y

t

  



























 

Jakie wszystkie pochodne będziemy musieli policzyd, aby obliczyd pochodną z funkcji

 

z po 

zmiennej t?

 

a)  Pochodną z 

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















 po x i po y, oraz pochodne ze 

zmiennych x i y po x i y. 

b)  Pochodną z 

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















 po x, oraz pochodną ze zmiennej x 

po t 

c)  Pochodną z 

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















 po x i po y, oraz pochodną ze 

zmiennej  x po t 

d)  Pochodną z 

2

2

2

2

5

4

1

x

y

xy

x y

xy

x

y















 po x i po y, oraz pochodne ze 

zmiennych x i y po t 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 4 

 

Pytanie 6 

2

2

3

t

a

a

z

ts

s

s

a

 













 

Po zastosowaniu wzoru na pochodną funkcji złożonej z po a otrzymałem następujący wynik: 



 



3

2

1

3

2

1

dz

s

a

t

s

da



 





 

Czy to już  koniec zadania? 

a)  Nie, za zmienne t i s należy jeszcze podstawid 

2

a

a



 oraz 

a

 

b)  Nie, za zmienną a należy jeszcze podstawid t i s 
c)  Tak 
d)  Nie, należy jeszcze policzyd pochodną po s 

Pytanie 7 





 

2

cos

g

t

st

z

arctg g

h

h

st

  













 

Jakie wszystkie pochodne będziemy musieli policzyd, aby obliczyd pochodną cząstkową 
funkcji

 

z po zmiennej t?

 

a)  Pochodną z 





arctg g

h



 po g i po h, oraz pochodne ze zmiennych g i h po t i s. 

b)  Pochodną z 





arctg g

h



 po g i po h, oraz pochodną ze zmiennej g po t i ze zmiennej 

h po s 

c)  Pochodną z 





arctg g

h



 po g i po h, oraz pochodną ze zmiennych  g i h po t. 

d)  Pochodną z 





arctg g

h



 po g, oraz pochodne ze zmiennych g i h po t i po s. 

 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 5 

 

Pytanie 8 





2

2

?

f

P Q

P











 

Jaki będzie wynik powyższego działania? 

a) 

4PQ

 

b) 

2

2P

 

c)  4P  
d) 

4Q

 

Pytanie 9 

 

,

2

z

F u v

v





 

Jak będzie wyglądad pochodna z funkcji z po v? 

a) 

 

,

2

F

u v

v

v







 

b) 

 

 

,

2

,

2

F

u v

v

F u v

v











 

c) 

 

,

2

F

u v

v







 

d) 

 

,

2

F u v



 

Pytanie 10 





2

2

z

F x

y





 

Jak będzie wyglądad pochodna z funkcji z po x? 

a) 





2

2

2

F

x

y

x

x









 

b) 





2

2

F

x

y

x







 

c) 





2

2

2

F

x

y

x

x









 

d) 



 



2

2

2

2

F

x

y

x

y

x











 

 

 

www.etrapez.pl 

Strona 6 

 

Częśd 2: ZADANIA 

Zad.1 

Oblicz pochodne funkcji: 

1) 

2

2

2

3

x

t

z

x

y

y

t

 













 

2) 

3

cos

y x

x

t

z

e

y

t









 



 

3) 

2

2

2

2

cos

sin

x

u

v

z

xy

x y

y

u

v















 

4) 

4

5

ln

2

3

x

u

v

x

z

y

u

v

y









  



 

5) 

2

2

cos

t

x

e

u

x

zx

z

z

t

 













 

6) 

2

1

s

P

P

y

x

arctg

Q

Q

s

y

 



 













   



 

Zad.2 

Wykaż, że funkcja 

b

c

a

b

c







, gdzie 

 

 

cos

,

sin

b

d

e

c

d

e





  

spełnia równanie: 

 

 

2

cos 2

a

a

a

dctg e

e

d

e













 

KONIEC